北师版八上数学7.5 三角形内角和定理(第一课时)(课件)
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1
由（1）可得，∠ DAG ＝ （∠ C －∠ B ）.
2
1
∴∠ DEF ＝ （∠ C －∠ B ）.
2
图1
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（3）【解析】如图2，过点 A 作 AG ⊥ BC 于点 G . ∵ EF ⊥ BC ，
∴ AG ∥ EF . ∴∠ DAG ＝∠ DEF . 由（1），得∠ DAG ＝
【点拨】对于求角的问题，需要综合运用已学定理和性质，如
三角形内角和定理、平行线的性质等，达到由已知推导未知的
目的.
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（2）如图，将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠，使点 C 落在点C'处.
若EC'恰好与 BC 平行，且∠ C ＝80°，则∠ BDE ＝
130° .
90°，∴∠ B ＝180°－∠ A －∠ C ＝180°－20°－90°＝
70°.故选D.
【点拨】在三角形问题中，涉及到求角度时，“三角形的内角
和等于180°”一般作为解决三角形问题的隐含条件.
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（2）如图，在△ ABC 中，已知∠ A ＝46°， CE 是∠ ACB 的平
A. 40°
C. 60°
B. 50°
D. 70°
【思路导航】先利用平角的定义可得∠ ADE 的大小，再根据平
行线的性质求出∠ A ，然后由三角形内角和定理可得答案.
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【解析】∵∠ CDE ＝160°，∴∠ ADE ＝180°－∠ CDE ＝
20°.∵ DE ∥ AB ， ∴∠ A ＝ ∠ ADE ＝ 20°. 又 ∵∠ C ＝
2
2
2
1
＝ （∠ C －∠ B ）.
2
∵∠ B ＝50°，∠ C ＝70°，
1
∴∠ DAE ＝ ×（70°－50°）＝10°.
2
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1
（2）解：∠ DEF ＝ （∠ C －∠ B ）.证明如下：
2
如图1，过点 A 作 AG ⊥ BC 于点 G .
∵ EF ⊥ BC ，∴ AG ∥ EF . ∴∠ DEF ＝∠ DAG .
形的具体形状或种类没有关系，所有三角形的内角之和都等于
180°；（2）由三角形的内角和定理可知直角三角形的两锐角
互余.
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2. 三角形内角和定理的证明.
（1）（方法一）如图1，将三角形中的两个角剪下后，可以与
第三个角拼成一个平角（平角的度数是180°）；
（2）（方法二）构造平行线.如图2，构造 CE ∥ AB ；或如图
根据条件再求出另一个内角，才能求出最后一个角，其中平行
线的性质能起到转化角的作用.
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1. 在△ ABC 中，已知∠ B 是∠ A 的2倍，∠ C 比∠ A 大20°，则
∠ A 的度数为（ A ）
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 90°
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结论，利用平行线的性质即可得出结论.
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（1）解：∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ CAD ＝ ∠ BAC .
2
∵ AE ⊥ BC ，∴∠ CAE ＝90°－∠ C .
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∴∠ DAE ＝∠ CAD －∠ CAE ＝ ∠ BAC －（90°－∠ C ）
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1
＝ （180°－∠ B －∠ C ）－（90°－∠ C ）＝ ∠ C － ∠ B
（1）如图1，若 AE ⊥ BC 于点 E ，∠ B ＝50°，∠ C ＝70°，求
∠ DAE 的度数；
（2）如图2，若点 E 在 AD 上， EF ⊥ BC 于点 F ，试探究∠ DEF
与∠ B ，∠ C 的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若点 E 在 AD 的延长线上， EF ⊥ BC 于点 F ，则
50°.∴∠ CDE ＝180°－∠ C －∠ CED ＝180°－80°－50°
＝50°.∴∠ BDE ＝180°－∠ CDE ＝180°－50°＝130°.故
答案为130°.
【点拨】折叠前后的两个三角形全等，从而得到对应角相等，
再利用三角形内角和定理求解角度.熟练掌握折叠的性质及三角
形内角和定理是解决此类问题的关键.
分线，点 B ， C ， D 在同一条直线上， FD ∥ CE ，∠ D ＝
42°，求∠ B 的度数.
【思路导航】先根据已知条件求得∠ BCE 的度数.再由 CE 是
∠ ACB 的平分线，求出∠ ACB 的度数，最后利用三角形的内角
和是180°求出∠ B 的度数.
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解：∵ FD ∥ CE ，∴∠ BCE ＝∠ D ＝42°.
∵ CE 是∠ ACB 的平分线，
∴∠ ACB ＝2∠ BCE ＝84°.
