3.3.3点到直线的距离3.3.4两平行线间的距离简化向量处理

12 ( 3 )2
122 (5)2
x 1 或 x 171 37
所以P点坐标为：
d Ax0 By0 C A2 B2
练习2
(1)已知点A(-2,3)到直线y=ax+1的距离为 2，求a的值. (2)已知点A(-2,3)到直线y=-x+a的距离为 2，求a的值.
解 : (1) y ax 1,ax y 1 0,
2a 3 1 2a 2
d
2,
a2 1
a2 1
2a 2 2a2 2, 4a2 8a 4 2a2 2,
解 : 由点到直线的距离公式：
(2)dd
3|
A(x01) By002C A322 0B22
2|
5 3
可得：思(1考)d： |还2有(1其) 他2 解10法| 吗2？ 5 41
点到直线的距离：
练习1 求点 P0 2到，下3列直线的距离：
(1) 3x+4y+3=0; (2) 3y=2 ； (3)-x+3y=7.
3.3.3《点到直线的距离》 3.3.4《平行线间的距离》
导入
铁路
仓库
导入
l
仓库
点到直线的距离 l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
. P(x0,y0)
o
x
引入新课
已知点 P0 x0 , y0 ，直线 l : Ax By C 0，
如何求点 P0到直线 l 的距离？ 点 P0 到直线 l 的距离，是指从点 P0到直线 l 的
|n|
y
l : Ax By C 0
| A(x1 x0 ) B( y1 y0 ) | A2 B2
n (A, B)
Q(x1, y1)
| Ax1 By1 Ax0 By0 | ① A2 B2
Q(x1, y1)在直线l上 Ax1 By1 C 0
O P0 (x0 , y0 )
S
利用勾股定理求出 | RS |
面积法求出 | P0Q |
O
Q
R
l
x
思路三：用法向量推导点到直线的距离公式
P0Q // n
P0Q n | P0Q | | n |，或者P0Q n | P0Q | | n |
| P0Q n || P0Q | | n | | P0Q | | P0Q n |
的距离是 d C1 - C2
o
A2 B2
P l1
l2
Q x
例5 已知直线 l1 : 2x 7 y 8 0 和 l2 : 6x 21y 1 0 l1 与l2 是否平行？若平行,求 l1与 l2的距离.
1. 两条平行直线间距离的求法 转化为点到直线的距离
2. 两条平行直线间距离公式。 注意两条直线方程要有相同的A和B
点到直线的距离
回忆建立两点间的距离公式的过程．
首先求出两条与坐标轴垂直的线段的长度，然后利 用勾股定理求出这两点间的距离（斜边长）．
y
P2
N2
M2 O
Q
M1 x N1 P1
点到直线的距离
思路二：间接法（构造直角三角形）
求出点R 的坐标 求出点S 的坐标
求出 | P0R |
y
求出 | P0S |
还有其 他的方 法吗？
课堂作业： P108练习题 P109练习题
课后作业： P110 A组：
B组：
学而时习之，不亦乐乎！
备选例题：
例 已知P在x 轴上, P到直线l1: x- y +7=0与 直线 l2:12x-5y+40=0 的距离相等, 求P点坐标。
解：设P(x,0), 根据P到l1、 l2距离相等，列式为
x 3 0 7 12x 5 0 40
a 3 2或a 3 2. (2) y x a,x y a 0,
2 3 a 1 a d 2 2 2, a 1 2,a 3或a 1.
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间
的公垂线段的长.
y
P l1
l2
Q
o
x
例3 求平行线l1:2x-7y+8=0与l2:2x-7y-6=0的距离.
y l : Ax By C 0
Q
O
x
点到直线的距离
思路一：直接法
y Q
思路简单 运算繁琐
直线 l 的方程 直线 l 的斜率
l
l P0Q
O
x
点P0的坐标 直线P0Q的斜率
直线 l 的方程 直线P0Q的方程
交点
点P0的坐标
点Q 的坐标
两点间距离公式
点P0、Q 之间的距离 P0Q（ P0 到l 的距离）
1 2
|
AB | h
| AB | (3 1)2 (1 3)2 2 2
y
A
h
AB边上的高h就是点C到AB的距离 C
AB边所在直线的方程为
O
B
x
y-1 3 1 (x-3) 13
即x y 4 0
h | 1 0 4 | 5
12 12
2
因此, SABC
12 2
2
5 5 2
小结
平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0 的距离公式是
垂线段
P0Q的长度，y 其中
Q是垂足． l
Q
O
x
当A=0或B=0时,直线为y=y1或x=x1的形 式， 点到直线的距离：
y y=y1
o
P (x0,y0)
Q(x0,y1) x
y (x1,y0)
Q
P(x0,y0)
o
x
x=x1
PQ y0 - y1
PQ x0 - x1
点到直线的距离 对于一般情况即 A 0，B 你 0能时，求出 吗？P0Q
Ax1 By1 C 代入①式得：
x
|
P0Q
|
|
Ax0
By0 A2 B2
C
|
点到直线的距离:
点 P0 x0 , y0 到直线 l : Ax By C 0 的距离：
d Ax 0 By 0 C A2 B2
yl
Q
O
x
典型例题 说明：如果直线方程不是一般式，先化成一般式。
例(11.)2求x+点y-1P00=到01;下，2列(2直) 3线x=的2距离：
A2 B2
解： 在l1上任取一点P(x1,y1) P到l2的距离等于l1与l2的距离
P在l1上
d
Ax1 By1 C2 A2 B2
Ax1 By1 C1 0 即：Ax1 By1 C1
d C2 C1 A2 B2
两条平行直线间的距离：
两条平行线
y
l1:Ax+By+C1=0与
l2:Ax+By+C2=0
解:(1)
3 2 43 3 21
d
32 42 5
2033ห้องสมุดไป่ตู้ 7
(2) d
02 32 3
(3) d (1) 2 33 7
(1)2 32
0
点到直线的距离的应用
例2:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求 的ABC面
积
解 : 如图, 设AB边上的高为h, 则
SABC
解： 在l2上任取一点，如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
两平行线间的 距离处处相等
2 3 7 0 8 14 14 53
d
22 (7)2
53 53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
例4. 求证：两条平行直线Ax+By+C1=0和
Ax+By+C2=0间的距离为 d C2 C1