第一章复变函数

z z 0 r0
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x

o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
z
z,
=Arg z =arg z+2k， (k=0, 1, 2,….)
复数零：辐角无意义
满足 0 Arg z 2 的特定值称为主值 arg
4. 复共轭：关于实轴的对称点：
z * ( x iy ) * x iy cos i sin e
●
具有纯虚数周期 2 i ，对应实函数为非周期函数
ln z 为无穷多值函数，负实数的对数仍有意义
复变函数
实部
虚部
f ( z) u( x, y ) i v( x, y )
复变函数连续性定义:
复变函数f (z)在z0连续, 归结为实变 函数u(x, y), v(x, y)在(x0, y0)连续！
/n+4(2/n)
/n+3(2/n)
复数研究可归结为实数研究 y y 0 ( 一维矢量 )
一维矢量可以按标量处 理
16
例题， p4, 3(1) 计算 解答：
a ib
4 2
a ib
a a
4 2
a
2
2
b

复数 z 的三种表示: 代数式： z x i y 三角式： z cos i sin
指数式： z e
i
y cos
•
z(x,y) sin x
模： | z | | x i y |
x y
2
2
o
复数平面
欧拉(Euler)公式
z z1 z2
| | | z2 | |z | | z1 |
=1
z1
| | 1 | z | | z1 | | z2 |
2- 1
o
x
o z2 o z 1 z
z
13
指数运算
z e
n in
e
n
in
(cos n i sin n ) , 特别当 1,
2 2
i
y x y
2 2
例4.
1 z
2
f(z)=1/z2=u(x,y)+iv(x,y)
2 2 2 2
x y x y 2 xy 1 2 i 2 i 2 2 2 2 2 2 2 2 z x y x y (x y ) (x y )
"the most remarkable formula in mathematics" (by Richard Feynman)
e
e
i
cos i sin
e
i / 2 z1
z1 z 2
e
z2
i e
e
i
1 0
This identity is particularly remarkable as it involves e, π, i, 1 and 0, arguably the five Leonhard Eular (1707-1783) Swiss most important constants in 4 mathematician, mathematics.
18
a ib
4
a a
2
2
b
2
0 0 i sin cos 2 2
b a
2 2

4
a
2
b
2
a 2 b
2
2
a
2
i
b
a b a 2 2 2 a b
2 2
2 2
a i
2
i
2
b a
2
b a
2
b e
ik
2
( k 0, 1)

a
4
b
2
e
2
i ( 0 2 k ) / 2
4
b
2
2
e
i 0 / 2

a
b
e
i 0 / 2
a
a
2
b
(cos
0
2 b a
2
i sin
0
2
)
其中
cos 0 a
2
A’ (x’,y’) S(南极） o
A(x,y)
x A ， , A’ N 、Re(z), Im(z)均无意义
复数 z 平面
y
A o， 0 , A’ o, 无确定值
“N”一点对应平面上所有无限远
（三）复数的运算 加减法： z1 ± z2= (x1 ± x2) + i ( y1 ± y2) 加法满足交换律和结合律 乘积：z1z2=(x1x2-y1y2)+ i (x1y2+x2 y1) 乘法满足交换律、结合律和分配律
（Arg z =arg z+2k）
27
28
与实函数比较异同 ● 三角函数 f (z)=sinz，cosz
(1)实数周期 2；sin(z+2)=sin(z), cos(z+2)=cos(z),
(2) sin z 1
2 cos z 1 2
e
2y
e
2 y
2 sin 2 cos
除法：
乘、除、乘方、开方运算用指数式（或三 角式）较代数式方便
复数的运算的物理图像： 加减法—2D平面内矢量的叠加 乘除法—2D平面内矢量的操作
复数乘法图示
y
z= z1 z2
o1z2 oz1z
|z| / |z1|= |z2| / 1
z2
o z1 x
( =1)
|z|= |z1|| z2|
a
2
b
2
a
(for
0 0 , or b 0 )
Z0
Z01/2
o
Z0
1/2
19
2 a ib 2
a
2
b
2
a i
a
2
b
2
a
(for
0 2 , or b 0 )
Z01/2
o
Z01/2
Z0
20
W
z
W1 (z)
o W2 (z)
W 1 I ( x , y ) ( y 0) I W 2 ( x , y ) W II ( x , y ) 1 ( y 0) II W 2 ( x , y )
z=x+iy

