苏科版九年级数学上册《圆有关的最值问题》专题(解析版)

圆有关的最值问题
一、求解方法：
1．根据“三角形三边关系”求解：
-≤≤+
a b c a b
2．动中有静，抓住不变量求解．
3．旋转必产生圆，很多情况在相切位置产生最值．
4．四点共圆（补充）．
五个基本判断方法：
(1)若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．
(2)若一个四边形的一组对角互补（和为180。

），则这个四边形的四个点共圆．
(3)若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆．
(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆．
(5)同斜边的直角三角形的顶点共圆，
二、解题策略
1．直观感觉，画出图形；
2．特殊位置，比较结果；
3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化．
三、中考展望与题型训练
例一、圆外一点与圆的最近点、最远点
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是平面内的一个动点，且AD＝2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是．
例二、正弦定理
2．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为．
3．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是．例三、不等式、配方法
4．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接P A、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？
5．如图，线段AB＝4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）
A．4B．C．D．2
6．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．则线段AB 的最小值是．
例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是____
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是．
9．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）
A．B．C．3D．2
【题型训练】
10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），点C、D分别为OA、OB的中点，若正方形OCED绕点O顺时针旋转，得正方形OC′E′D′．记旋转角为a（0°＜a＜360°），连结AC′、BD′，设直线AC′与直线BD′相交于点F，则点F的纵坐标的最大值为．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（）A．4B．C．D．
12．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）
A．4.75B．4.8C．5D．4
13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D是BC的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为____
14．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）
A．2B．1C．D．
15．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（）
A．3B．C．D．4
16．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为（）
A．B．2C．3D．4
17．如图，∠BAC＝60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，P A长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE 长度的最大值为．
18．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP＝2，点B是直线y ＝x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则tan∠ABP＝m，则m的取值范围是．
19．在平面直角坐标系中，M（6，8），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（﹣2，0）、B（2，0），连接P A、PB，则P A2+PB2最大值是．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC =6，圆A和圆B相切于点D，
且分别交线段AC，BC于点E，F．则阴影部分（在△ABC内，且在两圆外）面积的最大值是____．
21．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（）
A．2﹣2B．C．D．
22．如图，平面直角坐标系中，分别以点M（2，3）、N（3，﹣5）为圆心，以1、2为半径作⊙M、⊙N，A、B分别是⊙M、⊙N上的动点，P为y轴上的动点，则P A+PB的最小值等于．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，1+m），C（0，1﹣m）（m＞0），点P在以D（﹣4，﹣2）为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则m的取值范围是．
24．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D是弧ACB上的一个动点（不与点A、B重合）．连接BD．过点A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若⊙O的半径为2cm，则CE长的最小值为cm．
25．在平面直角坐标系中，点A是直线y＝x上动点，以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，若直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为（）A．B．C．3D．
26．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，分别以A、D为圆心，1为半径画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是（）
A．2B．3C．4D．5
