长沙市中考数学实现试题研究与函数有关的新定义问题题库

与函数有关的新定义问题
k
1实数x 、y 若存在坐标(x , y )同时满足一次函数 y = px + q 和反比例函数y =-，则二次函 X 数y = px 2+ qx — k 为一次函数和反比例函数的“共享”函数 •
3
(1) 试判断(需要写出判断过程)：一次函数y = — x + 4和反比例函数y =-是否存在“共享”
x
函数？若存在，写出它们的“共享”函数和实数对坐标；
⑵ 已知整数 m n 、t 满足条件：t <n <8m 并且一次函数 y = (1 + n )x + 2m+ 2与反比例函数
2018 y = ---- 存在“共享”函数 y = (m+1)2+ (10m-t )x — 2018，求整数 m 的值；
x
⑶ 若同时存在两组实数对坐标 (X 1, y"和(X 2, y 2)使一次函数y = ax +2b 和反比例函数y = —C 存在
“共享”函数，其中实数
a >
b >
c , a + b + c = 0，令L = | ——丄|，求L 的取值范围.
x
X 1 X 2
3 3
解：⑴令—x + 4 = -，解得x = 1或x = 3, y =— x + 4和y = -是“共享”函数，实数对坐，
X X
标为(1 , 3)和(3 , 1);
2018,
1 + n = m+1 <
n =9m-3
，即 t = 8m- 2
又T t <n <8m •'•8 m - 2<9m- 3<8m m 为整数, ••• m= 2；
⑶y = ax + 2b 和y = — C 存在“共享”函数为 y = ax 2 + 2bx + c ,则a 、b 、c 满足,
X
a +
b +
c = 0
(4b 2— 4ac >0,即
a >
b >c
一 a 1 2 o
=4(
) + 3,
c 2
•••— 2<c < —1，• 3<L 2<12,・••百<L <2V3.
2.
对平面直角坐标系中的点 Rx, y )，定义d = | x | +1 y |，我们称d 为P ( x,
2 = 10m-1
(2) y = (1 + n )x + 2m^ 2 与 y =
2018
x
“共享”函数是 2
y = (1 + n )x + (2 m+ 2)x — 2018,
由题意得, y = (1 + n )x + 2m^ 2 与 y = 2018
2018的“共享”函数为
X
2
y = (n u t )x + (10 m-1) x —
2u<
2
L 2= (- —1)2=
X 1 X 2
/2b 、2 4c
( )
2
(X 1 + X 2)— 4x 1X 2 a a 4b — 4ac
(X 1X 2) 2 , 、2 2 (a + c ) — ac a a
----------- =4(-2 + ；+ 1)
y)的幸福指数.对
于函数图象上任意一点P(x, y)，若它的幸福指数d》l恒成立，则称此函数为幸福函数，
如二次函数y = x2+ 1就是一个幸福函数，理由如下：
设P(x, y)为y = x2+ 1 上任意一点，d=|x| + | y| =|x| + | x2+ 1| ,
■/x>0, | x +1| = x +1 > 1, ••• d> 1. ••• y= x + 1 是一个幸福函数.
1
(1) 若点P在反比例函数y=-的图象上，且它的幸福指数d= 2,请直接写出所有满足条件的
x
P点坐标；
(2) 一次函数y=—x+ 1是幸福函数吗？请判断并说明理由；
(3) 若二次函数y = x2—(2n u 1)x+吊+ n( m>0)是幸福函数，试求出m的取值范围.
1
解：⑴设点P的坐标为(m, m,
1
•dT m+1m=2，
解得：m =—1, m = 1,
经检验，m =—1, m= 1是原分式方程的解，
•满足条件的P点坐标为(—1,—1)或(1 , 1);
⑵一次函数y=—x+ 1是幸福函数，理由如下：
设P(x, y)为y= —x+ 1 上的一点，d=|x| + | y| =|x| + | —x + 1| ;
x<0 时，d= | x| + | —x+ 1| = —x —x+ 1 = 1 —2x>1;
当O w x W1 时，d= |x| + | —x+ 1| = x—x + 1 = 1；
当x>1 时，d= |x| +1 —x + 1| = x + x —1= 2x —1>1.
