泰勒公式及其应用

本科生实践教学活动周实践教学成果
成果形式：论文
成果名称：泰勒公式及其应用
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学号： **********
专业：信息与计算科学
班级：计科1301
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完成时间：2014年7月20日
泰勒公式及其应用
摘要
在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义、内容，并介绍了泰勒公式的10个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒公式的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.
关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项应用
目录
序言 (1)
一、泰勒公式 (1)
（一）定义 (1)
（二）余项 (1)
1.佩亚诺(Peano）余项 (1)
2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项 (2)
3.拉格朗日（Lagrange）余项 (2)
4.柯西（Cauchy）余项 (2)
5.积分余项 (2)
（三）推导过程 (2)
1.展开式 (2)
2.余项 (3)
二、泰勒公式的应用 (5)
（一）实例 (5)
1.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (5)
2.利用泰勒公式进行近似值计算 (6)
3.利用泰勒公式求极限 (6)
4.利用泰勒公式证明不等式 (7)
5.利用泰勒公式判断级数的敛散性 (8)
6.利用泰勒公式证明根的唯一存在性 (9)
7.利用泰勒公式判断函数的极值 (9)
8.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (10)
9.利用泰勒公式进行近似计算 (10)
10.利用泰勒公式解经济学问题 (11)
三、实践总结 (12)
参考文献 (13)
序言
在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容，由于在分析和研究数学问题中它有着重要作用，所以成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

作为数学系的学生，我认为掌握泰勒公式及其应用是非常有必要的。

本文将从泰勒公式的内容和泰勒公式的应用两方面入手。

对于泰勒公式的内容，具体研究泰勒公式的定义、表达形式、推导过程；对于泰勒公式的应用，本文是以实例的形式出现，从十个方面介绍泰勒公式的应用。

希望通过这次实践，使我对泰勒公式有更深入的了解，更好的运用泰勒公式这个数学工具解决更多问题，以达到实践目的。

一、泰勒公式
（一）定义
泰勒公式可以用(无限或者有限)若干项连加式(-级数)来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的n+1次导数)的导数求得。

对于正整数n，若函数在闭区间[a,b]上n阶连续可导，且在(a,b)上n+1阶可导。

任取x∈[a,b]是一定点，则对任意x属于[a,b]成立下式：
其中，表示的n阶导数，多项式称为函数在a处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小。

特别的，当a取0时，即是泰勒公式的特殊形式，若在x=0处n阶连续可导，则下式成立：
其中表示的n阶导数，这就是麦克劳林展开。

（二）余项
泰勒公式的余项可以写成以下几种不同的形式：
1.佩亚诺(Peano）余项
2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项
其中θ∈（0,1）。

3.拉格朗日（Lagrange）余项
其中θ∈（0,1）。

4.柯西（Cauchy）余项
其中θ∈（0,1）。

5.积分余项
以上诸多余项事实上很多是等价的。

（三）推导过程
1.展开式
我们知道，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：
于是：
的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往其中误差α是在limΔx→0 即limx→x
不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
来近似地表示函数f(x）且要写出其误差f(x)-P(x）的具体表达式。

设函数P(x)满足：
于是可以依次求出A
0、A
1
、A
2
、……、A
n
，显然有：
，所以；
，所以；
，所以；
，所以；
至此，多项的各项系数都已求出，得：
以上就是函数的泰勒展开式。

2.余项
接下来就要求误差的具体表达式了。

设，令得到：
进而：
根据柯西中值定理：
其中；
继续使用柯西中值定理得到：
其中；
连续使用n+1次后得到：
其中；
同时：
而：，是一个常数，因此：
进而：
综上可得：
一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x）写为Rn。

二、泰勒公式的应用
实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。

泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。

泰勒公式的应用比较广泛，有以下几种实例。

（一）实例
1.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式
利用基本初等函数的幂级数展开式，通过泰勒展开式可以求得。

例 求函数()n x f x e =的幂级数展开式
解 ：由于(),(0)1,(1,2,3)n x n f x e f n === ,所以()f x 的拉格朗日余项为
1(),(01)(1)!
x n n e r x x n θ
θ+=<<+，
显见 1
()(1)!
x n n e r x x n +≤
+, 它对任何实数x ，都有 1lim
0(1)x n x e x n ||
+→∞||=+!
, 因而lim ()0n x r x →∞
=，所以有
∑
∞
==0!
n n
x
n x e x
∈（—∞,+∞）
同样地，展开三角函数
其中
为余项
或：
其中
2.利用泰勒公式进行近似值计算
利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为
'''
2(0)(0)()(0)(0)2!!
n n
f f f x f f x x x n ≈+ + + + ,
其误差是余项()n r x . 例 计算近似值
由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围。

