河北省保定市部分高中2024届高三上学期期末数学试题含答案

2023-2024学年高三年级上学期期末考试
数学试题
（考试时间：120分钟，满分：150分）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1.已知集合{}01A x x =≤≤，
1,12x
B y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫
==>-⎨⎬
⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A.∅
B.
(]
0,1 C.
[)0,2 D.
[]
0,12.若虚数z 是关于x 的方程()2
20R x x m m -+=∈
的一个根，且z =，则m =（
）
A.6
B.4
C.2
D.1
3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调递减，且
(3)0f =，则不等式
((15)0)2x x f --<的解集为（
）
A .
5(,2),42⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭
B.(4,)
+∞ C.52,
(4,)2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝
⎭
D.(,2)
-∞-4.已知函数()31
31-=+x x f x ，数列{}n a 满足11a =，()*3N n n a a n +=∈，()()1230f a f a a ++=，则2023
1
i i a ==
∑（）
A.0
B.1
C.675
D.2023
5.已知向量()2,3a =- ，()1,2b = ，()9,4c = ，若正实数m ，n 满足c ma nb =+ ，则11
m n
+的值为（
）
A.
710
B.
37
C.
47
D.
57
6.如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成）
，尊内底铸有12行、122字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为
30cm ，上口的内径约为20cm ，圆柱的深度和底面内径分别约为20cm,16cm ，则“何尊”的容积大约为
（
）
A.35500cm
B.36000cm
C.36500cm
D.3
7000cm
7.直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===，P 为BC 中点，1
2
AP BC =
，Q 为11A C 上一点，1111
2
A Q A C =
，则经过A ，P ，Q 三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（）A.
72
B.4
C.
92
D.58.若曲线ln 1y x =+与曲线23y x x a =++有公切线，则实数a 的取值范围（）
A.2ln 233ln 2,62--⎡⎤
⎢
⎣⎦
B.14ln 23ln 2,
122--⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦C .
2ln 23,6-⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
D.14ln 2,12-⎡⎫+∞⎪
⎢
⎣⎭
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.
已知实数a ，b 1
1
>
，则（）
A.0.20230.2023log log a b <
B.33a b <
C.
11b b a a +>
+ D.1
1
ab ab +
+的最小值为1
10.若函数
()πtan 238f x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，则（
）
A.()f x 的最小正周期为π
B.()f x 的定义域为5ππ,162k x x k ⎧
⎫≠+∈⎨⎬⎩
⎭
Z C.()f x 在π3π,1616⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增D.()f x 的图象关于点π,016⎛⎫
⎪⎝⎭
对称11.已知双曲线:C 22
213
x y a -=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线28y x =的焦点与双曲线C 的
焦点重合，点P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）
A.双曲线C
的渐近线方程为y = B.17PF =C.12F PF △
的面积为 D.126
cos 7
F PF ∠=
12.已知函数()32
,0e 23,0x x f x x mx x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩
，若函数()()1g x f x =-恰有3个零点，则实数m 的值可以为
（）
A.5
B.6
C.7
D.8
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知0:p x ∃∈R ，2
00430x ax -+<，请写出一个使p 为假命题的实数a 的值，=a
______．
14.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.
15.
l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与该抛物线交于,A B 两点，若
8,AB P =为该抛物线上一点，Q 为圆2
2
3:(1)12C x y ⎛⎫++-= ⎪
⎝
⎭上一点，则PF PQ +的最小值为__________.
16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点
,,,A B C D 满
足3
AB BC CD DA DB =====cm
，AC =cm ，则该“鞠”的表面积为
_______2cm .
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①11
n n n
a a n -=
-()2n ≥且11a =；②22n S n n =+；③2120n n n a a a +++-=且11a =，33a =，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：（1）已知数列{}n a 满足______，求{}n a 的通项公式；
（2）已知正项等比数列{}n b 满足12b a =，2312b b +=，求数列2212
log log n n b b +⎧
⎫⎨
⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．
18.已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量
(sin ,cos )m C C =
，
(2sin cos ,sin )n A B B =-- ，且m n ⊥ ．
（1）求角C 的值；
（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围．
19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PDC ⊥平面ABCD
，PD PC ==，1
22
CB BA AD ==
=，AD CB ，90BAD ∠=，E 为PD 中点
.