•对于y = —x+ 1上任意一点Rx, y)，它的幸福指数d》1恒成立，
•••一次函数y = —x+ 1是幸福函数；
2 2
Ty = x —(2 1) x + m+ m= (x —m)( x—m- 1) , mi>0,
•••分x< 0、0 v x v m m W x w 1、x >1 考虑.
2 2 2 2 2
①当x <0 时，d= | x| + | x —(2 1)x+ m+ m = —x+ x —(2
1)x+ m+ m= (x—m—1)
—m—1,
当x= 0时，d取最小值，最小值为m i+ m,
⑶设P(x, y)为y = x2—(2 1)x+ m i+ m上的一点，d= | x| + | y| = | x| +1 x2—(2 1)x +
2 』
m+ m,
m2+ 1,
解得：m> : 1;
2 2 2 2 2
②O v x v m 时，d= |x| + | x - (2 1)x+ m+ m| = x+ x - (2m^ 1)x+ m+ m= (x—m) + m-
1> 1,
T(X—m2>o,
••• m— 1 > 1,
解得：mi> 2；
③当m< x< 1 时，d= | x| + |x2- (2 1)x + m i+ m = x —x2+ (2 1)x- m —m=—(x —m
2
—1) + m+ 1,
当x= m时，d取最小值，最小值为m,
• 1;
2 2 2 2 2
④当x>1 时，d= | x| + | x —(2 1)x + m+ m = x + x —(2m^ 1)x+ m+ m= (x —m) + m —1 > mi> 1,
• 1.
解得：若二次函数y= x2—(2 1)x+ m i+ m(m> 0)是幸福函数，m的取值范围为m>2.
3. 在平面直角坐标系中，设直线I的解析式为：y = kx + b(k丰0)，当直线与一条曲线有且
只有一个公共点时，我们称直线I与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”.
1 一
(1) 求直线I : y = —x + 2与双曲线y= -的切点坐标；
x
⑵已知抛物线y = ax2+ bx + c经过两点(—1, 0)和(3 , 0)，若直线I : y= x+ 2与抛物线相切，试求实数a的值；
2 1 1
3 2
⑶已知直线I : y1 = kx+ m与抛物线y2= 2x + 4相切于点(2，2，设二次函数M y3 = ax + bx+ c(a、
b、c为整数且0)，对于一切实数x恒有yV y3< y求二次数M的解析式.
y= —x+2
解：⑴联立S 1 ，得x2—2x+ 1 = 0,「. x= 1,「.切点坐标为(1 , 1)
y = _
I x
2
⑵由题可知，抛物线解析式可表示为：y = a(x+ 1)( x—3) = ax —2ax—3a,
y = x+ 2 2
联立\ 2，得：ax —(2 a+1) x —3a—2 = 0
|y = ax —2 ax—3a
由抛物线和直线相切易知：a^0且△ = 0,
2 2
• △ = (2 a+ 1) —4a x ( —3a—2) = 16a + 12a+ 1 = 0,
解得：a i =二^,日2=二^一,
1 3
⑶由题可知：直线y i = kx + m和抛物线M都经过(㊁,-),
3 k 3 a b •-4= 2+ m 4=
4 + 2+c①，
3 k
…吩4 - 2，
3 k
yi= kx+4—2，1 k
联立得2x2-kx0,
2 1 2 2
y2= 2x +4
2 1 k
• △ = k -4x2x( ^-^) = 0.
1
解得：k= 2,「. m= —4,
1
•直线l 1的解析式：y1 = 2x--,
4
x 恒有：2x -ax2+ bx+ c W2x2+1.
•••对于一切实数x恒有y1< y3< y2,对于一切实数
4 4
1 1
当x= 0时，有一;vc<;，而c为整数，• c= 0②.
4 4
『1
y i=2x-；21
联立$ 4，得ax + (b —2) x + c+ 4= 0.
y3= ax2+ bx+ c
2 / 1
• △ = (b-2) —4a x(c +-) = 0,
4
2
• b -4b+ 4-4ac- a= 0 ③,
联立①②③式得：a= b= 1, c= 0.
故二次函数M的解析式为：y3= x2+ x.
