湖北省武汉市二中广雅中学2022-2023学年九上数学课堂作业(一)9

湖北省武汉市二中广雅中学2022-2023学年九上数学课堂作业（一）9.17一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列方程一定是一元二次方程的是（）
A．x2﹣2y+1＝0B．x2＝0C．（x﹣1）2＝x2D．x=1 x
2．一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为2，则m的值是（）
A．1B．2C．3D．4
3．一组数据5、7、6、6、11中，平均数是（）
A．5B．7C．8D．9
4．已知：y=(m+1)x m2+m是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的值为（）
A．1B．﹣2C．1或﹣2D．﹣1或2
5．如图选项中，能描述函数y＝ax2+b与y＝ax+b，（ab＜0）的图象可能是（）A．B．
C．D．
6．下列一元二次方程没有实数根的是（）
A．x2+2x﹣1＝0B．x2﹣1＝0C．x2+x＝﹣2D．2x＝3x2
7．已知一个n边形共有27条对角线，则n的值为（）
A．8B．9C．10D．11
8．关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．不能确定
9．如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x 从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段
长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么平行四边形ABCD的面积为（）
A．3B．3√2C．6D．6√2
10．若A（m+1，y1）、B（m，y2），C（m﹣2，y3）为抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）上三点，且总有y2＞y3＞y1，则m的取值范围是（）
A．m＞2B．2＜m＜5
2C．
5
2
＜m＜3D．m＞3
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．一元二次方程（x﹣1）2＝x﹣1的根为．
12．（3分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见如表：x…﹣30123…
y…010−5
3
﹣4…
则方程ax2+bx+c＝1的根为．
13．已知实数a、b是一个一元二次方程的两根，且a+b＝﹣1，ab＝﹣2，写出一个满足以上所有条件的一元二次方程．
14．如图，用120米长的围网围建一个面积为560平方米的矩形养殖场．为了节省材料，养殖场的一边靠墙（墙足够长），并在如图的两个位置各开出一个1米宽的门（门不用围网做）．设矩形AB边长为x米，请依题意列方程：．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD的中点，将三角形ABE沿BE折叠使点A与恰好落在点F处，又将点C折叠使其与BF上的点M重合，且折痕GH与BF平行交CD于点H，交BC于点G，则线段DH的长度为．
三、解答题（共72分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x＝3；
（2）（x+3）（2﹣x）＝5．
18．（8分）抛物线y＝ax2+bx经过A（6，0），顶点M在直线y＝2x﹣7上，求抛物线的解析式．
19．（8分）关于x的方程kx2−(k−2)x+1
4
k=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于12？若存在，求k；若不存在，请说明理由．
20．（8分）如图是由小正方形组成的9×13网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中，先在边BC上画点E，使BE=1
2√17，再过点E画直线EF，使EF∥AC；
（2）在图2中，先在边AC上画点D，使DB⊥AC，在直线BD上画点M，使点B与点M关于AC对称．
21．（8分）如图，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B与点C关于该抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（3，0）及C点；
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）当自变量x满足时，一次函数的函数值不大于二次函数的函数值；
（3）在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使S△ACP＝S△ACB？（点P不与点B重合）若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）某店销售A产品，每千克售价为100元．
