第19章一次函数——基本性质专项练习 2022—2023学年人教版数学八年级下册

一次函数——基本性质
◆一次函数的基本性质
1-1．已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3；
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；
（3）若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m的值；
（4）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
1-2．已知一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）．
（1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？
（2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？
（3）当m为何值时，这个函数的图象与直线y＝x﹣4的交点在y轴上？
1-3．已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3．（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）若点P（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值；
（3）若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围．
1-4．已知y与x成正比例函数，当x＝1时，y＝2．求：（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求当x＝﹣1时的函数值；
（3）如果当y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围．
1-5．已知一次函数y＝﹣2x﹣2．
（1）根据关系式画出函数的图象．
（2）求出图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标，
（3）求A、B两点间的距离．
（4）在坐标轴上有点C，使得AB＝AC，写出C的坐标．
◆一次函数与待定系数法
2-1．一次函数y＝kx+b，当﹣1≤x≤1时，相应的函数值是0≤y≤3．试求k、b的值．
2-2．一次函数的图象过点A（﹣1，2）和点B（1，﹣4）．
（1）求该一次函数表达式．
（2）若点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在该一次函数的图象上，求n1﹣n2的值．
2-3．已知y与2x﹣1成正比例，当x＝3时，y＝10．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＝﹣2时，求x的值．
◆一次函数与面积
3-1．如图，直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线AB上一点，另一直线l2：y ＝kx+4经过点P．
（1）求点A、B坐标；
（2）求点P坐标和k的值；
（3）若点C是直线L2与x轴的交点，点Q是x轴上一点，当△CPQ的面积等于3
时，求出点Q的坐标．
3-2．在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l上的点P（m，n）在第一象限内，设△AOP的面积是S．
（1）写出S与m之间的函数表达式，并写出m的取值范围．
（2）当S＝3时，求点P的坐标．
（3）若直线OP平分△AOB的面积，求点P的坐标．
3-3．如图，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上一点，且S
：S△BOP＝1：2，求k的值．
△AOP
3-4．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△DOB的面积
3-5．已知y＝y1+y2，且y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝1；当x＝﹣3时，y＝13，求：（1）y与x之间的函数解析式；
（2）当x＝3时，求y的值．
3-6．已知一次函数y＝kx+3与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B．
（1）求一次函数的表达式及点B的坐标；
（2）画出函数y＝kx+3的图象；
（3）过点B作直线BP与x轴交于点P，且OP＝2OA，求△ABP的面积．
3-7．如图，直线l交x轴于A（﹣4，0），交y轴于B（0，6），C（m，3）是直线l上的一点．（1）求直线AB，OC的表达式；
（2）在直线AB上找一点P，使S△OCP＝S△OAB，求出点P的坐标．
练习
1．在如图所示的平面直角坐标系中．画出函数y＝2x+4的图象．
（1）若该函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积；
（2）利用该函数图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围．
2．在直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，2），点P（x，y）在第一象限内，且x+2y＝4，设△AOP的面积是S．
（1）写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）当S＝3时，求点P的坐标；
（3）若直线OP平分△AOB的面积时，求点P的坐标．
3．已知一次函数：y1＝﹣|k|x+b（k，b为常数且k≠0）．
（1）若函数图象经过（2，4），（4，0）两点，求k与b的值；
（2）若﹣1≤x≤3时，3≤y≤5，求此一次函数的解析式．
4．已知函数y＝（2n﹣8）x﹣n﹣3．
（1）若函数图象经过原点，求n的值；
（2）若这个函数是一次函数，且图象经过二、三、四象限，求n的正整数值．