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为．
28．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为cm．
29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是．
30．已知条件如图所示，点D是AC上动点，求弦EF长度的最小值．
31．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得到线段MA′，如图，连接A′C，则A′C长度的最小值是．
32．在平面直角坐标系中，以点A(10，8)为圆心的⊙A与y轴相切。

点B(0，16)，点C是⊙A上任意一点，点M是线段BC的中点，求线段OM的取值范围．
答案与解析
1．【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB＝＝＝5，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE＝AB＝．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME＝AD＝1．
∴在△CEM中，﹣1≤CM≤+1，即≤CM≤．
故答案是：≤CM≤．
2．【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝2OE•sin∠EOH＝2OE•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH，即可求出答案．
【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，
∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH＝∠FOH＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝×＝，
由垂径定理可知EF＝2EH＝，
故答案为：．
3．【分析】方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，求出当DK为直径时符合，再求出PM 即可；
方法二、求出C，M，O，P，四点共圆，连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM最大．
【解答】解：方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，
则PM＝DK，当DK过O时，DK最大值为8，PM＝DK＝4，
方法二、连接CO，MO，
∵∠CPO＝∠CMO＝90°，
∴C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径（E为圆心），
连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM 最大．即PM max＝4，
故答案为：4．
4．【解答】解：过O作OE⊥PD，垂足为E，
∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，
∴PE＝ED，
又∵∠CEO＝∠ECA＝∠OAC＝90°，
∴四边形OACE为矩形，
∴CE＝OA＝2，又PC＝x，
∴PE＝ED＝PC﹣CE＝x﹣2，
∴PD＝2（x﹣2），
∴CD＝PC﹣PD＝x﹣2（x﹣2）＝x﹣2x+4＝4﹣x，
∴PD•CD＝2（x﹣2）•（4﹣x）＝﹣2x2+12x﹣16＝﹣2（x﹣3）2+2，
∵2＜x＜4，
∴当x＝3时，PD•CD的值最大，最大值是2．
5．【分析】分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．由三线合一可知AP与BP为CD、CE 垂直平分线；再由垂径定理可知圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点；连OC，若半径OC最短，则OC⊥AB，由△AOB为底边4，底角30°的等腰三角形，可求得OC＝．
【解答】解：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．
又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．连接OC．
若半径OC最短，则OC⊥AB．
又∵∠OAC＝∠OBC＝30°，AB＝4，
∴OA＝OB，
∴AC＝BC＝2，
∴在直角△AOC中，OC＝AC•tan∠OAC＝2×tan30°＝．
故选：B．
6．【分析】如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，有OP＜OC，所以当OC与OP重合时，OC最短；
【解答】解：（1）线段AB长度的最小值为4，
理由如下：
连接OP，
∵AB切⊙O于P，
∴OP⊥AB，
取AB的中点C，
∴AB＝2OC；
当OC＝OP时，OC最短，
即AB最短，
此时AB＝4．
故答案为：4．
7．
8．【分析】首先根据题意画出图形，然后解直角三角形求得AC的长，然后分两种情况讨论即可求得答案．
【解答】解：当⊙O经过点C时，则AC是直径，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴AC＝cos30°•AB＝2，
∴OA＝，
当圆O经过B点时，如图，
作OD⊥AB于点D，
∴AD＝AB＝2，
∵∠A＝30°，
∴cos∠A＝＝，
∴OA＝；
∴⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是，故答案为．
9．【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ 最小．根据垂线段最短，知OP＝3时PQ最小．根据勾股定理得出结论即可．
【解答】解：∵PQ切⊙O于点Q，
∴∠OQP＝90°，
∴PQ2＝OP2﹣OQ2，
而OQ＝2，
∴PQ2＝OP2﹣4，即PQ＝，
当OP最小时，PQ最小，
∵点O到直线l的距离为3，
∴OP的最小值为3，
∴PQ的最小值为＝．
故选：B．
10．【分析】首先找到使点F的纵坐标最大时点F的位置（点F与点E′重合时），然后运
用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点F的纵坐标的最大值．
【解答】解：如图，
∵∠AOB＝∠D′OC′，
∴∠ACO′＝∠BOD′，
在△AOC′和△BOD′中，
，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴∠OAF＝∠OBF，
∵∠AGO＝∠BOF
∴∠BF A＝∠BOA＝90°，
∴点F、B、A、O四点共圆，
∴当点F在劣弧上运动时，点F的纵坐标随∠F AO的增大而增大，
∵OC′＝2，
∴点C′在以点O为圆心，2为半径的圆O上运动，
∴当AF与⊙O相切时，∠C′AO（即∠F AO）最大，
此时∠AC′O＝90°，点E′与点F重合，点F的纵坐标达到最大．