（1）求证：CE 面PAB ；
（2）点Q 在棱PA 上，设(01)PQ PA λλ=<< ，若二面角P －CD －Q 余弦值
为13
，求λ.
20.全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x （单位：万元）进行调查，并绘制得到
如下图所示的频率分布直方图．
（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间中点值代表）．（2）由直方图可认为农户家庭年收入X 近似服从正态分布(
)2
,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2
σ
近
似为样本方差2s ．
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为ξ，求()3P ξ≤．（结果精确到0.001）
1.52≈；②若()2
,X N
μσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，
()220.9545P X μσμσ-<<+=；③40.841350.501≈．
21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2
，M 为椭圆C 上的一
个动点，且点M 到右焦点2F 距离的最大值为2+．（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当1F AB 的面积最大时，求此时直线l 的方程．22.已知()()
e 1sin =-x
f x x ，()0,2πx ∈．
（1）求()f x 在点()()π,πP f 的切线方程；
（2）设()()2
g x f x x =-，()0,2πx ∈，判断()g x 的零点个数，并说明理由．
2023-2024学年高三年级上学期期末考试
数学试题
（考试时间：120分钟，满分：150分）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1.已知集合{}01A x x =≤≤，
1,12x
B y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫
==>-⎨⎬
⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A.∅ B.
(]
0,1 C.
[)0,2 D.
[]
0,1【答案】B 【解析】
【分析】化简集合B ，后由交集定义可得答案.
【详解】集合{}01A x x =≤≤，因12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()1,-+∞上单调递减，则{}02B y y =<<，得(]
0,1A B = 故选：B ．
2.若虚数z 是关于x 的方程()2
20R x x m m -+=∈
的一个根，且z =，则m =（
）
A.6
B.4
C.2
D.1
【答案】C 【解析】
【分析】设复数i z a b =+，将其代入方程求得1a =，21m b =+
，然后利用复数
z =即可求解.
【详解】依题意，设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），代入方程220x x m -+=，得()()2
i 2i 0a b a b m +-++=，整理得222(22)i 0b a m ab b a --++-=．
所以2220220a b a m ab b ⎧--+=⎨-=⎩，解得211m b a ⎧=+⎨=⎩
，
因为z ==，即222a b +=，所以21,2b m ==．
故选：C ．
3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调递减，且
(3)0f =，则不等式
((15)0)2x x f --<的解集为（
）
A.5(,2),42⎛⎫
-∞- ⎪⎝⎭
B.(4,)
+∞ C.52,
(4,)2⎛
⎫
-+∞ ⎪⎝
⎭
D.(,2)
-∞-【答案】C 【解析】
【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.【详解】依题意，函数的大致图像如下图：
因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在[0,)+∞上单调递减，且(3)0f =，
所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且(3)0f -=，
则当3x >或3x <-时，()0f x <；当33x -<<时，()0f x >，不等式((15)0)2x x f --<化为250(1)0x f x ->⎧⎨
-<⎩或250
(1)0x f x -<⎧⎨->⎩
，
所以25013x x ->⎧⎨->⎩或25013x x ->⎧⎨-<-⎩或250
313x x -<⎧⎨-<-<⎩
，
解得4x >或x ∈∅或522x -<<
，即5
22
x -<<或4x >，
即原不等式的解集为52,(4,)2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝
⎭
；故选：C.
4.已知函数()31
31-=+x x f x ，数列{}n a 满足11a =，()*3N n n a a n +=∈，()()1230f a f a a ++=，则2023
1
i i a ==
∑（）
A.0
B.1
C.675
D.2023
【答案】B 【解析】
【分析】利用函数计算可得1230a a a ++=，再利用数列的周期性可求
20231
i
i a =∑.
【详解】()f x 的定义域为R ，且()()3131
3131
x x x x f x f x -----==-=-++，
故()f x 为R 上的奇函数.而()2
131
x f x =-
+，因31x t =+在R 上为增函数，2
1y t
=-在()1,+∞为增函数，故()f x 为R 上的增函数.
又()()1230f a f a a ++=即为()()123f a f a a =--，故1230a a a ++=，因为(
)*
3N
n n a a n +=∈，故{}n
a 为周期数列且周期为3.