5．已知一次函数y＝（2m+3）x+m﹣1，
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，求m的值；
（3）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值；
（4）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；
（5）该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．
6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于E、F两点，点E的坐标为（﹣6，0），OF＝3．（1）求k与b的值；
（2）若P是直线EF上的一个动点且满足△POE的面积为6，求点P的坐标．
7．如图，Rt△ABO的顶点A在直线y＝﹣x﹣k上，AB⊥x轴于B，且S△ABO＝，AB：BO＝3：1，点C在该直线上，且点C的纵坐标是﹣1．
（1）点A的坐标；
（2）求直线AC的解析式；
（3）求△AOC的面积．
一次函数——基本性质（解析）
◆一次函数的基本性质
1-1．已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3；
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；
（3）若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m的值；
（4）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数图象经过原点，∴m﹣3＝0，且2m+1≠0，解得：m＝3；
（2）∵函数图象在y轴的截距为﹣2，∴m﹣3＝﹣2，且2m+1≠0，解得：m＝1；
（3）∵函数的图象平行直线y＝3x﹣3，∴2m+1＝3，解得：m＝1；
（4）∵y随着x的增大而减小，∴2m+1＜0，解得：m＜﹣．
1-2．已知一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）．
（1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？
（2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？
（3）当m为何值时，这个函数的图象与直线y＝x﹣4的交点在y轴上？
【解答】解：（1）y＝mx+2m﹣10（m≠0）．∵函数为正比例函数，∴2m﹣10＝0，解得：m＝5，（2）一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）．∵函数y的值随着x值的增大而减小，∴m＜0且m≠0，（3）∵函数的图象与直线y＝x﹣4的交点在y轴上，∴x＝0，y＝﹣4，
把x＝0，y＝﹣4代入y＝mx+2m﹣10得，m＝3
1-3．已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3．
（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）若点P（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值；
（3）若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围．
【解答】解：（1）设y﹣2＝k（3x﹣4），将x＝2、y＝3代入，得：2k＝1，解得k＝，
∴y﹣2＝（3x﹣4），即y＝x；
（2）将点P（a，﹣3）代入y＝x，得：a＝﹣3，解得：a＝﹣2；
（3）当y＝﹣1时，x＝﹣1，解得：x＝﹣，当y＝1时，x＝1，解得：x＝，故﹣≤x≤．1-4．已知y与x成正比例函数，当x＝1时，y＝2．求：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求当x＝﹣1时的函数值；
（3）如果当y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围．
【解答】解：（1）设y＝kx，将x＝1、y＝2代入，得：k＝2，故y＝2x；
（2）当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）＝﹣2；
（3）∵0≤y≤5，∴0≤2x≤5，解得：0≤x≤．
1-5．已知一次函数y＝﹣2x﹣2．
（1）根据关系式画出函数的图象．
（2）求出图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标，
（3）求A、B两点间的距离．
（4）在坐标轴上有点C，使得AB＝AC，写出C的坐标．
【解答】解：（1）函数图象如右图所示；
（2）∵y＝﹣2x﹣2，∴当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，x＝﹣1，
∴图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2）；
（3）∵点A（﹣1，0），点B（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，∴AB＝＝，即A、B两点间的距离是；
（4）由（3）知，AB＝，∵点C在坐标轴上，AB＝AC，
∴当C在x轴上时，点C的坐标为（﹣1﹣，0）或（﹣1+，0），
当点C在y轴上时，点C的坐标为（0，2），
由上可得，点C的坐标为：（﹣1﹣，0）、（﹣1+，0）或（0，2）．
◆一次函数与待定系数法
2-1．一次函数y＝kx+b，当﹣1≤x≤1时，相应的函数值是0≤y≤3．试求k、b的值．
【解答】解：分两种情况：
①当k＞0时，把x＝﹣1，y＝0；x＝1，y＝3代入一次函数的解析式y＝kx+b（k≠0），
得，解得，则这个函数的解析式是y＝x+；
②当k＜0时，把x＝﹣1，y＝3；x＝1，y＝0代入一次函数的解析式y＝kx+b（k≠0），
得，解得，则这个函数的解析式是y＝﹣x+；综上可得，k＝，b＝或k＝﹣，b＝．2-2．一次函数的图象过点A（﹣1，2）和点B（1，﹣4）．
