车灯线光源的优化设计

车灯线光源的优化设计
1、问题重述
问题背景：
科学是第一生产力，设计经济适用的车灯需要融合光学、物理学等多方面的知识，基于节约能源和设计材料的原则，需要对车灯的线光源的长度进行优化设计。

具体方案如下：
①明确车灯的构造
考虑到安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。

经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。

②根据设计要求解决具体问题
该设计规范在简化后可描述如下。

在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。

在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。

要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。

提出问题：
请解决下列问题：
(1)在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。

(2)对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。

(3)讨论该设计规范的合理性。

2、问题分析
题目中已给出了车灯的形状为抛物面，大小半径36毫米、深度21.6毫米，因此我们可以把车灯假设为三维空间坐标系中的几何图形进行分析，由以上给出的条件可以求出焦点在抛物面中的坐标位置，测试屏幕以及点A、B、C的坐标位置，据此可以对以下问题进行研究。

对于问题一，在焦点处放置一水平方向且与抛物面对称轴垂直的线光源，要求使得其满足C点的光强度不小于一个单位，B点的光强度不小于额定值的两倍。

我们可以把光强度转化为反射光线数目，反射光线数目的多少就代表光强度的大小，反射到某一点的光线数目越多该点的光强度越大，B点的光强度为C点的两倍就相当于焦点处线光源照射到抛物面上一次反射到B点的光线数目是C点的两倍，在满足该条件的情况下，使线光源的功率最小，由发光功率公式得知线光源上的光分布均匀时，线光源的长度越短功率越小。

对于问题二，在第一问的基础上我们知道了抛物面的表达式，算出了线光源的长度因此我们确定了线光源在坐标系中位置，根据空间解析几何的有关知识及光线的反射定律根据两点式得出反射光线的表达式，将题中给出的数据按原大小放在三维空间坐标坐标系中将线光源和抛物面离散化处理后将得到的反射光线在横坐标为25.015时，其余两坐标轴上的进行统计就可以得出亮区，将此数据做成平面图更加直观，具体图建下面题目求解中。

对于问题三,我们从测试屏位置的科学性、线光源位置的合理性、离散化处理的正确性、光强度近似量化的合理性四个方面对问题进行了讨论
3、模型假设
1、假设线光源可看做由离散的点组成的；
2、假设不考虑光线在灯罩内发生二次折射的情况；
3、假设光线经折射后到达B、C两处，光线直射的情况可忽略不计；
4、假设光线在传播的过程中没有能量损失，即光线传播到光屏的距离不会
影响到光能量的衰减；
5、模型的建立与求解
5.1构建优化模型计算线光源的长度
5.1.1模型准备
一、基本问题的理解
①明确几个光学知识
1、光线的传播路径
在不经过反射的情况下，光线是沿直线传播的，其路径不会因外界环境发生改变。

当光线经镜面反射后按一定角度折射射出。

2、光线经反射后的位置关系
光线的传播经反射屏后角度发生变化，入射光线与法线(垂直于反射屏的直线)的夹角α与反射光线与法线的夹角β相等。

②对线光源与灯罩的离散化处理
结合光学知识，光的传播可看做是光线的传播；结合数学知识可将线近似看做很多点的集合，因此，我们将线光源离散化处理，为了便于研究，将线光源按一定标准分成很多段。

同理可将灯罩看做很多点的集合，为了验证假设的合理性，可分别将线光源与灯罩分成不同数目的段研究。

③对B、C处光强度的理解
由于在不同位置，经灯罩反射后到达测试屏上固定区域的光线条数是不同的，单位面积到达某一区域的光线数目的多少反映了光的强弱情况，结合实际情况，光线越密集光的强度越大，设一定区域s内光线的条数为n，则光强G可近似表示为：
=
G n s
由于要求B点的光强度不小于C点光强度的两倍，可将B、C附近面积为s的相同区域作为研究对象，根据记录入射光线到反射屏上的点的个数，分别得到两区域中点的个数。

将B、C区域看做直径为d的圆形，则其表示区域的示意图如下：
④研究对象的坐标化处理
为了定量地研究问题，需要在将线光源和灯罩离散化处理的基础上对其坐标化处理，考虑到安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方,将其放在空间直角坐标系中进行分析求解，在与车灯的对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。