因为20232022136741=+=⨯+，
所以
()2023
123202311
67401i
i a
a a a a a ==+++=+=∑.
故选：B.
5.已知向量()2,3a =- ，()1,2b = ，()9,4c = ，若正实数m ，n 满足c ma nb =+ ，则11
m n
+的值为（
）
A.
710
B.
37
C.
47
D.
57
【答案】A 【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得,m n ，从而得解..
【详解】因为()2,3a =- ，()1,2b =
，()9,4c = ，
所以()()2,329,4c ma nb m n m n =+=+-+=
，所以29324m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得25m n =⎧⎨=⎩
，
所以
111172510
m n ++==.故选：A.
6.如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成）
，尊内底铸有12行、122字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为
30cm ，上口的内径约为20cm ，圆柱的深度和底面内径分别约为20cm,16cm ，则“何尊”的容积大约为
（
）
A.35500cm
B.36000cm
C.36500cm
D.3
7000cm 【答案】C 【解析】
【分析】根据圆柱以及圆台的体积公式计算，即可得答案.【详解】由题意可知圆台的高为302010(cm)-=，故组合体的体积大约为2
2216280π
π820π(881010)10657333
⨯⨯+⨯+⨯+⨯=≈3(cm )，故选：C
7.直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===，P 为BC 中点，1
2
AP BC =
，Q 为11A C 上一点，1111
2
A Q A C =
，则经过A ，P ，Q 三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（）
A.
72
B.4
C.
92
D.5
【答案】C 【解析】
【分析】如图，在11B C 上取点M ，使得1111
4
C M B C =
，取11B C 的中点N ，连接1,QM A N ，则//QM AP ，利用线面垂直的判定定理与性质可得AP ⊥PM ，则截面为直角梯形APQM ，结合题意求出QM 、AP 、PM ，由梯形的面积公式计算即可求解.
【详解】如图，在11B C 上取点M ，使得1111
4
C M B C =
，取11B C 的中点N ，连接1,QM A N ，则1//QM A N ，又1//AP A N ，所以//QM AP ，
得A 、P 、M 、Q 四点共面，又AB AC =，P 为BC 的中点，所以⊥AP BC ，由1AP A A ⊥，得1AP BB ⊥，又11,BB BC B BB BC =⊂ 、平面11BCC B ，所以AP ⊥平面11BCC B ，由PM ⊂平面11BCC B ，得AP ⊥PM ，
所以截面为直角梯形APQM ，且AB AC ⊥，得4BC ==，
所以1111
1224
QM A N AP BC =
===，
作MD BC ⊥于D ，则3PM ==，所以19
)1((21)322
2APQM S M AP PM Q +=⨯+⨯==梯形.故选：C ．
8.若曲线ln 1y x =+与曲线23y x x a =++有公切线，则实数a 的取值范围（）
A.2ln 233ln 2,62--⎡⎤⎢
⎣⎦
B.14ln 23ln 2,
122--⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C.2ln 23,6-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D.14ln 2,12-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a 关于切点x 的解析式，根据解析式的值域确定a 的范围.
【详解】设()11,x y 是曲线ln 1y x =+的切点，设()22,x y 是曲线23y x x a =++的切点，
对于曲线ln 1y x =+，其导数为'1y x
=，对于曲线23y x x a =++，其导数为'21y x =+，所以切线方程分别为：()()1111ln 1y x x x x -+=
-，()()()22222321y x x a x x x -++=+-，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：2121
2121ln 3x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得()22212222213ln ln ln 2121a x x x x x x =+=+=-+++（212x >-
），令()()2ln 21h x x x =-++（12x >-），()()()2'2121242220212121
x x x x h x x x x x +-+-=-+===+++，得：12x =，当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，()'0h x <，()h x 是减函数，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()'0h x >，()h x 是增函数，∴()min 11ln224h x h ⎛⎫==-
⎪⎝⎭且当x 趋于12-时，，()h x 趋于+∞；当x 趋于+∞时，()h x 趋于+∞；∴13ln24a ≥-，∴14ln212
a -≥；故选：D ．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.已知实数a ，b
1
1
>，则（）
A.0.20230.2023log log a b <
B.33
a b <
C.11b b a a +>+
D.11
ab ab ++的最小值为1【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式的性质可得0a b <<.结合对数函数、幂函数的单调性即可判断AB ；利用作差法计算即可判断C ；结合基本不等式计算即可判断D.1
1
>可知0a >，0b >，由不等式的性质可知11a b
>，则0a b <<．选项A ：因为对数函数.02023log y x =为减函数，0a b <<，所以0.20230.2023log log a b >，故A 错误；选项B ：由函数3y x =的单调性可知33a b <，故B 正确；
选项C ：因为()()()()1110111b a a b b b b a a a a a a a +-++--==>+++，所以11
b b a a +>+，故C 正确；
选项D ：()11111111ab ab ab ab +=++-≥-=++，当且仅当111ab ab +=
+，即0ab =时取得等号，显然等号不成立，故D 错误．故选：BC.