21

§1.2 复变函数 （一）复变函数的定义：若在复数平面上 存在一个点集 E, 对于E 的每一点z，按照 一定的规律，有一个或多个复值 w 与之 相对应，则称w 为z 的复变函数:
31
例1.
w=z2 .
u(x,y)=Re(z2)＝ x2- y2， v(x,y)=Im(z2)=2xy
例2.
w=z3
u(x,y)=Re(z3)=x3-3xy2; v(x,y)=Im(z3)=3x2y-y3
例3. w=1
/ z =u(x,y)+i v(x,y)
1 z ( x iy ) ( x i y )( x i y ) x x y
=1
(1,0)
11
复数除法图示一
y

z z1 z2 z1 1 z2
| | | z2 |

| | | |

| | 1 | | 1 | z2 | 1 *
1
=1
o
z2
x
1/z2=*
o z2 o
1 z
z2


e
i
12
复数除法图示二
y z2
E z
w
（二）区域的概念：
解析函数的定义域是满足一定条件的点集，称为区域
邻域、内点、外点和边界点
外点 边界点 B： 区域

z0: 内点
z0 z0 的邻域

区域：1、全由内点组成；2、具有连通性。 (开)区域: B 闭区域: B B
l
y z0 o
r0
x
圆型区域的例： z z 0 r0 为开区域；
第一篇 复变函数论
复变函数是自变量为复数(矢量）的函数
第一章 复变函数
§1.1 复数与复数运算 （一）复数的基本概念 1. 定义，z=x+i y, 其中 x 和 y 是实数, 虚数单位
实部 x = Re z， 虚部 y=Im z 2.复数的几何表示方法： 一个复数可用平面上的点表示 1) 直角坐标表示 z=x+i y
2
x cos x
2 2
e
2y
e
2 y
x sin x
2
当 y , sin z 和 cos z (3) 同样有公式
sin( z 1 z 2 ) sin z 1 cos z 2 cos z 1 sin z 2 cos( z 1 z 2 ) cos z 1 cos z 2 sin z 1 sin z 2
1 a
2
a a
2
b
2

a 2
2
b a
2
2
a
2
2
2
b
sin
0
2

a 2
2
b a
2
(for
b
2
0 0 2 )
cos
0
2

a 2
2
b a
2
a
2
(for
b
2
0 0 )
cos
0
2

a 2
2
b a
2
a
2
(for
b
0 2 )
e e
i - i
cos i sin
(I)
cos( ) i sin(- ) cos i sin (II) e
i
(I) (II)
e
- i
2 cos e
i
cos (I) (II) e
i
e 2
- i
e
- i
2
b
2
2
, sin 0 1 2 sin a a
2 2
b
2
cos 0 cos
0
2
sin
0
2 1
0
2
2 cos
2
0
2
1
sin
2
0
2

1 cos 0 2

b
2

a 2
2
b a
2
2
a
2
2
b
17
cos
2
0
2

1 cos 0 2
n n
(e
i
)
(cos i sin )
n
cos n i sin n
根式运算
n
z
n
n
e
i( 2 k )

1 n

n
e
i
( 2 k ) n

2k 2k cos i sin n n
k 0, 1, 2, ... , n - 1
a 0 , a 1 , a 2 , , a n , b 0 , b1 , b 2 , , b n 为复常数
3. 根式
za
a 为复常数
以下是几个初等函数的定义式
e
z
e
x iy
e e
x
iy
e (cos y i sin y )
x iz
sin z sh z
1 2i 1 2
根式的多值性!!
14
n
z
n
2k 2k cos i sin n n
k 0, 1, 2, ... , n - 1
(n=5)
/n+2/n
=2/n，
/n
Z
/n+2(2/n)

k n的根与k = 0, …, n-1的根重合; k=0 与k = n的根 等同。
i

y o
z - z*
z(x0,y0) x z*(x0,-y0)
zz * x z
2
2
y
2
( x iy ) (x
2
2
y ) i 2 xy
2
Z, Z* 互为共扼
7
| z |
zz *
z
2
（二）无限远点： 测地投影:用平面上的点 来表示球面上的点
N（北极） 复数球