高中数学人教A版选修4-5优化课件：第一讲 二 绝对值不等式 1 绝对值三角不等式

01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理] 一、绝对值的几何意义 1．实数 a 的绝对值|a|表示数轴上坐标为 a 的点 A 到 原点 的距离． 2．对于任意两个实数 a，b，设它们在数轴上的对应点分别为 A，B，那么|a－b| 的几何意义是数轴上 A，B 两点之间的距离 ，即线段 AB 的 长度 ．
二、绝对值三角不等式 1．如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立．
2．如果把上面的绝对值三角不等式中的实数 a，b 换成向量 a，b，则它的几何 意义是 三角形两边之和大于第三边 三、三个实数的绝对值不等式 如果 a， b， c 是实数， 那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|， 当且仅当 (a－b)(b－c)≥0 等号成立． 时， ．
)
解析：|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|<h＋k，故选 C.
答案：C
3．函数 y＝|x－1|＋|x－5|的最小值为________，此时 x 的取值范围是________．
解析：|x－1|＋|x－5|＝|x－1|＋|5－x| ≥|x－1＋5－x|＝4， 当且仅当(x－1)(5－x)≥0， 即 1≤x≤5 时等号成立．
ε ε 1．|x－A|< ，|y－A|< 是|x－y|<ε 的( 2 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
)
ε ε 解析：若|x－A|< ，|y－A|< ， 2 2 则有|x－y|＝|x－A＋A－y| ε ε ＝|(x－A)＋(A－y)|≤|x－A|＋|y－A|< ＋ ＝ε. 2 2 ε ε ∴|x－A|< ，|y－A|< 是|x－y|<ε 成立的充分条件． 2 2 3 ε ε ε 反之，若|x－y|<ε，则可以取|x－A|< ε，|y－A|< 使得条件|x－A|< ，|y－A|< 得 4 4 2 2 不到满足． ε ε 因此，我们有|x－A|< ，|y－A|< 是|x－y|<ε 成立的充分不必要条件，故选择 A. 2 2 答案：A
答案：|a|>|b|
探究一 [例 1]
与绝对值不等式有关的判断
若 x＜5，n∈N，则下列不等式：
n n n n ①|xlg |＜5|lg |； ②|x|lg ＜5lg ； n＋1 n＋1 n＋1 n＋1 n n ③xlg ＜5|lg |； n＋1 n＋1 n n ④|x|lg ＜5|lg |. n＋ 1 n＋1
法二：①当|a|≤|b|时， |a2－b2| |a| |b| 由 ≥0， － ≤0，知不等式成立． 2|a| 2 2 ②若|a|>|b|， |a＋b||a－b| 左边＝ 2|a| |a＋b||a－b| |a＋b||a－b| ＝ ≥ |a＋b＋a－b| |a＋b|＋|a－b| ＝ 1 1 1 ＋ |a＋b| |a－b| ，
探究二 [例 2]
[证明]
含绝对值不等式的证明
|a2－b2| |a| |b| 求证： ≥ － . 2|a| 2 2
法一：①当|a|≤|b|时，
|a2－b2| |a| |b| 由 ≥0， － ≤0，知不等式成立． 2|a| 2 2 ②当|a|>|b|时， |a2－b2| |a| |b| |a|2－|b|2 |a|－|b| － ( － )＝ － 2|a| 2 2 2|a| 2 |a|－|b| |a|＋|b| |a|－|b| b ＝ · ( －1)＝ · |a|≥0， 2 |a| 2 |a2－b2| |a| |b| 即 ≥ － . 2|a| 2 2 综合①②知不等式成立．
其中，能够成立的有________．
[解析]
n ∵0＜ ＜1. n＋1
n ∴lg ＜0. n＋1 由 x＜5，并不能确定|x|与 5 的关系， ∴可以否定①②③， n 而|x|lg ＜0，故④成立． n＋1
[答案]
④
与绝对值不等式相关的判断方法与技巧 (1)判断一个不等式成立与否， 往往是对影响不等号的因素进行分析， 如一个数的 正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考 查这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了． (2)如果对不等式不能直接判断， 往往需要对不等式化简整理或变形后再利用绝对 值不等式进行判断．
答案：4 [1,5]
|a＋b| 4．不等式 ≥1 成立的充要条件是________． |a|－|b|
|a＋b| |a＋b|－|a|－|b| 解析： ≥1⇔ ≥0⇔(|a|－|b|)[|a＋b|－(|a|－|b|)]≥0. |a|－|b| |a|－|b| 而|a＋b|≥|a|－|b|， ∴|a＋b|－(|a|－|b|)≥0. ∴|a|－|b|>0，即|a|>|b|.
1 1 1 1 ∵ ≤ ， ≤ ， |a＋b| |a|－|b| |a－b| |a|－|b| ∴ 1 1 2 ＋ ≤ . |a＋b| |a－b| |a|－|b|
|a|－|b| ∴左边≥ ＝右边． 式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平 方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性 质定理：||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性 较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也 成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
二 1
绝对值不等式
绝对值三角不等式
考
纲
定
位
重
难
突
破
1.理解定理1及其几何说明，理解 定理2. 2.会用定理1、定理2解决比较简 单的问题.
重点：绝对值的几何意义． 难点：1.绝对值三角不等式及其几何意义． 2.会用绝对值三角不等式的两个性质定
理证明简单的含绝对值的不等式以及解
决含绝对值的不等式的最值问题.
[双基自测] 1．若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b 为实数，则有( A．ab<0 C．ab≥0 B．ab>0 D．以上都不对 )
解析：若|a＋b|＝|a|＋|b|，则 ab≥0，选 C.
答案：C
2．若|x－a|<h，|y－a|<k，则下列不等式一定成立的是( A．|x－y|<2h C．|x－y|<h＋k B．|x－y|<2k D．|x－y|<|h－k|