（1）若连续两次降低售价后，每千克81元，求这两次降价的平均百分率？
（2）若按现价销售，每千克可以盈利20元，每天可以售出120千克．调查发现，在进价不变的情况下，每千克A产品的售价每涨价2元，日销售量就减少10千克．该店希望每天A产品盈利2340元，设每千克A产品涨价x元（x＞0），求x的值．
23．（10分）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为平面内的一点． （1）如图1，当点D 在边BC 上时，BD =√2，且AD ＝2，则AB ＝ ；
（2）如图2，当点D 在△ABC 的外部，且满足∠BDC ﹣∠ADB ＝45°，请你证明线段CD 与AD 的数量关系；
（3）如图3，若AB ＝4√2，当D 、E 分别为AB 、AC 的中点，把△DAE 绕A 点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α≤180°），直线BD 与CE 的交点为P ，连接P A ，直接写出△P AB 面积的最大值 ．
24．（12分）已知，直线l ：y ＝kx ﹣k +√3经过第一象限内的定点P ． （1）点P 的坐标为 ．
（2）如图1，已知点A （x 1，p ），B （x 2，q ），且x 1，x 2是关于x 的方程1
2x 2﹣（m +2）x +
（1
2
m 2+2m +2）＝0的两个实数根，直线AB 交直线l 于点B ；
①求证：AB ∥y 轴；
②若点A 的横坐标为2，连接OB ，若BP 平分∠OBA ，求k 的值；
③如图2，点Q 是x 轴上的一动点，连接PQ ，以PQ 为腰作等腰△PQR （P ，Q ，R 按逆时针顺序排列），∠QPR ＝120°，连接OR ，请直接写出√3OR +QR 的最小值 ．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A ．x 2﹣2y +1＝0
B ．x 2＝0
C ．（x ﹣1）2＝x 2
D ．x =1
x
【解答】解：A ．x 2﹣2y +1＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程，此选项符合题意； B ．x 2＝0是一元二次方程，此选项符合题意；
C ．（x ﹣1）2＝x 2，整理可得2x +1＝0，是一元一次方程，此选项不符合题意
D ．不是整式方程，此选项不符合题意； 故选：B ．
2．一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0的一个根为2，则m 的值是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解答】解：把x ＝2代入方程得4﹣2m ﹣2＝0，、 解得m ＝1． 故选：A ．
3．一组数据5、7、6、6、11中，平均数是（ ） A ．5
B ．7
C ．8
D ．9
【解答】解：由题意得，平均数为：5+7+6+6+11
5
=7，
故选：B ．
4．已知：y =(m +1)x m
2+m
是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则m 的值为
（ ） A ．1
B ．﹣2
C ．1或﹣2
D ．﹣1或2
【解答】解：∵y =(m +1)x m
2+m
是二次函数，
∴{
m 2
+m =2m +1≠0
， 解得m ＝1或m ＝﹣2，
∵当x ＞0时，y 随x 的增大而减小， ∴抛物线开口向下，即m +1＜0， ∴m ＜﹣1， ∴m ＝﹣2， 故选：B ．
5．如图选项中，能描述函数y＝ax2+b与y＝ax+b，（ab＜0）的图象可能是（）A．B．
C．D．
【解答】解：选项A中y＝ax+b的a＜0，b＞0，y＝ax2+b的a＞0，b＞0，故选项A不符合题意；
选项B中y＝ax+b的a＞0，b＜0，y＝ax2+b的a＞0，b＜0，故选项B符合题意；
选项C中y＝ax+b的a＜0，b＞0，y＝ax2+b的a＜0，b＜0，故选项C不符合题意；
选项D中y＝ax+b的a＞0，b＜0，y＝ax2+b的a＜0，b＜0，故选项D不符合题意；
故选：B．
6．下列一元二次方程没有实数根的是（）
A．x2+2x﹣1＝0B．x2﹣1＝0C．x2+x＝﹣2D．2x＝3x2
【解答】解：A、Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，故A不符合题意；
B、Δ＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，
∴方程x2﹣1＝0有两个不相等的实数根，故B不符合题意；
C、∵x2+x+2＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程x2+x＝﹣2没有实数根，故C符合题意；
D、∵3x2﹣2x＝0，
∴Δ＝（﹣2）2+4×3×0＝4＞0，
∴方程2x＝3x2有两个不相等的实数根，故D不符合题意；
故选：C．
7.已知一个n边形共有27条对角线，则n的值为（）
A．8B．9C．10D．11
【解答】解：设这个多边形是n边形，则