（1）求该一次函数表达式．
（2）若点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在该一次函数的图象上，求n1﹣n2的值．
【解答】解：（1）设一次函数表达式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象过点A（﹣1，2）和点B（1，﹣4）．∴，解得：，
∴一次函数表达式为：y＝﹣3x﹣1；
（2）∵点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在该一次函数的图象上，∴，解得：n1﹣n2＝6．2-3．已知y与2x﹣1成正比例，当x＝3时，y＝10．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＝﹣2时，求x的值．
【解答】解：（1）设y＝k（2x﹣1）．∵当x＝3时，y＝10．∴10＝k（6﹣1）．∴k＝2．
∴y＝2（2x﹣1）＝4x﹣2．∴y与x之间的函数关系式为：y＝4x﹣2．
（2）由题意得：4x﹣2＝﹣2．∴x＝0．
◆一次函数与面积
3-1．如图，直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线AB上一点，另一直线l2：y ＝kx+4经过点P．
（1）求点A、B坐标；
（2）求点P坐标和k的值；
（3）若点C是直线L2与x轴的交点，点Q是x轴上一点，当△CPQ的面积等于3时，求出点Q的坐标．【解答】解：（1）y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2，故点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，2）；
（2）点P（m，3）为直线AB上一点，则﹣m+2＝3，解得：m＝﹣1，故点P（﹣1，3）；
将点P的坐标代入y＝kx+4得：3＝﹣k+4，解得k＝1；故点P的坐标为（﹣1，3），k＝1；
（3）∵直线y＝x+4与x轴的交点为C，∴C（﹣4，0），
∵P（﹣1，3），△CPQ的面积等于3，∴CQ•y P＝3，即CQ×3＝3，∴CQ＝2，
∴Q点的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．
3-2．在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l上的点P（m，n）在第一象限内，设△AOP的面积是S．
（1）写出S与m之间的函数表达式，并写出m的取值范围．
（2）当S＝3时，求点P的坐标．
（3）若直线OP平分△AOB的面积，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵直线l：y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（4，0），B（0，2），
∵P（m，n）∴S＝×4×（4﹣m）＝4﹣m，即S＝4﹣m．
∵点P（m，n）在第一象限内，∴m+2n＝4，∴，解得0＜m＜4；
（2）当S＝3时，4﹣m＝3，解得m＝1，此时y＝（4﹣1）＝，故点P的坐标为（1，）；
（3）若直线OP平分△AOB的面积，则点P为AB的中点．∵A（4，0），B（0，2），∴点P的坐标为（2，1）．
3-3．如图，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上一点，且S
：S△BOP＝1：2，求k的值．
△AOP
【解答】解：当x＝0时，y＝2x+2＝2，则B（0，2），当y＝0时，2x+2＝0，解得x＝﹣1，则A（﹣1，0），设P（t，kt），∵S△AOP：S△BOP＝1：2，即S△BOP＝2S△AOP，∴•|t|•2＝2••1•|kt|，∴|k|＝1，而k＞0，∴k＝1．
3-4．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△DOB的面积
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣2），B（1，4）代入y＝kx+b得，解得．
所以一次函数解析式为y＝2x+2；
（2）令y＝0，则0＝2x+2，解得x＝﹣1，所以C点的坐标为（﹣1，0），
把x＝0代入y＝2x+2得y＝2，所以D点坐标为（0，2），
（3）S△BOD＝2×1＝1．
3-5．已知y＝y1+y2，且y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝1；当x＝﹣3时，y＝13，求：（1）y与x之间的函数解析式；
（2）当x＝3时，求y的值．
【解答】解：（1）根据题意设y1＝，y2＝b（x﹣2），即y＝y1+y2＝+b（x﹣2），
将x＝1时，y＝1；x＝﹣3时，y＝13分别代入得：，解得：k＝﹣，b＝﹣，
则y＝﹣﹣（x﹣2）；
（2）当x＝3时，y＝﹣﹣＝﹣3．
3-6．已知一次函数y＝kx+3与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B．
（1）求一次函数的表达式及点B的坐标；
（2）画出函数y＝kx+3的图象；
（3）过点B作直线BP与x轴交于点P，且OP＝2OA，求△ABP的面积．
【解答】解：（1）将点A（2，0）代入直线y＝kx+3，得0＝2k+3，解得k＝﹣，∴y＝﹣x+3．
当x＝0时，y＝3．∴B（0，3）；
（2）一次函数的图象如图所示：
（3）∵A（2，0），∴OA＝2，∵点P在x轴上，且OP＝2OA，∴OP＝2OA＝4，∴P（4，0）或（﹣4，0），∴AP＝2或6，∵S△ABP＝，∴S△ABP＝＝3或S△ABP＝＝9，
∴△ABP的面积为3或9．
3-7．如图，直线l交x轴于A（﹣4，0），交y轴于B（0，6），C（m，3）是直线l上的一点．（1）求直线AB，OC的表达式；
（2）在直线AB上找一点P，使S△OCP＝S△OAB，求出点P的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵点A（﹣4，0），B（0，6）在直线AB上，∴，∴，∴直线AB的表达式为y＝x+6，∵C（m，3）是直线l上的一点，∴m+6＝3，解得：m＝﹣2，∴C（﹣2，3），