过点F作FH⊥x轴，垂足为H，如图所示．
∵∠AC′O＝90°，C′O＝2，AO＝4，
∴∠E′AO＝30°，AC′＝2．
∴AF＝2+2．
∵∠AHF＝90°，∠F AH＝30°，
∴FH＝AF＝×（2+2）＝+1．
∴点P的纵坐标的最大值为+1．
11．【分析】当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直于切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得；
【解答】解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵过P的直线是⊙D的切线，
∴DP垂直于切线，
延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∴OA＝，
∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴＝，
∵AD＝4，CD＝3，AC＝5，
∴DM＝，
∴PM＝PD+DM＝1+＝，
∴△AOP的最大面积＝OA•PM＝××＝，
故选：D．
12．【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD ⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形，FC+FD＝PQ，由三角形的三边
关系知，FC+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD＝PQ有最小值，最小值为CD 的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ＝CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD＝BC•AC÷AB＝4.8．
【解答】解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴∠ACB＝90°，FC+FD＝PQ，
∴FC+FD＞CD，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ＝CD有最小值，
∴CD＝BC•AC÷AB＝4.8．
故选：B．
13．
14．【分析】由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙O 相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；
易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．
【解答】解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD＝1，AC＝OC+OA＝3；
由勾股定理，得：AD＝2；
∴S△ACD＝AD•CD＝；
易证得△AOE∽△ADC，
∴＝（）2＝（）2＝，
即S△AOE＝S△ADC＝；
∴S△ABE＝S△AOB﹣S△AOE＝×2×2﹣＝2﹣；
另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！
故选：C．
15．【分析】当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积最大．设EF＝x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△ABE面积．【解答】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积最大．
连接AC，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC，
∴AD＝AO＝2，
连接CD，设EF＝x，
∵CF＝1，
∴DE＝＝，
∵∠DEC＝∠AEO，∠EDC＝∠EOA＝90°，
∴△CDE∽△AOE，
∴＝，
即＝，
解得x＝，
S△ABE＝＝＝．
故选：B．
16．【分析】当PC⊥AB时，线段PQ最短；连接CP、CQ，根据勾股定理知PQ2＝CP2﹣CQ2，先求出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：当PC⊥AB时，PQ的长最短．
在直角△ABC中，AB＝＝＝4，
PC＝AB＝2．
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，即∠CQP＝90°，
∴PQ＝＝＝．
故选：A．
17．【分析】先确定线段DE的长与半径AP的关系，通过圆心角等于圆周角的一半，再结合特殊角的三角函数得出DE＝AP，当AP最大时线段DE最长，由点P在⊙O上可找出AP的最大值，从而得出DE的最大值．
【解答】解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，
∵∠BAC＝60°，
∴∠DPE＝120°．
∵PE＝PD，PM⊥DE，
∴∠EPM＝60°，
∴ED＝2EM＝2EP•sin60°＝EP＝P A．
当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．
∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC＝60°，
∴∠OAF＝30°，OF＝1，
∴AO＝＝2，AP＝2+1＝3，
∴DE＝P A＝3．
故答案为：3．
18．【分析】分两种情况：①当B位于C处，∠ABP最小，为0°，此时，m＝0；②当B 距离A最近时，∠ABP最大为45°，此时m＝tan45°＝1，即可求得m的取值范围．【解答】解：①当B位于C处，则P位于P′或P″处时，∠ABP最小，为0°，此时，m＝0；
②当B距离A最近时，∠P′BP最大，从而∠ABP最大，此时，AB⊥BC，则B（1，2），
所以，四边形BP′AP是正方形，
所以∠ABP最大为45°，
此时m＝tan45°＝1，
所以0＜m≤1，
故答案为0＜m≤1．
19．【分析】设点P（x，y），表示出P A2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可．
【解答】解：设P（x，y），
∵P A2＝（x+2）2+y2，PB2＝（x﹣2）2+y2，
∴P A2+PB2＝2x2+2y2+8＝2（x2+y2）+8，
∵OP2＝x2+y2，
∴P A2+PB2＝2OP2+8，
当点P处于OM与圆的交点上时，OP取得最值，
∴OP的长度为：OM+PM＝10+2＝12，
∴P A2+PB2＝296．
故答案为：296
20．
21．【分析】连结AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝2，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED＝90°，接着由∠AEB＝90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC＝，从而得到CE的最小值为﹣1．