n(n−3)
2
=27，
∴n2﹣3n﹣54＝0，
（n﹣9）（n+6）＝0，
解得n＝9，n＝﹣6（舍去）．
故选：B．
8．关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．不能确定【解答】解：∵方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两个互为相反数，
Δ＝（k2﹣4）2﹣4×1×（k﹣1）＝k4﹣8k2﹣4k+20≥0，
设方程的两个是a，b，
∵关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，
∴a+b=−k2−4
1
=0，
解得：k＝±2，
当k＝2时，方程为x2+1＝0，
Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴此方程无解（方法二、即x2＝﹣1，
∵不论x为何值，x2不能为﹣1，
∴此方程无解）即k＝2舍去；
当k＝﹣2时，方程为x2﹣3＝0，
解得：x=±√3，此时符合题意，
即k＝﹣2符合题意，
故选：C．
9．如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x 从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么平行四边形ABCD的面积为（）
A ．3
B ．3√2
C ．6
D ．6√2
【解答】解：如图，过B 作BM ⊥AD 于点M ，分别过B ，D 作直线y ＝x 的平行线，交AD 于E ，如图1所示，
由图象和题意可得，
AE ＝6﹣4＝2，DE ＝7﹣6＝1，BE ＝2， ∴AD ＝2+1＝3，
∵直线BE 平行直线y ＝x ， ∴BM ＝EM =√2，
∴平行四边形ABCD 的面积是：AD •BM ＝3×√2=3√2． 故选：B ．
10．若A （m +1，y 1）、B （m ，y 2），C （m ﹣2，y 3）为抛物线y ＝ax 2﹣4ax +2（a ＜0）上三点，且总有y 2＞y 3＞y 1，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞2
B ．2＜m ＜5
2
C ．5
2
＜m ＜3
D ．m ＞3
【解答】解：∵y ＝ax 2﹣4ax +2（a ＜0）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =−−4a
2a
=2， ∵y 2＞y 3， ∴
m+m−2
2
＜2，
解得m ＜3， ∵y 3＞y 1，
∴
m−2+m+1
2＞2，
解得m ＞5
2， 故选：C ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．一元二次方程（x ﹣1）2＝x ﹣1的根为 x 1＝1，x 2＝2 ． 【解答】解：∵（x ﹣1）2﹣（x ﹣1）＝0， ∴（x ﹣1）（x ﹣1﹣1）＝0， ∴x ﹣1＝0或x ﹣1﹣1＝0， ∴x 1＝1，x 2＝2． 故答案为：x 1＝1，x 2＝2．
12．已知：二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数y 的部分对应值见如表：
x … ﹣3 0 1 2 3 … y
…
1
−5
3
﹣4
…
则方程ax 2+bx +c ＝1的根为 x 1＝0，x 2＝﹣2 ． 【解答】解：由表格可得抛物线经过（﹣3，0），（1，0）， ∴抛物线对称轴为直线x ＝﹣1， ∵抛物线经过（0，1）， ∴抛物线经过（﹣2，1），
∴ax 2+bx +c ＝1的根为x 1＝0，x 2＝﹣2． 故答案为：x 1＝0，x 2＝﹣2．
13．已知实数a 、b 是一个一元二次方程的两根，且a +b ＝﹣1，ab ＝﹣2，写出一个满足以上所有条件的一元二次方程 x 2+x ﹣2＝0 ． 【解答】解：∵a +b ＝﹣1，ab ＝﹣2， ∴一个一元二次方程为x 2+x ﹣2＝0， 故答案为：x 2+x ﹣2＝0．
14．如图，用120米长的围网围建一个面积为560平方米的矩形养殖场．为了节省材料，养殖场的一边靠墙（墙足够长），并在如图的两个位置各开出一个1米宽的门（门不用围网做）．设矩形AB 边长为x 米，请依题意列方程： x （120+2﹣2x ）＝560 ．
【解答】解：∵围网的总长为120米，且矩形AB边长为x米，
∴矩形BC边长为（120+2﹣2x）米．
依题意得：x（120+2﹣2x）＝560．
故答案为：x（120+2﹣2x）＝560．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD的中点，将三角形ABE沿BE折叠使点A与恰好落在点F处，又将点C折叠使其与BF上的点M重合，且折痕GH与BF平行交CD于点H，交BC于点G，则线段DH的长度为 2.5．
【解答】解：延长BF交CD于点N，连接EN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CD＝4，
∵点E为边AD的中点，
∴AE＝DE=1