又∵∠ A ＝46°，
∴∠ B ＝180°－∠ ACB －∠ A ＝180°－84°－46°＝50°.
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【点拨】三角形内角和定理是三角形中三个内角之间的数量关
系，求三角形的某个内角的度数时，若已知一个内角，则必须
∴∠ AED ＋∠ CED ＝2∠ CED ＝180°.
∴∠ CED ＝90°.由（1），得∠ CDE ＝30°，
∴∠ C ＝180°－∠ CED －∠ CDE ＝180°－90°－30°
＝60°.
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在△ ABC 中，已知 AD 平分∠ BAC ，∠ B ＜∠ C .
＝ （∠ ACB －∠ B ）.
2
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演示完毕
谢谢观看
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如图，在△ ABC 中，已知 AD 平分∠ BAC ，点 P 为线段 AD 上的
一点，过点 P 作 PE ⊥ AD 交直线 BC 于点 E .
（1）若∠ B ＝35°，∠ ACB ＝85°，求∠ E 的度数；
解：（1）∵∠ B ＝35°，∠ ACB ＝85°，
∴∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ ACB ＝60°.
∴∠ B ＝∠ ACB ＝2 x .
∵∠ A ＋∠ B ＋∠ ACB ＝180°，
∴ x ＋2 x ＋2 x ＝180°，解得 x ＝36°.
∴∠ ACB ＝2 x ＝2×36°＝72°.
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（1）如图，在△ ABC 中，已知∠ B ＝46°，∠ C ＝54°， AD
平分∠ BAC ，交 BC 于点 D ， DE ∥ AB ，交 AC 于点 E ，则
AC ， AC ， AB 上，且 DE ∥ BF ， FG ∥ BC ，∠ AGF ＝75°，
∠ ABF ＝45°.
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（1）求∠ BDE 的度数；
解：（1）∵ FG ∥ BC ，∠ AGF ＝75°，
∴∠ ABC ＝∠ AGF ＝75°.
又∵∠ ABF ＝45°，
∴∠ CBF ＝∠ ABC －∠ ABF ＝75°－45°＝30°.
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数学 八年级上册 BS版
1. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 是 BC 上的点，∠ BAD ＝∠ B
＝40°，将△ ABD 沿着 AD 翻折得到△ AED ，则∠ CDE 的度数
为 20° .
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2. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E ， F ， G 分别在边 BC ，
∵ AD 平分∠ BAC ，
1
∴∠ CAD ＝ ∠ BAC ＝30°.
2
∴∠ ADC ＝180°－∠ CAD －∠ ACD ＝65°.
∵ PE ⊥ AD ，∴∠ E ＝90°－∠ PDE ＝25°.
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（2）试猜想∠ E 与∠ B ，∠ ACB 之间的数量关系，并证明你的
2
∴∠ ADC ＝180°－∠ CAD －∠ ACD
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＝180°－ （180°－ x － y ）－ y ＝90°＋ （ x － y ）. 返回目录
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∵ PE ⊥ AD ，∴∠ PDE ＋∠ E ＝90°.
∴∠ E ＝90°－
1
90°＋ （
2
− ）
1
＝ （y－x）
2
1
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第七章
5
平行线的证明
三角形内角和定理（第一课时）
数学 八年级上册 BS版
目录
CONTENTS
课前预习
典例讲练
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前源自文库习
数学 八年级上册 BS版
1. 三角形内角和定理.
三角形内角和等于 180° .
注：（1）三角形的内角和等于180°是一个共性结论，与三角
1
∠ DEF ＝ （∠ C －∠B ）
2
∠ DEF 与∠ B ，∠ C 的数量关系是
.
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图1
图2
图3
【思路导航】（1）根据三角形内角和定理、角平分线等分别求
出∠ CAD ，∠ CAE 的度数，即可解答；（2）过点 A 作 BC 的垂
线，与（1）同理，可求得∠ DEF ；（3）结合（1）（2）中的
∠ ADE 的度数为
40° .
【思路导航】利用三角形内角和定理，结合平行线的性质求解
即可.
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数学 八年级上册 BS版
【解析】∵∠ B ＝46°，∠ C ＝54°，∴∠ BAC ＝180°－46°
－54°＝80°.∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝
1
2
∠ BAC ＝
40°.∵ DE ∥ AB ，∴∠ ADE ＝∠ BAD ＝40°.故答案为40°.
2. 如图，在△ ABC 中，已知∠ A ＝∠1，∠2＝∠ B ，∠ B ＝
∠ ACB ，求∠ ACB 的度数.