10.若函数()πtan 238f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则（）
A.()f x 的最小正周期为π
B.()f x 的定义域为5ππ,162k x x k ⎧⎫≠
+∈⎨⎬⎩⎭Z C.()f x 在π3π,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 的图象关于点π,016⎛⎫
⎪⎝⎭对称【答案】BC
【解析】
【分析】A 选项，由πT ω=求出最小正周期；B 选项，整体法得到()ππ2π82
x k k -≠+∈Z ，求出定义域；
C 选项，得到ππ20,84x ⎛⎫-
∈ ⎪⎝⎭，得到()f x 在π3π,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增；D 选项，整体法求解出函数的对称中心.【详解】A 选项，()f x 的最小正周期为ππ2ω=
=T ，A 错误；B 选项，由()ππ2π82x k k -
≠+∈Z ，得()5ππ162k x k ≠+∈Z ，B 正确；C 选项，由π3π,1616x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ20,84x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y z =在π40,z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上单调递增，所以()f x 在π3π,1616⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递增，C 正确；D 选项，由()ππ282k x k -
=∈Z ，得()ππ164k x k =+∈Z ，当0k =时，π16x =，所以()f x 的图象关于点π,316⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，D 错误.故选：BC 11.已知双曲线:C 22213
x y a -=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线28y x =的焦点与双曲线C 的焦点重合，点P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（
）
A.双曲线C 的渐近线方程为y =
B.17PF =
C.12F PF △的面积为
D.126cos 7
F PF ∠=【答案】AB
【解析】
【分析】先根据抛物线方程得出2F 的坐标，即c 的值，进而求出a ，得出双曲线的方程.即可得出A 项；联立双曲线与抛物线的方程，求出P 点坐标，即可求得1PF 的值，判断B 项、得出12F PF △的面积，判断C 项、求得2PF 的值，根据余弦定理，得出12cos F PF ∠的值，判断D 项.
【详解】
由已知，抛物线的焦点坐标为()2,0，所以双曲线右焦点()22,0F ，即2c =.
又23b =，所以2221a c b =-=，所以，双曲线的方程为2
2
13y x -=.对于A 项，双曲线的C
的渐近线方程为b y x a
=±=，故A 项正确；对于B 项，联立双曲线与抛物线的方程2
22138y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩
，整理可得，23830x x --=，解得3x =或13x =-
（舍去负值），所以3x =，代入28y x =
可得，y =±.
设(P ，又()12,0F -，所以
17PF =
，故B 项正确；
对于C
项，易知1222114
22F PF S F F =
⨯⨯=⨯⨯= ，故C 项错误；对于D 项，因为25PF ==，所以，由余弦定理可得，22212121212
cos 2PF PF F F F F P P P F F +⨯=-∠222754296275357
+-==≠⨯⨯，故D 项错误.故选：AB.12.已知函数()32,0e 23,0
x x f x x mx x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩，若函数()()1g x f x =-恰有3个零点，则实数m 的值可以为
（
）A.5
B.6
C.7
D.8
【答案】CD
【解析】
【分析】将问题转化为方程()1f x =恰有3个实数根，再讨论0x >时可得有1个根，进而当0x ≤时，方
程()1f x =有2个实数根，再构造函数()242(0)x x x x
ϕ=-<，求导分析单调性与最值即可.【详解】令()()10g x f x =-=，解得()1f x =，故问题转化为方程()1f x =恰有3个实数根.当0x >时，令21e
x =，解得ln2x =，故当0x ≤时，方程()1f x =有2个实数根.
