人教版高中数学必修2、选修2-1知识点

人教版高中数学必修2、选修2-1知识点
a αa∩α=A a∥α
面平行。

符号表示：
符号
表示：
a
β
b
β
a
∩b =
P
β∥
α
a
∥α
b 2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；（2）判定定理；（3
条直线的两个平面平行。

2.2.3 —2.2.4直线与平面、
则过这条直线的任一平面与此平面
简记为：线面平行
则线线平行。

符号表示：a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的那么它们的交线平
符号表示：α∥β
α∩γ= a a ∥b
β∩γ= b 2.3.1直线与平面垂直的判定
个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
位线定理、平行四边形的性质定理、梯形中位线定理、平行线分线段成比例定理的推论。

.
直线与直线平行−−−→←−−−
判定性质
直线与平面平行−−−→←−−−判定
性质
平面与平面平
2.证明线面垂直、面面垂直的关键是证明线线垂
直，证明线线垂直常用的方法有：等腰三角形三线合一的性质、勾股定理的逆定理等.
直线与直线垂直−−−→←−−−判定性质
直线与平面垂直−−−→←−−−
判定性质
平
面与平面垂直
第三章 直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,
角的取值范围是（2①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

即tan k α=。

当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 注意： 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.
当[)
90,0∈α时，0≥k ； 当()
180,90∈α时，0<k ； 当
90=α时，k 不存在。

②过两点P 1 (x 1,y 1), P 2 (x 2,y 2),x 1≠x 2的直线斜
率公式：)(2
11
2
1
2x x x
x y
y
k ≠--= 注意：当2
1
x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； （3）直线方程
注意：○各式的适用范围 ○特殊的方程如： 倾斜角0°，倾斜角 90°时，直线的斜率不存在，它的方程
（4）两直线平行与垂直
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（5）两条直线的交点
0:1
1
1
1
=++C y B x A l 0:2
222=++C y B x A l 相交
交点坐标即方程组⎩⎨
⎧=++=++0
2221
11C y B x A C y B x A 的一组解。

方程组无解2
1
//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔
l l 设1122
(,),A x y B x y ，（），则
点()0
0,y x P 到直线两平行线为1
l ：01
=++C By Ax ，2
l ：0
2
=++C
By Ax ，则1
l 与
2
l x ，y 对应项系数应相
等。

（9）平行直线与垂直直线设法：
1、圆定义：平面内到一定点的距离等于定长的
点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆半径。

1
0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：2
2
2
r y x =+。

点(,)M x y 2
2
2
()()x a y b r -+-=置关系如何判断？
（2）一般方程02
2=++++F Ey Dx y x 当042
2>-+F E D ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--2,2E D ，
半径为F E D r 42
12
2
-+=
当0422=-+F E D 时，表示一个点；
当042
2
<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。

需三个独立条件，若用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若用一般方程，需要求出D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系(用圆心到直线的距离来判断)：
直线0:=++C By Ax l ()()2
22:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离2
2B A C Bb Aa d +++=
，
0d r >⇔⇔∆<相离；
0d r =⇔⇔∆=相切； 0d r <⇔⇔∆>相交。

还可利用直线方程与圆的方程联立方程组22
00
Ax By C x y Dx Ey F ++=++++=⎧⎨⎩求解，通过解的个数来判断。

注:(1)过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立
②k 存在，设点斜式方
程，用圆心到直线距离=半径，求k ，得方程 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，
（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()2
2
12
11:r b y a x C =-+-，()()2
22
222:R b y a x C =-+-
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，公切线三条；
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条公切线；
一条公切线；当时，两圆内含，无公切线；当0=d 时，为同心圆。

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线；
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点。

5、中点坐标公式
6、两圆相交则连心线垂直平分相交弦
7、线圆相交，计算弦长，常用勾股定理：弦长一半、半径、弦心距。

8、光线反射问题：入射点的“像”在反射光线的反向延长线上，反射点的“像”在入反射光线的反向延长线上
4.3.1空间直角坐标系
O M
M'
R
P
Q
1、点M 对应有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标
2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐
标，y 叫做点M 的纵坐标，
z 叫做点M 的竖坐标。

4.3.2空间两点间的距离公式 1、空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,
(2
222z y x P 之间的距离公式
选修2－1
第一章：命题与逻辑结构 1、
2．真假性之间的关系：
()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
()2两个命题为互逆命题或互否命题，
它们的真假性
没有关系．
3、若
p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 4、（1）当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；有一个是假命题时，p q ∧是假命题． （2）当p 、q 有一个是真命题时，p q ∨是真命题；两个都是假命题时，p q ∨是假命题． （3）对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．
若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题． 5、（1）全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．
全称命题
p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝。

是特称命题。

（2）特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”
，记作“x ∃∈M ，()p x ”． 特称命题
p ：x ∃∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∀∈M ，()p x ⌝。

是全称命题。

第二章：圆锥曲线
1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 ①建立适当的直角坐标系；②设动点(),M
x y 及其他的点；③找出满足限制条件的等式；④将点的坐标
代入等式；⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。

2、平面内与两个定点
1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12
F F ）的点的轨迹称为椭圆。

()12222MF MF a a c +=>
3、椭圆的几何性质：
7、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．
8、过焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB，称为“通径”，即2p
AB=．9、抛物线的几何性质：
标准方程
22
y px
=
()0
p>
22
y px
=-
()0
p>
22
x py
=
()0
p>
22
x py
=-
()0
p>
图形
顶点()
0,0
对称轴x轴y轴
焦点,0
2
p
F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,0
2
p
F
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
0,
2
p
F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
0,
2
p
F
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
准线方程
2
p
x=-
2
p
x=
2
p
y=-
2
p
y=
离心率1
e=
范围 0x ≥
0x ≤
0y ≥ 0y ≤
焦半径
02
p F x P =+
02
p
F x P =-+
02
p F y P =+
02p F y P =-+
第三章：空间向量
1、空间向量的概念：
2、空间向量的加法和减法：
()1向量的加法，它遵循三角形法和平行四边形法则． ()2向量的减法，它遵循三角形法
则．
3、向量的数乘运算．当0λ
>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；
当0λ=时，a λ为零向量，记为0． a λ的长度是a 的长度的λ倍．
4、λ，μ为实数，a ，b 是向量，则分配律：()
a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．
5、有向线段所在直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量。

零向量与任何向量都共线．
6、向量共线充要条件：对向量a ，()0b
b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
8、向量共面定理：点P 在平面C AB 内的充要条件是存在实数x ，y ，使x y C AP =AB +A ； 或
对空间任一定点O ，有x y C O P
=O A +A B +A ；
或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=． 9、向量a ，b 的夹角（起点相同），记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 10、a ，b 的数量积，cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．
11、a b ⋅等于a 的长度
a 与
b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积．
12、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有
()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；
()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()
()
a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨
-⎪⎩
与同向与反向，2
a a a
⋅=，
a a a
=⋅；
()4cos ,a b a b a b
⋅〈〉=
；
()
5a b a b
⋅≤．
13运算律
()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．
14、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，
使得
p xa yb zc =++．
{},,a b c 称为空间的一个基底，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
15、设()111,,a
x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．
()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．
()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y
z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．
()
721a a a x =⋅=+
()821
cos ,a b a b a b
x ⋅〈〉=
=
+．
()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =
AB =
16、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ， 则////a b
a b ⇔⇔()a b R λλ=∈， 0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．
17、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄， 则////a a α
α⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=， //a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．
18、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ， 则////a b α
β⇔⇔a b λ=， 0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．
19、用向量法求线线角、线面角、面面角公式；点面距离公式。

（略）。