解：设∠ A ＝∠1＝ x ，
则∠ ADC ＝180－∠ A －∠1＝180°－2 x .
∴∠2＝180°－∠ ADC ＝180°－[180°－（∠1＋∠ A ）]
＝2 x .
又∵∠2＝∠ B ，∠ B ＝∠ ACB ，
3，构造 PQ ∥ BC . 利用平行线的性质说明三角形的三个内角的
和等于180°.
图1
图2
图3
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0 2
典例讲练
数学 八年级上册 BS版
（1）如图，在△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，点 D 在 AC 上，且
DE ∥ AB . 若∠ CDE ＝160°，则∠ B 的度数为（ D ）
1
2
1
2
（ ∠ C －∠ B ）.∴∠ DEF ＝ （∠ C －∠ B ）.故答案为
1
∠ DEF ＝ （∠ C －∠ B ）.
2
图2
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数学 八年级上册 BS版
【点拨】在求角的关系的问题中，需要灵活运用三角形内角和
定理、角平分线、平行线的性质等，通过等量代换得到结论.解
题时需认真分析，避免思路混乱.
【思路导航】由折叠的性质得到相等的角，再利用三角形内角
和定理计算即可.
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【解析】∵△ CED 沿 DE 折叠后得到△ C ' ED ，∴△ CED ≌
△ C ' ED . ∴∠ CED ＝∠ C ' ED . ∵ EC '∥ BC ，∴∠ AEC '＝∠ C
＝80°.∵∠ AEC '＋∠ C ' ED ＋∠ CED ＝180°，∴∠ CED ＝
∵ DE ∥ BF ，∴∠ CDE ＝∠ CBF ＝30°.
∴∠ BDE ＝180°－∠ CDE ＝180°－30°＝150°.
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（2）若∠ AFB ＝∠ CED ，求∠ C 的度数.
（2）∵ DE ∥ BF ，∴∠ AFB ＝∠ AED .
∵∠ AFB ＝∠ CED ，∴∠ AED ＝∠ CED .
猜想.
1
（2）∠ E ＝ （∠ ACB －∠ B ）.
2
证明如下：
设∠ B ＝ x ，∠ ACB ＝ y .
1
∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ CAD ＝ ∠ BAC .
2
∵∠ B ＋∠ ACB ＋∠ BAC ＝180°，
1
∴∠ BAC ＝180°－ x － y .∴∠ CAD ＝ （180°－ x － y ）.
由（1）可得，∠ DAG ＝ （∠ C －∠ B ）.
2
1
∴∠ DEF ＝ （∠ C －∠ B ）.
2
图1
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（3）【解析】如图2，过点 A 作 AG ⊥ BC 于点 G . ∵ EF ⊥ BC ，
∴ AG ∥ EF . ∴∠ DAG ＝∠ DEF . 由（1），得∠ DAG ＝
【点拨】对于求角的问题，需要综合运用已学定理和性质，如
三角形内角和定理、平行线的性质等，达到由已知推导未知的
目的.
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（2）如图，将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠，使点 C 落在点C'处.
若EC'恰好与 BC 平行，且∠ C ＝80°，则∠ BDE ＝
130° .
90°，∴∠ B ＝180°－∠ A －∠ C ＝180°－20°－90°＝
70°.故选D.
【点拨】在三角形问题中，涉及到求角度时，“三角形的内角
和等于180°”一般作为解决三角形问题的隐含条件.
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（2）如图，在△ ABC 中，已知∠ A ＝46°， CE 是∠ ACB 的平
A. 40°
C. 60°
B. 50°
D. 70°
【思路导航】先利用平角的定义可得∠ ADE 的大小，再根据平
行线的性质求出∠ A ，然后由三角形内角和定理可得答案.
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【解析】∵∠ CDE ＝160°，∴∠ ADE ＝180°－∠ CDE ＝
20°.∵ DE ∥ AB ， ∴∠ A ＝ ∠ ADE ＝ 20°. 又 ∵∠ C ＝
2
2
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1
＝ （∠ C －∠ B ）.
2
∵∠ B ＝50°，∠ C ＝70°，
1
∴∠ DAE ＝ ×（70°－50°）＝10°.
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1
（2）解：∠ DEF ＝ （∠ C －∠ B ）.证明如下：
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如图1，过点 A 作 AG ⊥ BC 于点 G .
∵ EF ⊥ BC ，∴ AG ∥ EF . ∴∠ DEF ＝∠ DAG .
形的具体形状或种类没有关系，所有三角形的内角之和都等于
180°；（2）由三角形的内角和定理可知直角三角形的两锐角
互余.