【解答】解：连结AE，如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，
∴AB＝AC＝2，
∵AD为直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为1，
连接OE，OC，
∴OE＝AB＝1
在Rt△AOC中，
∵OA＝1，AC＝2，
∴OC＝＝，
由于OC＝，OE＝1是定值，
点E在线段OC上时，CE最小，如图2，
∴CE＝OC﹣OE＝﹣1，
即线段CE长度的最小值为﹣1．
故选：C．
22．【分析】作⊙M关于y轴的对称⊙M′，连接NM′分别交⊙M′和⊙N于A、B，交y 轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时P A+PB最小，再利用对称确定M′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出M′N的长，然后用M′N的长减去两个圆的半径即可得到AB的长，即得到P A+PB的最小值．
【解答】解：作⊙M关于y轴的对称⊙M′，连接NM′分别交⊙M′和⊙N于A、B，
交y轴于P，如图，
则此时P A+PB最小，
∵点M坐标（2，3），
∴点M′坐标（﹣2，3），
∵点N（3，﹣5），
∴M′N＝，
∴AB＝M′N﹣NB﹣M′A＝﹣2﹣1＝﹣3，
∴P A+PB的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3
23．【分析】由题意P A＝AB＝AC＝m，求出P A的最大值和最小值即可解决问题；
【解答】解：∵A（0，1），B（0，1+m），C（0，1﹣m）（m＞0），
∴AB＝AC＝m，
∵∠BPC＝90°，
∴P A＝AB＝AC，
∵D（﹣4，﹣2），A（0，1），
∴AD＝＝5，
∵点P在⊙D上运动，
∴P A的最小值为5﹣，P A的最大值为5+，
∴满足条件的m的取值范围为：5﹣≤m≤5+
故答案为5﹣≤m≤5+．
24．【分析】由AE⊥BD，推出∠AEB＝90°，推出点E在以AB为直径的圆上运动，可得CE的最小值为CO′﹣O′E；
【解答】解：∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的圆上运动，
∴CE的最小值为CO′﹣O′E，
∵⊙O的半径为2，△ABC是等边三角形，
∴AB＝2，CO′＝×2＝3，
∴CE的最小值＝（3﹣）（cm）．
故答案为3﹣．
25．【分析】连结AB、BC，如图，由A点坐标易得点A在直线y＝x上，作BH⊥直线y＝x 于H，则△BOH为等腰直角三角形，所以BH＝2，再根据切线的性质得∠ACB＝90°，则利用勾股定理得到AC＝，易得AB最小时，AC的值最小，利用垂线段最短得到AB的最小值为2，所以AC的最小值为＝．
【解答】解：连结AB、BC，如图，
∵点A在直线y＝x上，
∵∠AOB＝45°，
作BH⊥OA于H，
∴△BOH为等腰直角三角形，
∴BH＝＝2，
∵直线AC与⊙B相切，切点为C，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝，
当AB最小时，AC的值最小，
而点A在H点时，AB最小，此时AB＝BH＝2，
∴AC的最小值为＝．
故选：A．
26．【分析】以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC于P，交⊙A、⊙D′于E、F′，连接PD，交⊙D于F，EF′就是PE+PF最小值；
根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF最小值．
【解答】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值；
∵矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，圆A的半径为1，
∴A′D′＝BC＝3，AA′＝2AB＝4，AE＝D′F′＝1，
∴AD′＝5，
EF′＝5﹣2＝3
∴PE+PF＝PF′+PE＝EF′＝3，
故选：B．
27．【分析】点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点O在到AC的中点的距离不变．本题可通过设出AC的中点坐标，根据B、D、O在一条直线上时，点B到原点O的最大可得出答案．
【解答】解：设AC的中点是D，则OD＝AC＝1，根据勾股定理得BD＝，当B、D、O在一条直线上时，点B到原点O的最大，最大距离是+1．
28．【分析】通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△P AB≌△P′AD，则P′D＝PB＝1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．
【解答】解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，
连接BP，
由旋转得：AP＝AP′，∠P AP′＝90°，
∴∠P AB+∠BAP′＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，
∴∠P AB＝∠DAP′，
∴△P AB≌△P′AD，
∴P′D＝PB＝1，
在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝3，
由勾股定理得：BD＝＝3，
∴BP′＝BD﹣P′D＝3﹣1，
即BP′长度的最小值为（3﹣1）cm．
故答案为：（3﹣1）．
29．【分析】首先证明AB＝AC＝a，根据条件可知P A＝AB＝AC＝a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．
【解答】解：∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a+1﹣1＝a，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴P A＝AB＝AC＝a，
如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，
∵A（1，0），D（4，4），
∴AD＝5，
∴AP′＝5+1＝6，
∴a的最大值为6．
故答案为6．
30．
31．【分析】当A'在MC上时，线段A'C长度最小，作ME⊥CD于点E，首先在直角△DME 中利用三角函数求得ED和EM的长，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的长，然后减去MA的长即可求解．
【解答】解：作ME⊥CD于点E．
∵菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴∠EDM＝60°，
在直角△MDE中，DE＝MD•cos∠EDM＝×1＝，ME＝MD•sin∠EDM＝，则EC＝CD+ED＝2+＝，
在直角△CEM中，MC＝＝＝，
当A'在MC上时A'C最小，则A′C长度的最小值是：﹣1．
故答案是：﹣1．
32．。