电磁场与波

除（0,b）点外，Az满足的方程为
2 Az x2
2 Az y 2
0
在直角坐标系
B
A
(
Az y
Ay z
)ei
(
Ax z
Az x
)e j
(
Ay x
Ax y
)ek
由于 ，故铁中的H=0,边界条件有
在 x a
0 y h 处，H y 0
，即
1 0
Az x
0
在 y0
a x a 处，H x 0
tan2
0 1
tan1
0
2 0
它表明只要铁磁物质侧的B不与分界面平行，
那么在空气侧的B 可认为近似与分界面垂直。
图3.3.3铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射
例 3.3.3 设x = 0 平面是两种媒质的分界面。1 50; 2 30 ,分界面上有面电流 K 4ez A/m ，且 H1 6ex 8ey A/m，试求 B1，B2与 H2 的分布。
2
1 x2 )1/
2
0
q
例3.6.2 空气与铁磁媒质的分界面如图所示，线电流 I 位于空气0 中，试求磁场分布。
图3.6.2 线电流 I 位于无限大铁板上方的镜像
解：镜像电流
I 2 0 I I 0 2
I 20 I 0 0 2
空气中 B 线垂直于铁磁平板，表明 铁磁平板表面是等磁位面。
解：取圆柱坐标
A
Azez
0 4
Idl l R ez
由于
R l，
Az
0 4
Az
0 4
l 2
Idz
l 2
R
Il
2 z2
图3.4.1 位于坐标原点的短铜线
根据
e e B A 1
A A
ez
z
Az
e
Az
· 能否用安培环路定律 来求解此问题?
B
0I l 4
( 2
z2
)3 2
e
0I l 4R
B
A
AZ
e
0 I 2
e
例 3.4.3 应用磁矢位分析两线输电线的磁场。
解：这是一个平行平面磁场。
由上例计算结果, 两导线在 P点的磁矢位
A1
0 I 2
ln
2L r1
ez
A2
0 I 2
ln
2L r2
ez
A
A1
A2
0 I 2
ln
r2 r1
ez
0 I 4
ln
(b (b
x)2 x)2
图3.5.6 长直屏蔽管置于均匀 磁场中
边界条件为：
解：这是平行平面磁场问题。选用圆柱坐标系，则
2 m1
1
(
m1
)
1 2
2 m1 2
0
2m2 0
1 2
2m3 0
3
0 1
(1)
m1 0 0
(2)
m3 H0x H0 cos
(3)
m3 2
m2 2
0
m3
2
2
E p E E
（方向指向地面）
Ep
2
q 4 0r 2
cos
qh 2 0 (h2
x2 )3/ 2
p
0 E p
qh 2(h2 x2 )3/ 2
整个地面上感应电荷的总量为
图1.7.2 点电荷 q 在地面引起的感应电荷的分布
S pdS
0
qh 2(h2 x2
)3/ 2
2xdx
qh
(h
解： 镜像电流
I 1 2 I I 1 2
I 21 I 2I 1 2
由图可见，此时磁场分布有特点：
• 对空气侧而言，铁磁表面仍然是一个等磁位面。空气中的 B 线与铁磁表面相垂直（折射定理可以证明之）。
• 空气中(2 0) 的磁场为场域无铁磁物质情况下的二倍。
例 3.7.1试求图示长为 l 的同轴电缆的自感 L。
，即 1 Az 0 0 y
图3.4.10铁磁体槽内的线电流
或
Az x
0
或 Az 0
y
在 y h a x a 处，由于槽很深，边缘效应忽略，故可认为H线和x轴平行，铁内
H=0,因而H
Hx
I 2a
，或 1 Az I 0 y 2a
，Az 0 I
y 2a
例 3.5.1 设在均匀磁场 H0中放置一半径分别为1 和 2 的长直磁屏蔽管，已知 H0 的方向与管轴垂直，设磁屏蔽材料的磁导率为2 ，管内外媒质均为空气(1 3 0 ) 试求磁屏蔽管内磁场分布及屏蔽系数。
图3.1.5
B Bxex
0 K0 sin 2 (x2 y2 ) 12
dxex
(sin
(x2
y y2)12
)
0 K0 2
y
(
x
2
dx y
2
)
ex
0 K0 2
arctg
x y
ex
0K0 2
ex
0K 2
0
e
x
无限大电流片及 B 的分布
y0 y0
B 线的性质： • B 线是闭合的曲线; • B 线不能相交 ( 除 B = 0 外 )； • 闭合的 B 线与交链的电流成 右手螺旋关系；
12 22
(