特别是计算机编程上的计算。

解：对指数函数
运用麦克劳林展开式并舍弃余项：
当x=1时：
取n=10，即可算出近似值e ≈2.7182818。

3.利用泰勒公式求极限
简化极限运算，就可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限。

例 求极限) 0 ( ,2
lim 20>-+-→a x
a a x x x 分析：此为
型极限,若用洛必达法则求解则很麻烦,这时可将cos x 和2
2
x e -
分别用泰勒
展开式代替,则可简化此比式.
解：) (ln 2
ln 122
2ln x a x a x e
a
a
x x
+++==
) (ln 2
ln 122
2x a x a x a
x
++-=-
). (ln 2222x a x a a x x
+=-+-
于是
a x
x a x x a a x x x x 2
2222020ln ) (ln lim 2lim =+=-+→-→ . 4.利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷. 例 在[a,b]上f(x)>0，且
()0n
x f
<，试证明2max ()()b
a a x b
f x f x dx b a
<<<
∫- 证明：任取[p,q]⊂[a,b]，对任意x ∈[p,q]，利用泰勒公式及其条件
()0n
x f
<
可得 ()()f p f x =+()x ´
ƒ2
2()
()(2p x p f
ξ-+
-x)!
<ƒ(x)+()x ´ƒ()p x - （1）
()()f q f x =+()x ´ƒ2
22()
()(2q x q f
ξ-+
-x)!
<ƒ(x)+()x ´ƒ()q x - （2）
（1）×()q x -(2)+×()x p -得 ()p ƒ()q x -+()()f q x p -()()f x q p <-
所以有 ()()
q
p f p q x ∫[-()()f q x p +-]()q
p x dx dx <(q-p)∫ƒ
即
()()()()2
q
p f p f q q p x dx +-<∫ƒ （3）
设c ∈[a,b]，使 ()c ƒ=max ()a x b
x <<ƒ 根据（3）及()x ƒ >0得
()()()b c b
a a c
x dx x dx x dx ∫ƒ=∫ƒ+∫ƒ()()2
f a f c +>+()()()2
f c f b b c +- ()()()
()()()222
f c f c f c c a b c b a >
-+-=-
即 2max ()()b
a a x b
f x f x dx b a
<<<
∫- 由上述例题可以看出泰勒公式可以用来证明不等式。

证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学习中我们要学会灵活应用，但前提是要慢走应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件。