4•已知y是关于x的函数，若其图象经过点Rt, t)，则称点P为函数图象上的“ bingo 点”，例如：y = 2x- 1 上存在“ bingo 点” P(1 , 1) •
1
(1)直线_________ (填写直线解析式)上的每一个点都是“bingo点”；双曲线y= -上的
x “bingo 点”是________ ;
1 2 1 1 2
⑵右抛物线y=^x + (?a+ 1)x —9a —a+ 2 上有“ bin go 点”，且“ bin go 点” A B(点A 和点B可以重合)的坐标为A>1, y" , B(X2, y2)，求x?+ x2的最小值；
1 2
⑶若函数y = 4X + ( n- k+ 1)x + m+ k- 1的图象上存在唯一的一个“ bingo点”，且当一
2w n wi时，m的最小值为k,求k的值.
解：⑴ y=x; (1,1 )和(—1，- 1)；
1 2 1 1 2 ⑵设二次函数y = 2X + (§a+
1)x—©a—a+ 2 的"bi ngo 点”为(x, x),
1 2 1 1 2
:x =+(3已+ 1)x—©a —a+ 2,
• 1 2 1 1 2 …
--2x+ 3ax—©a—a+ 2 = 0,
2 2 2
--X1 + X2=—3a, X1 • X2= —©a —2a + 4,
3 9
22 2 2 2 2 28 9 2 25
--X1 + X2=(X1 + X2) —2x1X2= ( —3a) —2x ( —9a —2a+4) = 9(a+4) —,
又bin go点” A耳点A和点B可以重合),
刚 1 2 1 1 2
••• △ >0,即(3a) — 4 • 2 • ( —©a —a+2) >0,
••• a w —3—21 或a>—3 + 21,
当a=—3+；21时，X1 + X2取最小值，
•- ( X1+ x2) min = 20 — 3 :'21 ；
1 2 1 2
(3) V y = 4X + ( n—k+ 1)x+ k—1 只有一个“ bin go 点”，• y=-x + (n —k+ 1)x+ m+ k —1与y=x只有一个交点，
1 2
则：x + ( n—k)x + m+ k—1 = 0有两个相同根，
4
2 2
•△ = b —4ac= (n—k) —(m+ k—1) = 0,
可得m= (n—k) —k+ 1,
当k v—2时，n=—2, m取最小值，即(一2—k)2—k + 1 = k,则无解；
1
当一2w k v 1 时，n= k, m取最小值，即一k+ 1 = k，贝U k=-;
当k>1 时，n= 1, m取最小值，即(1 —k)2—k+ 1 = k，贝U k2—4k+ 2= 0;
•k1= 2 —^,.；2(不合题意，舍去),k2= 2 + - J2,
1
综上所述，k值为§或2 + 2.
5•已知y是关于x的函数，若其图象经过点P(t ,2t)，则称点P为函数图象上的“偏离点”.例如：直线y = x—3上存在“偏离点”P( —3, —6).
1 一
(1)在双曲线y= -上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存在，
X
请说明理由;
1 2 2
(2) 右抛物线y =—劳+ (^a + 2) x — §a — a + 1上有“偏离点”，且“偏离点”为
A ( X 1, y"
2
2
ka
和B (X 2, y 2)，求w = X 1 + X 2 ——的最小值(用含k 的式子表示)；
3
一 1 2 一
(3) 若函数y = ：x + (m — t + 2)x + n +1 — 2的图象上存在唯一的一个“偏离点"，且当一
4 2w m W3时，n 的最小值为t ，求t 的值. 解：(1)存在.假设存在“偏离点”，根据题意得 2x = x 解得X 1 = 2, X 2=—, 当 x =三3 4时，y =• 2;当 x = —时，y =— 2,
• “偏离点”坐标为 (乎，也)或(—乎,—羽);
一 1 2 2 2 2
(2)设抛物线上的“偏离点”坐标为 (x , 2x )，代入抛物线得— 尹+ (3a + 2)x —-a — a +1 =
ZH 1 2 2 2 2
2x 得一q x + §ax — 9a — a + 1 = 0, ..
4a 2
2 2 .