设直线OC的表达式为：y＝nx（n≠0），把C（﹣2，3）代入得：﹣2n＝3，∴n＝﹣，
∴直线OC的表达式为：y＝﹣x；
（2）∵S△OCP＝S△OAB，∴S△OCP＝×＝8，设P（x，x+6），分两种情况：
①当点P在第一象限时，过P作PD⊥x轴于D，过C作CE⊥x轴于E，
∵C（﹣2，3），∴OE＝2，CE＝3，∴S△OCP＝（3+x+6）•（x+2）﹣＝8，解得：x＝，∴P（，7）；
②当点P在第三象限时，同理得：P（﹣，﹣1）；综上，点P的坐标为P（，7）或（﹣，﹣1）练习
1．在如图所示的平面直角坐标系中．画出函数y＝2x+4的图象．
（1）若该函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积；
（2）利用该函数图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：∵函数y＝2x+4，∴当x＝0，y＝4，当y＝0时，x＝﹣2，
即该函数图象过点（0，4），（﹣2，0），所画的函数图象如右图所示；
（1）由图象可得，点A（﹣2，0），点B（0，4），则OA＝2，OB＝4，故△AOB的面积是＝4；
（2）由图象可得，当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣2．
2．在直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，2），点P（x，y）在第一象限内，且x+2y＝4，设△AOP的面积是S．
（1）写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）当S＝3时，求点P的坐标；
（3）若直线OP平分△AOB的面积时，求点P的坐标．
【解答】解：∵x+2y＝4，∴y＝（4﹣x），∴S＝×4×（4﹣x）＝4﹣x，即S＝4﹣x．
∵点P（x，y）在第一象限内，且x+2y＝4，∴，解得0＜x＜4；
（2）当S＝3时，4﹣x＝3，解得x＝1，此时y＝（4﹣1）＝，故点P的坐标为（1，）；
（3）若直线OP平分△AOB的面积，则点P为AB的中点．
∵A（4，0），B（0，2），∴点P的坐标为（2，1）．
3．已知一次函数：y1＝﹣|k|x+b（k，b为常数且k≠0）．
（1）若函数图象经过（2，4），（4，0）两点，求k与b的值；
（2）若﹣1≤x≤3时，3≤y≤5，求此一次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵函数图象经过（2，4），（4，0）两点，∴，
解得|k|＝2，b＝8，∴k＝2，b＝8或k＝﹣2，b＝8；
（2）由题意可知点（﹣1，3）、（3，5）或（﹣1，5）、（3，3）都在一次函数：y1＝﹣|k|x+b（k，b为常数且k≠0）图象上，则有：或，解得或（舍去），
∴此一次函数的解析式为y＝﹣x+．
4．已知函数y＝（2n﹣8）x﹣n﹣3．
（1）若函数图象经过原点，求n的值；
（2）若这个函数是一次函数，且图象经过二、三、四象限，求n的正整数值．
【解答】解：（1）∵函数y＝（2n﹣8）x﹣n﹣3的图象经过原点，∴﹣n﹣3＝0，解得：n＝﹣3．
（2）∵这个函数是一次函数，且图象经过二、三、四象限，∴，解得：﹣3＜n＜4．
∴n的正整数值为1、2、3．
5．已知一次函数y＝（2m+3）x+m﹣1，
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，求m的值；
（3）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值；
（4）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；
（5）该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数图象经过原点，∴m﹣1＝0，解得m＝1；
（2）∵函数图象在y轴上的截距为﹣3，∴当x＝0时，y＝﹣3，即m﹣1＝﹣3，解得m＝﹣2；
（3）∵函数图象平行于直线y＝x+1，∴2m+3＝1，解得m＝﹣1；
（4）∵该函数的值y随自变量x的增大而减小，∴2m+3＜0，解得m＜﹣；
（5）∵该函数图象不经过第二象限，∴，解得﹣＜m≤1．
6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于E、F两点，点E的坐标为（﹣6，0），OF＝3．（1）求k与b的值；
（2）若P是直线EF上的一个动点且满足△POE的面积为6，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵OF＝3，∴F（0，3），∴b＝3，把E的坐标为（﹣6，0）代入直线y＝kx+3得，﹣6k+3＝0，解得：k＝，
（2）如图，∴设P（x，y），∵S△POE＝OE•|y|＝×6×|y|＝6，∴|y|＝2，即y＝2或y＝﹣2，
∵P是直线EF上的一个动点，∴当y＝2时，即2＝x+3，解得：x＝﹣2，∴P（﹣2，2），
当y＝﹣2时，即﹣2＝x+3，解得：x＝﹣10，∴P（﹣10，﹣2），
综上，点P的坐标为（﹣2，2）或（﹣10，﹣2）．
7．如图，Rt△ABO的顶点A在直线y＝﹣x﹣k上，AB⊥x轴于B，且S△ABO＝，AB：BO＝3：1，点C在该直线上，且点C的纵坐标是﹣1．
（1）点A的坐标；
（2）求直线AC的解析式；
（3）求△AOC的面积．
【解答】解；（1）∵顶点A在直线y＝﹣x﹣k上，AB⊥x轴于B，且S△ABO＝，AB：BO＝3：1，
∴S△ABO＝OB•AB＝＝，∴OB＝1，AB＝3，∴A（﹣1，3）；
（2）∵顶点A在直线y＝﹣x﹣k上，∴3＝1﹣k，∴k＝﹣2，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2；
（3）直线y＝﹣x+2中，令y＝0，则x＝2，∴直线AC与y轴的交点D的坐标为（2，0），
∵点C的纵坐标是﹣1．∴S△AOC＝S△AOD+S△COD＝+＝4．。