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2. 三角形内角和定理的证明.
（1）（方法一）如图1，将三角形中的两个角剪下后，可以与
第三个角拼成一个平角（平角的度数是180°）；
（2）（方法二）构造平行线.如图2，构造 CE ∥ AB ；或如图
根据条件再求出另一个内角，才能求出最后一个角，其中平行
线的性质能起到转化角的作用.
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1. 在△ ABC 中，已知∠ B 是∠ A 的2倍，∠ C 比∠ A 大20°，则
∠ A 的度数为（ A ）
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 90°
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结论，利用平行线的性质即可得出结论.
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1
（1）解：∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ CAD ＝ ∠ BAC .
2
∵ AE ⊥ BC ，∴∠ CAE ＝90°－∠ C .
1
∴∠ DAE ＝∠ CAD －∠ CAE ＝ ∠ BAC －（90°－∠ C ）
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＝ （180°－∠ B －∠ C ）－（90°－∠ C ）＝ ∠ C － ∠ B
（1）如图1，若 AE ⊥ BC 于点 E ，∠ B ＝50°，∠ C ＝70°，求
∠ DAE 的度数；
（2）如图2，若点 E 在 AD 上， EF ⊥ BC 于点 F ，试探究∠ DEF
与∠ B ，∠ C 的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若点 E 在 AD 的延长线上， EF ⊥ BC 于点 F ，则
50°.∴∠ CDE ＝180°－∠ C －∠ CED ＝180°－80°－50°
＝50°.∴∠ BDE ＝180°－∠ CDE ＝180°－50°＝130°.故
答案为130°.
【点拨】折叠前后的两个三角形全等，从而得到对应角相等，
再利用三角形内角和定理求解角度.熟练掌握折叠的性质及三角
形内角和定理是解决此类问题的关键.
分线，点 B ， C ， D 在同一条直线上， FD ∥ CE ，∠ D ＝
42°，求∠ B 的度数.
【思路导航】先根据已知条件求得∠ BCE 的度数.再由 CE 是
∠ ACB 的平分线，求出∠ ACB 的度数，最后利用三角形的内角
和是180°求出∠ B 的度数.
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解：∵ FD ∥ CE ，∴∠ BCE ＝∠ D ＝42°.
∵ CE 是∠ ACB 的平分线，
∴∠ ACB ＝2∠ BCE ＝84°.
又∵∠ A ＝46°，
∴∠ B ＝180°－∠ ACB －∠ A ＝180°－84°－46°＝50°.
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【点拨】三角形内角和定理是三角形中三个内角之间的数量关
系，求三角形的某个内角的度数时，若已知一个内角，则必须
∴∠ AED ＋∠ CED ＝2∠ CED ＝180°.
∴∠ CED ＝90°.由（1），得∠ CDE ＝30°，
∴∠ C ＝180°－∠ CED －∠ CDE ＝180°－90°－30°
＝60°.
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在△ ABC 中，已知 AD 平分∠ BAC ，∠ B ＜∠ C .
＝ （∠ ACB －∠ B ）.
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谢谢观看
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如图，在△ ABC 中，已知 AD 平分∠ BAC ，点 P 为线段 AD 上的
一点，过点 P 作 PE ⊥ AD 交直线 BC 于点 E .
（1）若∠ B ＝35°，∠ ACB ＝85°，求∠ E 的度数；
解：（1）∵∠ B ＝35°，∠ ACB ＝85°，
∴∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ ACB ＝60°.
∴∠ B ＝∠ ACB ＝2 x .
∵∠ A ＋∠ B ＋∠ ACB ＝180°，
∴ x ＋2 x ＋2 x ＝180°，解得 x ＝36°.
∴∠ ACB ＝2 x ＝2×36°＝72°.
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（1）如图，在△ ABC 中，已知∠ B ＝46°，∠ C ＝54°， AD
平分∠ BAC ，交 BC 于点 D ， DE ∥ AB ，交 AC 于点 E ，则
AC ， AC ， AB 上，且 DE ∥ BF ， FG ∥ BC ，∠ AGF ＝75°，
∠ ABF ＝45°.
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（1）求∠ BDE 的度数；
解：（1）∵ FG ∥ BC ，∠ AGF ＝75°，
∴∠ ABC ＝∠ AGF ＝75°.
又∵∠ ABF ＝45°，
∴∠ CBF ＝∠ ABC －∠ ABF ＝75°－45°＝30°.
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1. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 是 BC 上的点，∠ BAD ＝∠ B
＝40°，将△ ABD 沿着 AD 翻折得到△ AED ，则∠ CDE 的度数
为 20° .
