最短路径问题PPT课件

故 （AC+CD+DB）min
• 问题 5：如图，A，B两地在一条河的两岸，现要
在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的
路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要
与河垂直）
.A M
作法： 1、将点B沿垂直与河岸的方
向平移一个河宽到E
N
. E 2、连接AE交河对岸与点M,
则
.B
点M为建桥的位置，MN为
b
河 草地
. Pa
河 草地
• 作法：
1、作点P关于直线a的对称点
P2
b
P1，关于直线b对称点P2
B
2、连接P1P2，分别交直线
.P
a,b于点A，B 3、连接PA，PB，由对称轴的
A
a 性质知，PA= P1A，PB=P2B ∴先到点A处吃草，再到点B
P1
处饮水，最后回到营地，
这时的放牧路线总路程最
短，即 (PB+BA+AP)min
圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短
AB2 由AC勾2 股 B定C理2 得169
路线.(如图)
∴AB=13(m)
问题 7：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、
宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两
个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口
的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶
处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则
蚂蚁爬行的最短路径是
74 。
D
4
C
A
5
B3
• 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与
B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度
忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆
周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为来自10cm 。B
A
SUCCESS
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2019/7/25
回到 B 处执行任务，这时
的路线总路程最短。即
（AC+CD+DB）min
• 证明：
B1 FD
∵ AE+EF+FB
l1
= A1E+EF+FB1 = A1E+EG+GF+FB1
A. G
A1 C E
.B l2
>
A1G + GB1
= A1B1
= A1C+CD+DB1
= AC+CD+DB
∴AE+EF+FB>AC+CD+DB
面爬到B点，最短线路是多少？
A
5
A
5
C
3
1
12
B
∵ AB2=AC2+BC2=169
∴ AB=13
B
问题 8：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶
点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是
（B ）
（A）3
（5B）
（C）2
（D）1
C
B
C
2
B
1
A
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）。
l1 .B .A
l2
• 作法：
B1 D
1、作点 A 关于直线 l1 的 对称点 A1
l1
2、作点 B 关于直线 l2 的 对称点 B1
A.
A1 C
.B
3、连接 A1B1 ，分别交直线 l1 ,l2 于点 C，D，则沿路
线A→C→D→B 走，才能使
l2 总路程最短
∴先到点 C 处设卡检查，再
到点 D 处设卡检查，最后
根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况如图由勾股定理可求得图1中ac25前面和上面37前面和右面29左面和上面2021326281如图是一个长方体木块已知ab5bc3cd4假设一只蚂蚁在点a处它要沿着木块侧面爬到点d处则蚂蚁爬行的最短路径是2021326292现要在如图所示的圆柱体侧面a点与b点之间缠一条金丝带金丝带的宽度忽略不计圆柱体高为6cm底面圆周长为16cm则所缠金丝带长度的最小值为10cm202132630
左面和上面
前面和右面
前面和上面
问题9：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，
沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所
示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
A
4
C1 分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路
B1
1 C
2
线有三种情况(如图①②③ ),由勾 股定理可求得图1中AC1爬行的路线
一信息，于是它想从A
处爬向B处，你们想一想， A 蚂蚁怎么走最近？
A’
d
B
A’
B
A
A
蚂蚁A→B的路线
O
B
B
A
A
怎样计算AB？
A’ r O
B
4
侧面展开图
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AB2 AA2 A' B2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半 (πr) 结论：圆柱体中的最短路径为展开图中一半矩形的对
作 法A.：
点
CA，.B
l
与直线
l
B
连接 相交
• 问题 2：相传，古希腊亚历山大里亚城里有 一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天， 一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得
其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔 直的河边l 饮马，然后到B 地。到河边什么
地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B A
l
◇
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象
为一条直线。
·B A·
证明：
∵AP1+P1B=A′P1+P1B >A′B
C P1 P P2
A′ ·
=A′P+PB
l
=AP+PB
∴ AP1+P1B>AP+PB
同理：AP2+P2B>AP+PB
故 （AP+PB）min
• 问题 3：牧马营地在点P处，每天 牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草，再到河边b饮水，最后回到营 地，请你设计一条放牧路线，使其 所走的总路程最短？
(1)一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否
存在一点C，使C点到A，B两校的距离相等？如果
有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹；
y
路边建一游乐. 场B P，
(2)若在公
A.
到两O 校距离之和最x
作图在图中找出所建
使游乐场 小，通过
y M .B
A.
N
O
PC
A1
• 作法：
（1）连接 A，B点，以A，B 为圆心，任意半径画圆， 交点为点M，N，连接MN， 交x轴于点C，则点C就是所 求点，即 CA=CB
所建的桥。
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2019/7/25
A
C M
ND
E
B
• 证明： ∵ AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD > AE+CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN ∴ AC+CD+DB > AM+NB+MN
故 （ AM+NB+MN ）min
• （2011年）A，B两所学校在一条东西走向公路的 同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面 直角坐标系。
例：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一
只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
.B
C
B
A.
A
解：AC = 6 – 1 = 5
分析：由于老鼠是沿着圆柱的 表面爬行的，故需把圆柱展开
BC = 241 ×
成平面图形.根据两点之间线 =12
2
段最短，可以发现A、B分别在
精通数学、物理学的海伦稍 加思索，利用轴对称的知识回答了这 个问题。这个问题后来被称为“将军 饮马 问题”。
你能将这个问题抽象为数学问 题吗？
B A
l
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象
为一条直线。
作法：
·B 1、过点 A 作直线 l
A·
的
对称点 A′
C
P
A′·
l 2、连接 A′B ，与直
线 l 相交于点 P
• 证明：
P2
b ∵ PA1+A1B1+B1P
B1 B
.P
河
= P1A1+A1B1+B1P2 > P1A+AB+BP2
草地
A1 A
a = PA+AB+BP
P1 ∴ PA1+A1B1+B1P
> PA+AB+BP
故 （PA+AB+BP）min
• 问题 4：为了做好国庆期间的交通为了做 好国庆期间的交通安全工作，某交警执勤 小队从A处出发，先到公路 l1 上设卡检查， 再到公路 l2 上设卡检查，最后再到达B地 执行任务，他们如何走才能使总路程最短？
x （2）过A点做 x 轴的对称 点A1点，连接 A1B 交 x 轴于点 P，则点 P 就是所 求点，即（AP+PB）min
最短路径问题
立体图形中的最短路径
问题 6：如图 在一个
底面周长为20cm,高AA′ A′
B
为4cm的圆柱石凳上，若
小明在吃东西时留下了
一点食物在B处，恰好一
只在A处的蚂蚁捕捉到这
B
最短.
D1
C1
①D
1
C
2
A
4
B
AC1 =√42+32 =√25
前面和上面
A1 ②
A4
B1 C1
1
B2 C
AC1 =√62+12 =√37
前面和右面
D D1
③
A 1 A1
C1
2
4
B1
AC1 =√52+22 =√29
左面和上面
• 1、如图是一个长方体木块，已知
AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A
最短路径问题
平面中的最短路径 立体图形中的最短路径
最短路径问题
平面中的最短路径
如图所示，从A地到B地有三条路 可供选择，你会选走哪条路最近？你 的理由是什么？
C ①D E
A两点之间②
B
③
线段最短 F
• 问题１：如图，点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，在 l 上找到一个 点，CA ＋ CB 最短