令3231x mx --=，即324x mx -=，显然0x =不是该方程的根，
242m x x ∴=-.令()242(0)x x x x
ϕ=-<，则()()()()322224141144x x x x x x x x x
ϕ'++-+=+==，故当1x <-时，()0x ϕ'<，当1x >-时，()0x ϕ'>，
故当=1x -时，()x ϕ有极小值6，而x →-∞时，()x ϕ→+∞，当0x <，且0x →时，()x ϕ→+∞，故实数m 的取值范围为()6,+∞.
故选：CD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知0:p x ∃∈R ，200430x ax -+<，请写出一个使p 为假命题的实数a 的值，=a ______．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用命题的否定来找到一个满足条件即可.
【详解】由题意，:p x ⌝∀∈R ，2430x ax -+≥为真命题，
当0a =时，224330x ax x -+=+≥恒成立，满足题意，
故答案为：0（答案不唯一）.
14.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少
分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.【答案】
13【解析】
【分析】利用计数原理和排列组合公式，分别计算甲、乙分配到同一个场馆的方法数和甲分配到游泳馆的方法数，根据古典概型的计算公式计算.
【详解】甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：
（1）场馆分组人数为1，1，3时，甲、乙必在3人组，则方法数为1333C A 18=种；
（2）场馆分组人数为2，2，1时，其中甲、乙在一组，则方法数为122332C C A 18=种，
即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为181836n =+=.
若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为12123232C A C A 12m =+=，故所求的概率为121363
m P n ===.故答案为：13
15.
l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与该抛物线交于,A B 两点，若
8,AB P =为该抛物线上一点，Q 为圆223:(1)12C x y ⎛⎫++-= ⎪⎝
⎭上一点，则PF PQ +的最小值为__________.
【答案】1-
##1-+【解析】
【分析】利用直线的点斜式方程写出直线AB 的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式，结合三点共线线段最小及两点间的距离公式即可求解.
【详解】由题可知直线AB
的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，则
由222p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩
,消去y ，整理得22122030x px p -+=，，所以1253
p x x +=，所以1258833
p p AB x x p p =++=+==，解得3p =，
所以3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而圆C 的圆心3,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭
,因为1PF PQ QF CF CQ CF +≥≥-=-，
当且仅当点,,,C Q P F 在同一条直线上取等号，且点Q 位于点,C P 之间，如图所示：
又CF ==
所以PF PQ +1.
1-.
16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点
,,,A B C D
满足3
AB BC CD DA DB =====cm ，AC =cm ，则该“鞠”的表面积为_______2cm .【答案】
112π9【解析】
【分析】作出辅助线，找到球心的位置，利用余弦定理和勾股定理求出球的半径，得到表面积.
【详解】取BD 的中点E ，连接,AE CE ，
因为3
AB BC CD DA DB =====cm ，所以3BE DE ==cm 且,CE BD AE BD ⊥⊥，
故m 3
c 2CE AE ===，
因为AC =，所以22244121cos 22222
AE CE AC AEC AE CE +-+-∠===-⋅⨯⨯，
故120AEC ∠=︒，
在CE 上取点F ，使得2CF EF =，则点F 为等边BCD △的中心，则m 24,3cm c 3
EF CF =
=，设点O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，则OF ⊥平面BCD ，
连接,OA OC ，设外接球半径为cm r ，则cm OA OC r ==，
过点A 作AP ⊥CE ，交CE 延长线于点P ，则60AEP ∠=︒，
由于O 在平面ACE 中，故//AP OF ，故AP ⊥平面BCD ，
过点O 作OH ⊥AP 于点H ，则,OH PF PH OF ==，m cos 0c 61PE AE =︒=
，m sin 06AP AE =︒=，25133PF PE EF =+=+
=()cm ，
故cm 53
OH PF ==，设OF PH h ==，则AH AP HP h =-=，
由勾股定理得)
2222259AO AH OH h =+=+，2222169OC OF CF h =+=+，
故)22251699h h +=+，解得cm 233
h =，故22231628399r ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，
故该“鞠”的表面积为22281124π4ππ9cm 9
r =⨯
=.故答案为：112π9四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①11
n n n a a n -=-()2n ≥且11a =；②22n S n n =+；③2120n n n a a a +++-=且11a =，33a =，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
（1）已知数列{}n a 满足______，求{}n a 的通项公式；
（2）已知正项等比数列{}n b 满足12b a =，2312b b +=，求数列2212log log n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和n T ．【答案】（1）n a n
=（2）21n n T n =
+【解析】
【分析】（1）若选①，由已知可推得11n n a a n n -=-，进而得出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是常数列，从而得出n a n =；若选②，由已知推得222
n n n S =+，进而根据n a 与n S 的关系，即可推得n a n =；若选③，根据等差中项的性质，可推得数列{}n a 是等差数列.然后由已知求得1d =，即可得出n a n =.