测试屏垂直于水平面。

⑤明确车灯内光线的传播路径
离散化的线光源发出的光一部分经过车灯内侧反射到达测试区域，一部分不经过反射直接到达测试区域，但是这样的光线相对于经过反射的光线数目是较少的，因此可忽略不计。

二、目标的确定
在满足设计规范的条件下，线光源的长度越大，在车灯正常工作时的功率越大，因此，线光源的长度与功率的大小是成正比的，所设计的线光源长度最小时其功率最小，综上所述，将功率最小这一目标转化为求解线光源长度的最小值，即： 1n i i Min l =∑
注：:n 表示线光源离散化处理后得到的点光源个数；
:i l 表示线光源分成n 等份离散化处理后每一份的长度
四、约束条件的建立
①对B 、C 两点附近区域光强度的限制
设计车灯线光源时要求B 点的光强度不小于C 点的光强度额定值的两倍，首先，对光强度合理近似量化，在单位面积S 内光强度与照射在此区域内光线条数N 有关，而B 和C 附近的区域面积可以看作相同的，因此，光强度和照射在
B 、
C 位置的光线的条数有关。

根据光强度公式：
n G s
= 设B 、C 点附近圆形区域的直径为d ，则其面积为d π，由于两者面积相同，可只考虑照射在B 、C 位置的光线的条数的倍数关系，设B 位置的光线的条数为B n ,C 位置的光线的条数为C n ，可将这一条件表示为：
2B C n n ≥
② 对线光源长度的限制
为了保证线光源位于车灯内部，线光源的长度不能大于旋转抛物面焦点处所对应的切面直径。

结合车灯的开口半径和深度求得抛物线的曲线方程为：
260y x =
将其绕x 轴旋转得到旋转抛物面的方程为：
2260y z x =＋
设焦距的长度为U ，
从而将线光源的长度L 限定为：
L ≤ ③ 对离散化处理的点光源数目的约束
线光源可以看作许多点光源的集合，由线光源分割得到的点光源的个数并不是越多越好，离散线光源的过程可近似看做单个点光源的移动，其移动经过的路径长度即为线光源的长度，将点光源的个数设为n ，仅需满足点光源个数的为整数的整数约束即可：
n N ∈
五、反射光线方程的求解
①求解旋转曲面的法线方程
建立坐标系求得抛物线的方程为260y x =，将抛物线沿x 轴旋转得到旋转抛物面方程为2260y z x =＋，设抛物面上一点0M 000(,,)x y z ，(,,)M x y z 为法线上任
意一点，根据旋转抛物面的方程得到法线的方向向量S 为00(1,,)3030
y z --，向量000(,,)O M M x x y y z z =---，
根据直线的点向式方程得到曲面在已知点处的法线方程为：
0000013030
x x y y z z y z ---==-- (1) 为了得到反射光线的方程，需根据光线的反射定律，利用反射光线与入射光线对称的性质得到法线上点的坐标，示意图如下：
【图示说明】
上图中M 为入射光线与反射面的交点，P 点为入射光线上一点，过点P 做法线的垂线，得到其与反射光线的交点Q ，两点是关于法线对称的。

根据抛物线的方程得到焦点坐标为(15,0,0),由于经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。

设线光源的长度为L ，可求得线光源上点的坐标(15,,0)P L ,设Q 点的坐标为111(,,)x y z ，根据对称性得到N 的坐标。

②由公式(1)得到的参数方程
将N 点的坐标代入(1)式得到点向式方程，推得直线的参数方程为：
100100102215215215x t x y y y t L z z z t ⎧⎪=+-⎪⎪=--⎨⎪⎪=-⎪⎩
(2) 根据P 、Q 两点的连线与法线垂直得到：
00111(15)()03030
y z z x y L ⋅----= (3) 将(2)式和抛物面的方程代入(3)式得： 000
30900302x y L t x -⋅+=+ (4) ③求得反射光线的方程
已知抛物面与反射光线交点的坐标000(,,)x y z ，结合反射光线上一点111(,,)x y z ，由两点式方程得到反射光线的方程为： 000101010
x x y y z z x x y y z z ---==--- (5) 将(4)式代入(5)式即可得到反射光线的方程。