•.•△ = —+ 2( — 9a — a+1) >0,「. a w 1,
口 4 4 2 c c
又.x i + X 2= 3a , x i • X 2= 9a + 2a — 2,
3 9
(3) 将“偏离点”(x , 2x )代入4X 2 + (m — t + 2)x + n +1 — 2 = 2x 得：［xJ (m — t )x + n +1 — 2
.•该函数图象上存在唯一一个“偏离点”， 2
1
• △ = (m — t ) — 4X 4(n +1 — 2) = 0,
即 n = m i — 2mt +12— t + 2= (m — t )2 — t + 2, 又.•对称轴为m= t ,
_
2
2
3
2
ka
2
ka 8 2 k
••• X 1 + X 2—石=(X 1 + X 2) — 2x 1 • X 2 — — = -a — (4 + -) a + 4，又.抛物线开口向上，且对称轴
4 3 9 3
36 + 3k
» 20 … , 2 2 ka e — 8
a
=
，「若36+ 3k 》16,即k >—亍则当a = 1时，W = x1+
x2—§最小值为9—
36 + 3k <16，即k <— 20,则当a = 驾产时，x 2
+必―罗最小值为—
2
k + 24k + 16
32
「8 9
综上所述，w 的最小值为
2
k + 24k +16
32
0 '
* — 20)
\17
• •①右t w —2,取 rn= —2 时，有n min = 4 + 4t +1 —t + 2= t，即卩t + 2t + 6 = 0,. △ = 4 —4X i x6v 0,
2 2 2
方程无解；②若一2<t <3,取m= t时，有n min= t —2t + t —t + 2 = t,解得：t = 1,成立；
③若t >3,取m= 3时，有n min= 32—6t +12—t + 2= t ,
即：t2—8t + 11 = 0,解得t i= 4+ 5, t2 = 4—5(舍)，
综上所述，t = 4+ 5或t = 1.
6•若y是关于x的函数，H是常数(H>0)，若对于此函数图象上的任意两点(X1, y" ,(X2,
y2)，都有| y1—y2| < H,则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称
J 3 2 ,\ , J r
—■—■ ■ a；
1234A：-1
-2
--3
第6题图
为该函数的界高.如图所表示的函数的界高为 4.
k
(1) 若函数y= x(k>0)( —2< X W—1)的界高为6,贝y k = _________ ；
X
⑵若函数y= kx + 1( —2< x< 1)的界高为4,求k的值；
2 25
⑶已知函数y= x —2ax+ 3a( —2< x< 1)的界高为二，求a的值. 4
解: (1)12 ；
k
【解法提示】当一2< x<—1时，函数y=-(k>0)中y随x的增大而减小，二屮>y2,将X1
x
八、k k 宀八、k k =—2 代入得y1= —2 =—2，将X2=— 1 代入得y2=—1 =—k, v| y i—y2| = 6,.・.一2—(—
k) = 6,解得k= 12；
(2) 将X1=—2 代入得y1 = —2k + 1；
将X2 = 1代入得y2= k + 1,
y1 —y2| = 4,
4
•'•I —3k| = 4，解得k =± 3；
3
⑶①当a》l时，将X1 = —2, X2 = 1代入函数解析式得,
y1 = 4+ 7a, y2= 1 + a,
••• 3+ 6a = 25，解得 a =舟,
又••• a > 1,故此种情况不成立;
1
②当一壬a v 1时，将x i = - 2, X 2= a 代入函数解析式得,
2
y i = 4+ 7a , y 2 = 3a -a ,
25
• I y i -y 21 =—, • a 2 + 4a -4= 0, 1 9
解得 a 1 = 2，a 2 = -2（舍去）,
25
yi -y 2| = ~4,
函数对称轴为 x = a ,在对称轴左侧，
y 随x 的增大而减小,
1
③当一2< a v - 1时，同理有x = 1时y值最大，X2= a时y值最小，将x= 1, 数解析式得，
“ c 2
y1 = 1 + a, y2 = 3a-a ,
25 「y1-y2|= -4,
.2 21
…a—2a-~4 = 0,
3 7
解得a1 = - 2，a2=2（舍去），
3
• a=-2；
④当a v - 2时，将X1 = - 2, X2 = 1代入函数解析式得,
y1 = 4+ 7a, y2= 1 + a,
25
•••|y1 —y2| =—，在对称轴右侧,
25
•-（3+ 6a）= ~,
又•/ a<- 2,故此种情况不成立, 综上所述，a=f或a=- 2.X2= a代入函
y随x的增大而增大,。