（2）根据已知可求出2n n b =，然后根据对数运算以及裂项化简可得
2212112log log 1n n b b n n +⎛⎫=- ⎪⋅+⎝⎭，然后相加即可得出n T .
【小问1详解】若选①11
n n n a a n -=-()2n ≥且11a =由11n n n a a n -=
-可得11n n a a n n -=-.又111
a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，且1n a n =，所以n a n =.若选②22n S n n
=+由已知2
2n S n n =+可得，222n n n S =+.当1n =时，有21111122
a S ==+=；当2n ≥时，有222
n n n S =+，
()211122
n n n S ---=+，两式作差可得，()221112222
n n n n n n S S n --=+----=，所以n a n =.
又11a =满足，所以n a n =.
若选③2120n n n a a a +++-=且11a =，33
a =由2120n n n a a a +++-=可得，212
n n n a a a +++=
，所以，数列{}n a 是等差数列.
又11a =，33a =，
所以3122a a d -==，所以1d =，
所以()1111n a a n d n n =+-=+-=.
【小问2详解】
由（1）知，n a n =，所以22a =.
设等比数列{}n b 公比为q ()0q >，由已知可得12223112120b a b b b q b q q ==⎧⎪+=+=⎨⎪>⎩
，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以112n n n b b q -==.所以()221122222112log log log log 1221n n n n b b n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭
，所以1111121222231n T n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭
.18.已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(sin ,cos )m C C = ，(2sin cos ,sin )n A B B =-- ，且m n ⊥ ．
（1）求角C 的值；
（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围．
【答案】（1）π
6
C =
（2
）(32++【解析】
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示得2sin sin (sin cos cos sin )0C A C B C B -+=，应用正余弦定理的边角关系化简，结合锐角三角形求角C ；
（2）法一：将,b c 用A 的三角函数表示出来，结合ππ,32⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭A 求周长范围；法二：
首先得到3b ⎫∈⎪⎪⎭
，再用b 表示周长，利用函数的单调性求范围.【小问1详解】
sin (2sin cos )cos sin m n C A B C B ⋅=--=
2sin sin (sin cos cos sin )0C A C B C B -+=，
（法一）2sin (cos cos )0a C c B b C -+=，222cos 2a c b B ac +-=，222
cos 2a b c C ab
+-=，
∴2sin 0a C a -=，则1sin 2C =
，又ABC 为锐角三角形，故π
6
C =.（法二）则2sin sin sin()2sin sin sin 0C A C B C A A -+=-=，sin 0A ≠，∴1sin 2C =
，且ABC 为锐角三角形，故π
6
C =.【小问2
详解】
52sin πsin cos cos 6sin sin sin sin A a B A A A b A A A
A
⎛⎫- ⎪
+⎝⎭====，sin 1
sin sin a C c A A =
=，由于ABC 为锐角三角形，则π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且5ππ062C A <=
-<，解得ππ,32⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭A ，
（法一）周长cos 1cos 1
22sin sin sin A A l a b c A A A
+=++=++
+=+
+22cos 1
2
222cos
sin tan
22
2
A A A
A =+=+，而ππ,264A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，即tan ,123A ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭，
∴
1
tan 2
A ∈，故ABC 的周长l 的取值范围为(32++．
（法二）由上433b ⎫
∈⎪⎪⎭
，由余弦定理得c ==
周长2l a b c b =++=
++，
记()2f b b =++，则()f b 在433⎫
⎪⎪⎭
单调递增，
∴ABC 的周长l 的取值范围为(32++．
19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PDC ⊥平面ABCD ，PD PC ==
，1
22
CB BA AD ==
=，AD CB ，90BAD ∠=，E 为PD 中点.