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2. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E ， F ， G 分别在边 BC ，
∵ AD 平分∠ BAC ，
1
∴∠ CAD ＝ ∠ BAC ＝30°.
2
∴∠ ADC ＝180°－∠ CAD －∠ ACD ＝65°.
∵ PE ⊥ AD ，∴∠ E ＝90°－∠ PDE ＝25°.
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（2）试猜想∠ E 与∠ B ，∠ ACB 之间的数量关系，并证明你的
2
∴∠ ADC ＝180°－∠ CAD －∠ ACD
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＝180°－ （180°－ x － y ）－ y ＝90°＋ （ x － y ）. 返回目录
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∵ PE ⊥ AD ，∴∠ PDE ＋∠ E ＝90°.
∴∠ E ＝90°－
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90°＋ （
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− ）
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＝ （y－x）
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第七章
5
平行线的证明
三角形内角和定理（第一课时）
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目录
CONTENTS
课前预习
典例讲练
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0 1
课前源自文库习
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1. 三角形内角和定理.
三角形内角和等于 180° .
注：（1）三角形的内角和等于180°是一个共性结论，与三角
1
∠ DEF ＝ （∠ C －∠B ）
2
∠ DEF 与∠ B ，∠ C 的数量关系是
.
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图1
图2
图3
【思路导航】（1）根据三角形内角和定理、角平分线等分别求
出∠ CAD ，∠ CAE 的度数，即可解答；（2）过点 A 作 BC 的垂
线，与（1）同理，可求得∠ DEF ；（3）结合（1）（2）中的
∠ ADE 的度数为
40° .
【思路导航】利用三角形内角和定理，结合平行线的性质求解
即可.
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【解析】∵∠ B ＝46°，∠ C ＝54°，∴∠ BAC ＝180°－46°
－54°＝80°.∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝
1
2
∠ BAC ＝
40°.∵ DE ∥ AB ，∴∠ ADE ＝∠ BAD ＝40°.故答案为40°.
2. 如图，在△ ABC 中，已知∠ A ＝∠1，∠2＝∠ B ，∠ B ＝
∠ ACB ，求∠ ACB 的度数.
解：设∠ A ＝∠1＝ x ，
则∠ ADC ＝180－∠ A －∠1＝180°－2 x .
∴∠2＝180°－∠ ADC ＝180°－[180°－（∠1＋∠ A ）]
＝2 x .
又∵∠2＝∠ B ，∠ B ＝∠ ACB ，
3，构造 PQ ∥ BC . 利用平行线的性质说明三角形的三个内角的
和等于180°.
图1
图2
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0 2
典例讲练
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（1）如图，在△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，点 D 在 AC 上，且
DE ∥ AB . 若∠ CDE ＝160°，则∠ B 的度数为（ D ）
1
2
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（ ∠ C －∠ B ）.∴∠ DEF ＝ （∠ C －∠ B ）.故答案为
1
∠ DEF ＝ （∠ C －∠ B ）.
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图2
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【点拨】在求角的关系的问题中，需要灵活运用三角形内角和
定理、角平分线、平行线的性质等，通过等量代换得到结论.解
题时需认真分析，避免思路混乱.
【思路导航】由折叠的性质得到相等的角，再利用三角形内角
和定理计算即可.
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【解析】∵△ CED 沿 DE 折叠后得到△ C ' ED ，∴△ CED ≌
△ C ' ED . ∴∠ CED ＝∠ C ' ED . ∵ EC '∥ BC ，∴∠ AEC '＝∠ C
＝80°.∵∠ AEC '＋∠ C ' ED ＋∠ CED ＝180°，∴∠ CED ＝
∵ DE ∥ BF ，∴∠ CDE ＝∠ CBF ＝30°.
∴∠ BDE ＝180°－∠ CDE ＝180°－30°＝150°.
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（2）若∠ AFB ＝∠ CED ，求∠ C 的度数.
（2）∵ DE ∥ BF ，∴∠ AFB ＝∠ AED .
∵∠ AFB ＝∠ CED ，∴∠ AED ＝∠ CED .
猜想.
1
（2）∠ E ＝ （∠ ACB －∠ B ）.
2
证明如下：
设∠ B ＝ x ，∠ ACB ＝ y .
1
∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ CAD ＝ ∠ BAC .
2
∵∠ B ＋∠ ACB ＋∠ BAC ＝180°，
1
∴∠ BAC ＝180°－ x － y .∴∠ CAD ＝ （180°－ x － y ）.