2 0
1)2
(
2 0
1)2
2 0
4H0
2r (
2 1
22
1)
磁位
m1
4H0 2r (1222 1)
cos
4H0
2r
(
12 22
x
1)
磁场强度
H1
m1
m1 x
ex
4H0
2r
(1
12 22
)
ex
图3.5.7 长直磁场屏蔽管内外磁场的分布
可见，屏蔽管内磁场 H1 分布均匀，且与 H0 的方向 一致。
2r
2r
2r
由 B1n B2n 得 联立求解，得
1
I 2r
cos
1
I 2r
cos
2
I 2r
cos
I 2 1 I 2 1
I 21 I 2 1
1( I I ) 2I
与静电场镜像法类比 原因何在？
(
q
1 1
2 2
q,
q
2 2 1 2
q ),
，这里的
1
1 1
,
2
1 2
,
例1.7.1 求空气中一个点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布情况。 解: 设点电荷 q 离地面高度为h，则
屏蔽系数
K
H1 H0
4 2r ( 1
12
2 2
)
屏蔽系数
K
4 2r ( 1
12 22
)
•
K H1 1 H0 2r
即导磁管的材料2
越大，K 越小，外磁场被屏蔽的程度高。
•
K
1
1 ( 1
)2
即导磁管壁越厚 1不变，2变大，K 越小，屏蔽效能高。
2
工程上常采用多层铁壳磁屏蔽的方法，这主要是可以把进入腔内的残余磁 场一次又一次地予以屏蔽。
sin
e
例3.4.2 应用磁矢位 A，求空气中一长直载流细导线的磁场。
解 ：
A
AZ ez
0 I 4
L dz L r ez
0 I 4
L dz
L
(2
z2 )1
2
ez
图3.4.3 长直载流细导线的磁场
0I ln(L 2
2 L2 ln
ez
A
0 I 2
ln
2L
ez
( L )
例 3.1.3 图示一无限大导体平面上有恒定面电流 K K0ez , 求其所产生的磁感应强度。
解：在电流片上取宽度为dx 的一条无限长线电流，
它在空间引起的磁感应强度为
dB1
0 Idl e 2
0 K0dx sin 2
由于是无限大电流平面，所以选P点在 y 轴上。 根据对称性 , 整个面电流所产生的磁感应强度为
(无源）
磁矢位（A）
(有源或无源）
H 0
B0
H m
0
m
H dl
p
B A
l A dl SB dS
2m 0 2 A J 2 A 0
m
I 4
A 0JdV
V 4R
下述两个场能进行磁电比拟吗？
答：可以。
图3.5.8 恒定磁场 与恒定电流场的比 拟
3.6 镜像法（Image Method in Static Magnetic Field）
(2)
(3)
(4)
代入通解式 ( 3 )` ( 4 ) 得
AZ 1
0 J z
a2
4
2
,
AZ 2
1 4
0 J za2
ln
a
磁感应强度 B A
Az
e
0 J z 2
e
0a2 J z 2
e
0a a
Az1 a 0
（参考磁矢位）
(5)
Az1
0 有限值
（ 0 处
B0 ）
(6)
Az1 a Az2 a
图3.2.9 两对上下放置传输线的磁场分布
图3.2.10 两对平行放置传输线的磁场分布
磁偶极子与电偶极子对比
模型
电量
电
偶
极
子
P qd
磁
偶
极
子
m I0dS
p P p P en
Km M en Jm M
产生的电场与磁 场
图示中 H1 H2 H3 吗？它们的环量相等吗？
图3.2.19 H 的分布与磁介质有关
空气中 铁磁中
B1
0 2
(
I r1
e 1
I r2
e 2
)
2 ,
H2 0
B2 为有限
( B2 2 H2 )
铁磁中磁感应强度 B2=0 吗？
B2
2H2
2
I 2r
2
(
20 0
2
)
I 2r
0I r
例 3.6.3 若载流导体 I 置于铁磁物质中，此时磁场分布有什么特点呢？
图3.6.3 线电流 I 位于无限大铁磁平板中的镜像
例 3.6.1 图示一载流导体 I 置于磁导率为2 的无限大导板上方 h 处，为求媒质1 与媒质2中的 B 与 H 的分布，试确定镜像电流的大小与位置？
图3.6.1 两种不同磁介质的镜像
解： 根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔接条件确定 I 与 I 。