（1）求证：CE 面PAB ；
（2）点Q 在棱PA 上，设(01)PQ PA λλ=<< ，若二面角P －CD －Q 余弦值为13
，求λ.
【答案】（1）答案见解析；（2）3
4
λ=【解析】
【分析】（1）取PA 中点为F ，连接EF ，FB .通过证明EC FB ，可得CE 面PAB.
（2）如图建立以C 为原点，CM 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CN 所在直线为z 轴的空间直角坐
标系，由(01)PQ PA λλ=<<
，可得(
)
131,CQ λλ=+--
，后分别求出平面PCD 法向量
1n ，平面CDQ 法向量2n ，则12
1313
cos ,n n
=
，据此可得答案.
【小问1详解】
取PA 中点为F ，连接EF ，FB .因E ，F 分别为PD ，PA 中点，则
1
2
,EF DA BC EF DA BC =
= ，即四边形ECBF 为平行四边形，则∥EC FB ，又EC ⊄平面PAB ，FB ⊂平面PAB ，则CE 面PAB ；【小问2详解】
取CD 中点为G ，因PD PC =，则PG CD ⊥.
又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD CD =，PG ⊂平面PDC ，则PG ⊥平面ABCD .过C 点作BA 平行线，交AD 于M .因,CB CM ⊂平面ABCD ，
则PG ⊥,CB PG CM ⊥.过C 做PG 平行线CN ，则以C 为原点，CM 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CN 所在直线为z 轴，如图建立空间直角坐标系.则()()()
000220220,,,,,,,,.C D A -
注意到CD =
，则PG =
(11,P -.
则(13,,PA =
，(11,CP =- ，()2,2,0CD =-
，()
131,CQ CP PQ CP λPA λλ=+=+=+--
.
设平面PCD 法向量为()1111,,n x y z =
，则11111110
220n CP x y n CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
，取()1110,,n = ；设平面CDQ 法向量为()2222,,n x y z = ，则()(
))222222213110
220
n CQ x y z n CD x y λλλ⎧⋅=++-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
，令221x y ==
，则()
22410λλz z +
-=⇒=
211,n ⎛⎫ = ⎝ .因二面角P －CD －Q
余弦值为13，则
12121213cos ,n n n n n n ⋅===⋅
，
()()28189043230λλλλ=⇒-+=⇒--=.
又01λ<<，则34
λ=
.
.
20.全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x （单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．
（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间中点值代表）．（2）由直方图可认为农户家庭年收入X 近似服从正态分布(
)2
,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2
σ
近
似为样本方差2s ．
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为ξ，求()3P ξ≤．（结果精确到0.001）2.3 1.52≈；②若()2
,X N
μσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，
()220.9545P X μσμσ-<<+=；③40.841350.501≈．
【答案】（1）8x =，2 2.3s =（2）①317户；②(3)0.499P ξ≤≈【解析】
【分析】（1）由平均数和方差的计算公式求解即可；
（2）①根据正态分布的对称性得出(9.52)P X ≥，进而得出所求户数；②年收入不超过9.52万元的农户家庭数ξ服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可.
【小问1详解】
这2000户农户家庭年收入的样本平均数
50.160.1570.280.390.2100.18x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
这2000户农户家庭年收入的样本方差
22222220.1(3)0.15(2)0.2(1)0.300.210.12 2.3s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯=.
【小问2详解】
①农户家庭年收入X 近似服从正态分布(8,2.3)N .
因为89.52+≈，所以()
(9.52)0.50.50.341350.158652
P x P X μσμσ-<<+≥=-=-=.
因为20000.15865317.3317⨯=≈，
所以这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数为317.②年收入不超过9.52万元的农户家庭数ξ服从二项分布(4,0.84135)B ξ .所以4
4
4(3)1(4)1C (0.84135)10.5010.499
P P ξξ≤=-==-≈-=.
21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2
，M 为椭圆C 上的一
个动点，且点M 到右焦点2F 距离的最大值为2+．（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当1F AB 的面积最大时，求此时直线l 的方程．
【答案】（1）2
21
4
x y +=
（2）0x -=或0x -=．【解析】
【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得3
2
c a =
、2a c +=+，结合222a b c =+求出a 、b 即可求解；
（2）设直线l 的方程为x my =11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立椭圆方程，利用韦达定理表示12y y +、
12y y ，根据弦长公式表示1F AB S ，结合基本不等式计算即可求解.