④求解测试屏上点的坐标并记录
根据测试屏的位置与距线光源的长度得到测试屏的表达式为：
25015x =
反射光线与测试屏的交点坐标表示为()25015,,y z 将其与反射光线的方程联立即
可得到由线光源上的点经车灯反射后到达测试屏的点的坐标。

分别记录折射点每次改变后与测试屏的交点是否在C 、B 两亮区范围内，从而记录下线光源每次改变长度后，折射在C 、B 两亮区内的光线条数。

5.1.2模型的建立
综上所述，建立以线光源长度最小为目标，B 点的光强度不小于C 点光强额定值的两倍、线光源长度不超过灯罩内径为为约束条件的最优化模型： 目标函数：
1n i i Min
l =∑
约束条件：
2(1)
(2)(3)B C n n L n N ≥⎧⎪≤⎨⎪∈⎩
5.1.3模型求解
算法步骤：
Step1. 首先将线光源离散化，以0.1mm 为步长逐步增加线光源长度，其次将折
射面离散化，分别以0.1mm ，0.1度为步长，移动反射点的横纵坐标，从而将线光源的散射转化为点与点之间的反射问题。

Step2. 将改变后的线光源长度及其反射点坐标代入所推导出的公式中，根据法线
找出入射光线在反射光线上的对称点坐标，从而得到反射光线的直线方程，并求得反射光线与测试屏的交点即反射光线在测试屏上的亮点坐标。

Step3. 分别以测试屏上C 、B 两点为圆心，以10mm 为半径做圆，并规定反射在
其内的光线均可表示C 、B 点亮度，并通过判断语句计算折射点每次改变后与测试屏的交点是否在C 、B 两亮区范围内，从而记录下线光源每次改变长度后，折射在C 、B 两亮区内的光线条数。

Step4. 通过判断语句，从上述计算结果中找出B 亮区光线条数是A 亮区光线条
数2倍以上的情况，并输出此时的线光源长度，从中找出最小值乘以2，即为所求结果。

求解结果及分析：
在求解过程中，采用“逐步逼近”法使线光源L 由原点沿z 轴的正向和负向逐步变化，同时，求解出能够反射到达目标点的抛物面上的点，记录在该点反射时的L 值，并计算与L 值对应的光照度值，通过约束1和约束2的控制来选取满足题设的L 值，使功率最小。

由Matlab 编程实现，得到L =3.4毫米。

5.2绘制测试屏上反射光的亮区。

5.2.1模型准备
一、基本思路
要绘制车灯反射光线的亮区，我们需要求解线光源上每个点的反射光线方程来确定这些光线所照射到的区域。

，将题中给出的数据按原大小放在三维空间坐标坐标系中将线光源和抛物面离散化处理后将得到的反射光线在横坐标为25015毫米时，其余两坐标轴上的进行统计就可以得出亮区范围，用Matlab 的作图功能得到亮区的示意图，具体图示见模型求解中。

二、对求解用到公式的理解
①求解旋转曲面的法线方程
设抛物面上一点0M 000(,,)x y z ，(,,)M x y z 为法线上任意一点，根据旋转抛根据直线的点向式方程得到曲面在已知点处的法线方程为：
0000013030
x x y y z z y z ---==-- (1) 为了得到反射光线的方程，需根据光线的反射定律，利用反射光线与入射光线对称的性质得到法线上点的坐标，示意图如下：
②得到法线的参数方程
由(1)式得到的点向式方程推得直线的参数方程为：
100100102215215215x t x y y y t L z z z t ⎧⎪=+-⎪⎪=--⎨⎪⎪=-⎪⎩
(2) 根据反射定律，反射光线与入射光线关于法线对称，因此入射光线上一点(15,,0)L 与对称点的连线同法线垂直，由这一关系得到： 000
30900302x y L t x -⋅+=+ (3) ③求得反射光线的方程
已知抛物面与反射光线交点的坐标000(,,)x y z ，结合反射光线上一点111(,,)x y z ，由两点式方程得到反射光线的方程为： 000101010
x x y y z z x x y y z z ---==--- (4) 将(3)式代入(4)式即可得到反射光线的方程。