由 H1t H 2t , 得
I sin I sin I sin I I I
磁屏蔽与静电屏蔽有什么不同？它们对屏蔽的材料各有什么要求？ 磁屛蔽在工程上有广泛的应用。
3.5.3 磁位 、m 磁矢位 A 与电位 的比较
位函数 比较内容 引入位函数的依据 位与场的关系
微分方程
位与源的关系
电位 ( )
(有源或无源）
E 0
E
0
p E dl
2
2 0
V
dV 4 R
磁位 (m )
• B 强处，B 线稠密，反之，稀疏。
图3.2.4 一载流导线 I 位于无限大铁板上 方的磁场分布（B 线）
图3.2.5 长直螺线管磁场的分布（B 线）
图3.2.6 一载流导线I位于无限大铁板内 的磁场分布（H 线）
图3.2.7 两根异向长直流导线的磁场分布
图3.2.8 布
两根相同方向长直流导线的磁场分
例 3.2.4 有一磁导率为 µ ，半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的
线电流I，圆柱外是空气（µ0 ），如图所示。试求圆柱内外的 B，H 与 M 的分布。
解：磁场为平行平面场,且具有轴对称性，应用安培环路定律，
得
H l
dl
2 H
I
磁场强度
H
I 2
e
0
磁化强度
M BH
0
I 2
2 AZ1
1
(
Az1
)
0 J z
0 a (1)
图3.4.8 长直带电圆柱导体
由式 (7 )` 得
C3
1 2
0 J Z a2 ,
C4
1 2
0 JZ a2
ln
a
2 AZ 2
1
(
Az 2
)
0
a
通解为
Az1(
)
0 J z 4
2
C1 ln
C2
Az2( ) C3 ln C4
边界条件
y2 y2
ez
B
A
AZ y
ex
AZ x
ey
图3.4.4 圆截面双线输电线
4) 微分方程法求A
例3.4.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体，其电流面密度J J zez , 试求导体 内外的磁矢位 A 与磁感应强度 B。（导体内外媒质的磁导率均为 µ0 ）
解：采用圆柱坐标系， A Azez , 且 Az f ( )
1 Az1 0
a
1 0
Az 2
a
(7)
由式 (5) `(6) 得 C1 0 , C2 0 J za2 4
例 3.4.5 图示铁磁体槽内有一线电流I，铁磁体的磁导率 ，槽和载流导线均
为无限长，忽略槽口边缘效应，试写出槽内矢量位A应满足的微分方程及有关边界条件。
解：依图示电流方向，磁矢位 A=-kAz。 Az为（x,y)的函数，
解： 总自感
L Li1 Li2 L0
1)内导体的内自感Li1 ( 0 R1 )
解： B H
B1 1H1 50 (6ex 8ey ) 0 (30ex 40ey ) T
B1n B2n
B2n B1n 300
H2n
B2n 2
10
H1t H2t K , H 2t H1t K 8 4 4
即
图3.3.4 含有K的分界面衔接条件
H 2 H 2tey H 2nex 10ex 4ey A/m
m2
2
(4)
, m1 1
m2 1
0
m1
1
2
m2
1
Biblioteka Baidu
(5)
采用分离变量法，利用场的对称性及边界条件（3），得
m1
(
M1
N1
)cos
m2
( M2
N2
)cos
m3
(
M3
N3
)cos
代入其它边界条件，联立求解得
N1 0 ( 参考磁位 0, m1 0 )
M1
4H02 / 0
e
0
a a
磁感应强度 B
I 2 e 0I 2
0 a a
图3.2.21 磁场分布
导磁圆柱内 = 0 处有磁化电流
Im 吗？ = a 处有面磁化电流 Km吗？
为什么？
图3.2.22 长直导磁圆柱 的磁化电流
例.3.3.2 分析铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况。
解： 2 0 , 1 0,
B2 2 H2 0( 30ex 12ey ) T
• 若面电流 K 3ey 4ez , 答案有否变化，如何变？
3.4.3 磁矢位 A 的应用
1) 矢量积分求A
例3.4.1 空气中有一长度为 l ，截面积为 S ，位于 z 轴上的短铜线，电流 I 沿 z 轴 方向，试求离铜线较远处（R >l > ）的磁感应强度。