【小问1详解】
椭圆C
的离心率为
2
c a =
，又点M 到右焦点2F
距离的最大值为2+
，即2a c +=解得2a =
，c =又由2
22a b c =+，可得1b =．
∴椭圆C 的方程为：2
214
x y +=．
【小问2详解】
由题意，设直线l
的方程为x my =+
联立22
1,4x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得22(4)10m y ++-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122234
y y m -+=
+，12
214y y m =-+
，112211
2
F AB S F F y y =
-=
△2
==，
当且仅当=
m =时取等号．
∴所求直线l
的方程为0x +=
或0x -=
．
22.已知()()
e 1sin =-x
f x x ，()0,2πx ∈．
（1）求()f x 在点()()π,πP f 的切线方程；
（2）设()()2
g x f x x =-，()0,2πx ∈，判断()g x 的零点个数，并说明理由．
【答案】（1）π(1e )(π)y x =--（2）存在唯一零点，理由见解析【解析】
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程即可；
（2）先根据题意得到2()(e 1)sin x g x x x =--，再分[π,2π)x ∈，π
[,π)2x ∈，π(0,2
x ∈三种情况讨论，结合构造函数，二次求导，零点存在性定理即可得到结论．【小问1详解】
由()(
)
e 1sin =-x
f x x ，()0,2πx ∈，
则()e (sin cos )cos x f x x x x +-'=，所以π(π)e 1f =-+'，()0f π=，
所以()f x 在点()()π,πP f 的切线方程为π(1e )(π)y x =--．【小问2详解】
依题意得2()(e 1)sin x g x x x =--，
①当[π,2π)x ∈时，因为(e 1)sin 0x x -≤，20x -<，所以()0g x <，即()g x 无零点；②当π[,π)2
x ∈时，()e (sin cos )cos 2x g x x x x x =+--'，()2e cos sin 2x g x x x '+'=-，因为2e cos 0x x ≤，sin 20x -<，所以()0g x ''<，即()g x '在π[,π)2
上递减，
令()2
=e 1x x x ϕ--，[)1,x ∞∈+，则()=e 2x x x ϕ'-，()=e 20x
x ϕ'-'>，
所以()x ϕ'在[)1,+∞上单调递增，则()()()min =1=e 20x x ϕϕϕ''-'≥>，
所以()2
=e 1x x x ϕ--在[)1,+∞上单调递增，则()()()min =1=e 110x x ϕϕϕ≥-->，所以当π2x =，2π2ππ=e 1022ϕ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即π
22πe 104-->；当πx =，()π2
π=e π10ϕ-->，即π22e π1π>+>，即π
2e π>，
则π
2π
(e π02
g ='->，π(π)e 12π0g '=-+-<，
所以存在0π
(,π)2x ∈，使得()g x 在0π(,)2
x 上递增，在0(,π)x 上递减，
又π
2
2ππ()e 1024
g =-->，所以0π()()02g x g >>，而2(π)π0g =-<，
所以()g x 在π[,π)2上存在唯一零点；
③当π
(0,2
x ∈时，设()()h x g x ''=，则()2e (cos sin )cos x h x x x x =-+'，()4e sin sin x h x x x =--''，
因为()4e sin sin 4e sin 10x x
x x x --=-+<，所以()0h x ''<，即()h x '在π(0,)2
上递减，
又(0)30h '=>，π
2π
()2e 02
h =-<'，
所以存在1π
(0,)2x ∈，使得()g x ''在1(0,)x 上递增，在1π(,)2
x 上递减，
又(0)0g ''=，π
()102
g =-'<'，
所以存在2π(0,)2
x ∈，使得()g x '在2(0,)x 上递增，在2π
(,)2x 上递减，
又(0)0g '=，π
2π
()e π02g ='->，所以()g x 在π(0,)2
上递增，所以()(0)0g x g >=，
所以()g x 在π
(0,)2
上无零点，
综上可知，()g x 在(0,2π)上存在唯一零点．
【点睛】关键点点睛：涉及函数零点问题，利用导函数研究函数的单调性，极值和最值情况，结合零点存在性定理是解答这类题的关键．。