④求解测试屏上点的坐标并记录
根据测试屏的位置与距线光源的长度得到测试屏的表达式为：
25015x =
反射光线与测试屏的交点坐标表示为()25015,,y z 将其与反射光线的方程联立即
可得到由线光源上的点经车灯反射后到达测试屏的点的坐标。

分别记录折射点每次改变后与测试屏的交点是否在C 、B 两亮区范围内，从而记录下线光源每次改变长度后，折射在C 、B 两亮区内的光线条数。

三、绘制亮区的基本方法
结合求得的方程，将线光源的长度分解成n 份，通过Matlab 编程得到每一个点光源经过反射后能与反射屏相交的点的坐标，这些点的集合就是亮区的呈现形式，当点较密集时表示在这一区域内的光强度较高。

5.2.2模型的建立
本问题旨在求出在最小线光源下反射光线在测试屏上亮区，在将测试中各个因素坐标化处理的基础上，求得反射光线与测试屏的交点坐标表示为
()25015,
,y z （单位为毫米），将其与反射光线联立可得到反射屏上的光点坐标： 000101010
x x y y z z x x y y z z ---==--- 其中：
10010010000221521521530900 302x t x y y y t L z z z t x y L t x =+-⎧⎪⎪=--⎪⎪⎨=-⎪⎪-⋅+⎪=⎪+⎩
【符号说明】
()000,,x y z ——表示该反射光线与抛物面的交点；
111(,,)x y z ——反射光线上一点的坐标；
L ——为线光源的长度。

【模型说明】
根据空间解析几何的有关知识得出反射光线的表达式，将题给出数据按原大小放在三维空间坐标坐标系中将线光源和抛物面离散化处理后将得到的反射光线与测试屏的表达式联立得到测试屏上光点的坐标，将其记录下来并进行统计就可以得出亮区，具体图见下面模型求解中。

5.2.3模型求解
将线光源离散为点光源并求得每个点光源到达测试屏的光线数，由这些亮点构成的区域图即是测试屏上反射光的亮区。

利用Matlab 作图得到以下图形：
结果分析：
由上图可看出靠近车灯对称轴的区域内光强较强，越远离焦点所在平面光线越暗，这与实际情况中灯光照射的区域特点是一致的。

5.3对设计规范合理性的分析
一、测试屏位置的科学性
题目中所给的设计规范是有一定物理意义的。

首先，之所以把测试屏置于距离焦点25米处，是因为在25米的范围内，正常的车灯能够照亮足够大的区域使司机可以辨别行车路线、方向以及车辆前方的障碍物等。

二、线光源位置的合理性
设计车灯时将线光源置于焦点处，并且对称放置，我们要考察当线光源位置离开焦点时的情况，不妨将线光源沿光轴向两侧和上下移动，利用相同办法得到不同位置时测试屏上亮区的范围。

可以发现，当光源位置沿主光轴方向偏离焦点时，中心亮度会急剧下降，这将导致司机在距离较远的正前方的人和物。

因此，只有当光源对称地位于抛物面焦点处时，主亮度才会达到最大，才可以照亮一定范围内的所有区域。

三、离散化处理的正确性
在解决问题的过程中，在对车灯的灯罩（即旋转抛物面）进行了离散化处理的同时将线光源进行离散化，线光源发出的光可以看做点光源的集合，通过离散化处理令线光源的长度从0开始累加处理即可得到线光源长度的最小值。

离散点的集合形成面，因此对抛物面的离散化处理同样是正确的。

四、光强度近似量化的合理性
结合实际情况，在单位面积S 内光强度与照射在此区域内光线条数n 有关，因此我们可以将光强度量化为：
S ＝n
光点个数的多少反映了光的强弱，因此这一近似量化是正确的。

6、模型的评价与推广
一、模型的优点
将实际问题坐标化处理求解的得到反射光线的方程后运用了Matlab 编程对模型进行了综合求解，简化了模型。

模型具有较好的通用性，能够适应同类问题的各种变化，对不同大小的车灯都可求出其线光源功率最小时的长度，从而在满
足条件的同时提高光线利用的效率。

二、模型的缺点
对线光源分割处理并累加的过程中，分割份数的不同可能会造成解出现一定的误差。

对光强度的量化对光线的照射区域进行了等同化处理，这样可能在限定B、C处光强度倍数关系时出现一定的偏差。

7附录。