5.利用泰勒公式判断级数的敛散性
当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.
例
讨论级数
1
n ∞
=∑的敛散性.
分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到11ln ln(1)n n n +=+,若将其泰勒展开为1
n
的幂的形式,开二次方
相呼应,会使判敛容易进行. 解 因为 2341111111
ln
ln(1)234n n n n n n n n
+=+=-+-+< , 所以
<
, 所以
0n u =
故该级数是正向级数. 又因为
32
1
2n =>==, 所以
3322
11
)22n u n n =
<-=.
因为
31
2
12n n
∞
=∑
收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.
6.利用泰勒公式证明根的唯一存在性
例 设f(x)在[,)a +∞上二阶可导,且'()0,()0f a f a ><,对''(,),0x a f ∈+∞≤, 证明： ()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.
分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论()0f x =的根有困难,由题设f(x)在[,)a +∞上二阶可导且'()0,()0f a f a ><,可考虑将f(x)在a 点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.
证明 因为''()0f x ≤,所以'()f x 单调减少,又'()0f a <,因此x>a 时,''()()0f x f a <<,故f(x)在(,)a +∞上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有
''
2()
()()()()()()2
f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<<
由题设''()0,()0f a f ξ<≤,于是有lim x →∞
=-∞,从而必存在b a >,使得()0f b <,又因为
()0f a >,在[,]a b 上应用连续函数的介值定理,存在0(,)x a b ∈,使0()0f x =,由f(x)的
严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.
7.利用泰勒公式判断函数的极值
例 (极值的第二充分条件)设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0'=x f ,0)(0''≠x f .
(i)若0)(0''<x f ,则f 在0x 取得极大值. (ii) 若0)(0''>x f ,则f 在0x 取得极小值. 证明 由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式
))(()(!
2)
()(!1)()()(20200''00'0x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=.
由于0)(0'
=x f ,因此
200''0))](1(2
)([)()(x x o x f x f x f -+=-.(*)
又因为0)(0''≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('
0δx U x ∈时,
)(210''x f 与)1()(2
1
0''o x f +同号.
所以,当0)(0'
'<x f 时,(*)式取负值,从而对任意);('
0δx U x ∈有
0)()(0<-x f x f ,
即f 在0x 取得极大值.同样对0)(0''>x f ,可得f 在0x 取得极小值.
8.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式
利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.
例 求
2
1
1x x
++的幂级数展开式. 解 利用泰勒公式
23
1111x
x x x
-==++
-36934679103467910
0(1)(1)1)2(1)[sin ]3n n x x x x x x x x x x x x x x x x x n x π∞=-++++=-+-+-+-+=
+-+++=
9.利用泰勒公式进行近似计算
利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为
'''
2(0)(0)()(0)(0)2!!
n n
f f f x f f x x x n ≈++++ ,
其误差是余项()n R x .
例 求函数x e x x f 2
)(=在x=1处的高阶导数)2()
100()1(f .
解 设x=u+1,则
e e u e u u g x
f u u ⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(,)0()1()()(n n
g f =,
u e 在u=0的泰勒公式为
)(!
100!99!981100100
9998u o u u u u e u
++++++= ,
从而
))(!
100!99!981)(12()(100100
99982
u o u u u u u u e u g +++++++= ,
而g(u)中的泰勒展开式中含100
u
的项应为
100
100!
100)0(u g ,从g(u)的展开式知100u 的项为
100)!
1001!992!981(
u e ++,因此 10101
)0(),!
1001
!992!981(!100)0(100100⋅=++=e g e g , e g f 10101)0()1(100100==.
10.利用泰勒公式解经济学问题
我们知道泰勒公式在解定积分中有着广泛的应用，而定积分在经济学中是不可缺的，在这里将以定积分为平台，利用泰勒公式去解决经济学问题，
例 完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC=3(1)x +，假设产品的价格为66元， 求：（1）由于竞争市场供求发生变化，由此决定新的价格为30元，在心的价格下，厂商是否会发生亏损，如果会，最小的亏损额是多少？
解：（1）由于市场供求发生变化，新的价格为27元，厂商是否发生亏损仍需要根据P=MC 所决定的均衡产量计算利润为正还是为负，不论利润最大还是亏损最小，均衡条件都是P=MC ，
成本函数为STC=3(1)x +，令()f x =3(1)x +由泰勒公式我们知道，
2
(1)(1)12m m m x x x -+=+m +
!
…… 所以 STC=23x x x 1+3+3+ 又因为 P=MC ，即27=2
33x x +6+
所以4,1x x ==
因为 2000001(1)()()(1)()(1)2f f x f x x f x x ´
´´
=+-+
- （1） 2
000001(0)()()()()()2
f f x f x x f x x ´´´=+-+- （2）
所以 22d TC dx =6×4+6300=>，22
d TC
dx
=6×1+60=12> 故 4,1x x ==是利润最大或者最小的产量。

利润 3(1)27TR TC PQ x π=-=-+=×3
4(14)17-+=- 3
(1)27TR TC PQ x π=-=-+=×3
1(1)-+1=19 可见， 当 价格为27元时，当厂商生产量为1时，其最大盈利额为19 当厂商生产量为4时，其发生亏损，最小亏损额为17
三、实践总结
泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，也是研究数学各个领域的不可或缺的工具。

本文章是在查阅有关泰勒公式的资料的基础上作出的初步整理，这篇文章主要对泰勒公式在近似值计算、求极限、判别函数的极值证明不等式等方面做了简单系统的介绍和分析，从而体现了泰勒公式在微分学应用中的重要地位，特别是本文另外讨论了泰勒公式的一种新的证明方法并将其推广，进而得到了泰勒余项的两种更一般形式。

通过以上几个方面的探讨，充分利用其解题技巧在解题时可以起到事半功倍的效果。

这将有助于我们对泰勒公式及其应用理论的理解和掌握，从而能够帮助我们更深的理解《数学分析》这门基础课程，进而学好这门课程。

值得一提的是，虽然泰勒公式应用到各个数学领很多，但同样也还有很多方面很少被提及，需要不断地探索。

而泰勒公式在数学实际应用中又是一种非常重要的应用工具，只有掌握了这些知识，并且在此基础上加强锻炼、不断地进行总结，才能牢固掌握，才能善于熟练运用。

这样的学习可使学习者养成良好的数学思维习惯，灵活的从不同角度寻找解题途径，形成独特的解题技巧，以便更好更方便的研究一些复杂的函数，解决更多实际的数学问题。

参考文献
[1]陈传章金福林：《数学分析》（下）北京：高等教育出版社,1986.
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[5]刘玉琏傅沛仁：数学分析讲义【M】.北京：人民教育出版社,2000.
[6]华东师范大学数学系,数学分析（第二版）【M】高等教育出版社,1911.。