沪科版九年级数学上册23.1锐角的三角函数练习题

23.1
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．如图5－G －1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则tan A 的值为( )
A ．2 B. 12 C. 55 D. 2 55
图5－G －1
2．如图5－G －2所示，若Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cos E 的值等于( ) A. 12 B. 22 C. 32 D. 33
图5－G －2
3．在正方形网格中，△ABC 的位置如图5－G －3所示，则cos B 的值为( ) A. 12 B. 22 C.32 D. 33
图5－G －3
4．在△ABC 中，∠C ＝90°.若sin A ＝12
，则cos B 的值为( ) A. 12 B. 32 C. 22
D ．1 5．下列式子中成立的是( )
A ．sin30°＋sin45°＝sin75°
B ．cos36°＝sin54°
C ．cos63°>cos36°
D ．sin36°>cos36°
6．已知∠A 是锐角，sin A ＝35
，则5cos A 等于( ) A ．4 B ．3 C.154
D ．5 7．若α为锐角，且2sin(90°－α)＝3，则α的度数为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝m ，∠A ＝α，那么AC 的长为( )
A ．m ·sin α
B ．m ·cos α
C ．m ·tan α D. m tan α
9．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为( )
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
10．如图5－G －4，过点C (－2，5)的直线AB 分别交坐标轴于A (0，2)，B 两点，则tan ∠OAB 的值为( ) A. 25 B. 23 C. 52 D. 32
图5－G －4
二、填空题(每小题4分，共16分)
11．已知斜坡AB的坡度i＝1
3
，则斜坡AB的坡角的度数是________．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝
3
2；②cos B＝
1
2；
③tan A＝
3
3；④tan B＝ 3.其中正确的结论是________(只需填上正确结论的序号)．
13．如图5－G－5，将四根木条钉成的长方形木框变形为▱ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的一个最小内角为________°.
图5－G－5
14．如图5－G－6，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离都相等．若直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上，∠ABC＝90°且AB＝3AD，则tanα＝________．
图5－G－6
三、解答题(共44分)
15．(6分)计算：－12019－(π－3)0＋2cos30°－2tan45°·tan60°.
16．(6分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝3
4，求sin A，cos A的值．
17．(8分)如图5－G－7，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tan A
＝3
2，求sin B＋cos B的值．
图5－G－7
18．(12分)如图5－G－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝2，
CD＝1，设∠CAD＝α.
(1)试写出α的三个三角函数值；
(2)若∠B＝α，求BD的长．
图5－G－8
19．(12分)如图5－G－9，根据图中的数据先完成填空，再按要求答题．
图5－G－9
(1)sin2A1＋sin2B1＝________；sin2A2＋sin2B2＝________；sin2A3＋sin2B3＝________；
(2)观察(1)中的等式，猜想：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则sin2A＋sin2B＝________；
(3)如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明(2)中的猜想．
教师详解详析
1．B
2．A [解析] ∵Rt △ABC ∽Rt △DEF ，∴∠E ＝∠B ＝60°，∴cos E ＝cos 60°＝12
.故选A . 3．B [解析] 用正方形网格构造直角三角形，cos B ＝55 2＝22
. 4．A [解析] 由已知得∠A ＝30°，则∠B ＝60°，所以cos B ＝12
. 5．B
6．A [解析] 根据三角函数的定义，可作图如下：
设a ＝3，c ＝5，则b ＝4，所以5cos A ＝5×45
＝4. 7．A [解析] 因为2sin (90°－α)＝3，所以sin (90°－α)＝32
，所以α＝30°. 8．B [解析] 由题意，得cos A ＝AC AB
，AC ＝AB·cos A ＝m·cos α. 9．B [解析] 由题意，得Δ＝2－4sin α＝0，
解得sin α＝12
，∴α＝30°.故选B . 10．B [解析] 如图，过点C 作CD ⊥y 轴．
∵C(－2，5)，∴CD ＝2，OD ＝5.
∵A(0，2)，∴OA ＝2，∴AD ＝OD －OA ＝3.
在Rt △ACD 中，tan ∠OAB ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝23
. 11．30° [解析] 坡角的正切值等于坡度．
12．②③④ [解析] 解决此问题的关键是找到直角三角形三边之间的数量关系．首先设AB ＝2，BC ＝1，由勾股定理求出AC 的长，进而根据锐角三角函数的定义判断各结论是否正确．具体过程如下：
根据题意，因为∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则该直角三角形是含30°角的直角三角形，则BC ∶AB ∶AC ＝1∶2∶3，令BC ＝1，AB ＝2，AC ＝3，作出图形如下所示： ①sin A ＝BC AB ＝12，②cos B ＝BC AB ＝12，③tan A ＝BC AC ＝33，④tan B ＝AC BC
＝3，则正确结论的序号为②③④.
13．30 [解析] 如图，作▱ABCD 中BC 边上的高AE ，则由题意可知，AB ＝2AE.
在Rt △ABE 中，sin B ＝AE AB ＝12
，∴∠B ＝30°. 14. 34
[解析] 如图，作AE ⊥l 5，垂足为E. ∵直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4∥l 5，相邻两条平行直线间的距离都相等，直角梯形ABCD 的三个顶点在平行直线上，∠ABC ＝90°，
∴∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∠α＋∠EAD ＝90°，
∴∠α＝∠BAE ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠AFD ，
∴△ABE ∽△DAF ，∴AF BE ＝DF AE ＝AD AB ＝13
. 设AE ＝4y ，∴DF ＝43
y ，AF ＝y ， ∴tan α＝AF DF ＝34
. 15．解：原式＝－1－1＋3－2 3＝－2－ 3.
16．[解析] 画一个直角三角形，建立模型，根据tan A 表示“对比邻”，通过设k 法，利用勾股定理求出第三边长，再利用“对比斜”写出正弦值，“邻比斜”写出余弦值．
解：如图，∵tan A ＝
BC AC
＝34
， ∴设BC ＝3k ，则AC ＝4k ，
∴AB ＝（3k ）2＋（4k ）2＝5k.
∴sin A ＝BC AB ＝3k 5k ＝35，cos A ＝AC AB ＝4k 5k ＝45
. 17．解：在Rt △ACD 中，CD ＝6，tan A ＝32
， ∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝8.
在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10，
∴sin B ＝CD BC ＝35，cos B ＝BD BC ＝45
， ∴sin B ＋cos B ＝75
. 18．解：(1)在Rt △CAD 中，AD ＝AC 2＋CD 2＝5，
∴sin α＝55，cos α＝2 55，tan α＝12. (2)∵∠B ＝α，tan B ＝AC BC ，tan α＝CD AC ＝12
， ∴AC BC ＝12
， ∴BC ＝2AC ＝4，∴BD ＝4－1＝3.
19．解：(1)1 1 1
(2)1
(3)证明：∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c
，a 2＋b 2＝c 2， ∴sin 2A ＋sin 2B ＝a 2c 2＋b 2c 2＝a 2＋b 2
c
2＝1.。