2AD＝2，
由折叠得：
AB＝BF＝4，AE＝EF＝2，∠BAD＝∠BFE＝90°，∴DE＝EF＝2，∠EFN＝180°﹣∠BFE＝90°，
∵EN＝EN，
∴Rt△EFN≌Rt△EDN（HL），
∴DN＝FN，
设DN＝FN＝x，
∴BN＝BF+FN＝4+x，CN＝DC﹣DN＝4﹣x，
在Rt△BCN中，BC2+CN2＝BN2，
∴16+（4﹣x）2＝（4+x）2，
∴x＝1，
∴DN＝1，
由折叠得：
OC＝OM，
∵GH∥BM，
∴CH＝NH，
∵CN＝CD﹣DN＝4﹣1＝3，
∴NH＝1.5，
∴DH＝DN+NH＝1+1.5＝2.5．
故答案为：2.5．
三、解答题（共72分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程：（1）x2+2x＝3；
（2）（x+3）（2﹣x）＝5．
【解答】解：（1）x2+2x＝3，
x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
解得，x1＝﹣3，x2＝1；
（2）（x+3）（2﹣x）＝5，
x2+x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴x =
−1±√5
2
， 解得，x 1=
−1+√52，x 2=−1−√5
2
． 18．（8分）抛物线y ＝ax 2+bx 经过A （6，0），顶点M 在直线y ＝2x ﹣7上，求抛物线的解析式．
【解答】解：∵y ＝ax 2+bx ， ∴抛物线经过（0，0）， ∵抛物线经过（6，0）， ∴抛物线对称轴为直线x =−b
2a
=3， ∴b ＝﹣6a ，y ＝ax 2﹣6ax ，
将x ＝3代入y ＝2x ﹣7中得y ＝6﹣7＝﹣1， ∴抛物线顶点坐标为（3，﹣1），
将（3，﹣1）代入y ＝ax 2﹣6ax 得﹣1＝9a ﹣18a ， 解得a =19
， ∴y =1
9
x 2−23x ．
19．（8分）关于x 的方程kx 2−(k −2)x +1
4k =0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于12？若存在，求k ；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵关于x 的方程kx 2−(k −2)x +1
4k =0有两个不相等的实数根， ∴k ≠0，Δ＝[﹣（k ﹣2）]2﹣4k •1
4k =k 2﹣4k +4﹣k 2＞0，
∴k ＜1且k ≠0，
∴实数k 的取值范围为k ＜1且k ≠0；
（2）关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0与cx 2+bx +a ＝0（a ≠0，Δ＞0），它们对应的根是倒数关系，即若ax 2+bx +c ＝0的两根为x 1.x 2，则cx 2+bx +a ＝0的两根为1x 1
，
1x 2
，
∵方程的两个实数根的倒数和等于12， ∴关于x 的方程1
4kx 2﹣（k ﹣2）x +k ＝0，
根据题意有，−−(k−2)
14
k =12， ∴
k−2k
=3，
∴k ＝﹣1，显然k ＜1且k ≠0， ∴存在实数k ，k ＝﹣1．
20．（8分）如图是由小正方形组成的9×13网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中，先在边BC 上画点E ，使BE =1
2√17，再过点E 画直线EF ，使EF ∥AC ；
（2）在图2中，先在边AC 上画点D ，使DB ⊥AC ，在直线BD 上画点M ，使点B 与点M 关于AC 对称．
【解答】解：（1）如图1中，直线EF 即为所求； （2）如图2中，点D ，点M 即为所求．
21．（8分）如图，抛物线y ＝﹣（x ﹣2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 与点C 关于该抛物线的对称轴对称，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过该二次函数图象上的点A （3，0）
及C 点；
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）当自变量x 满足 0≤x ≤3 时，一次函数的函数值不大于二次函数的函数值； （3）在直线AC 下方的抛物线上是否存在点P ，使S △ACP ＝S △ACB ？（点P 不与点B 重合）若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将（3，0）代入y ＝﹣（x ﹣2）2+m 得0＝﹣1+m ， 解得m ＝1，
∴y ＝﹣（x ﹣2）2+1，
将x ＝0代入y ＝﹣（x ﹣2）2+1得y ＝﹣3， ∴点C 坐标为（0，﹣3），
将（3，0），（0，﹣3）代入y ＝kx +b 得{0=3k +b −3=b ，
解得{k =1b =−3
，
∴一次函数解析式为y ＝x ﹣3．
（2）由图象可得图象在A ，C 之间的部分抛物线在直线上方， ∴0≤x ≤3时，一次函数的函数值不大于二次函数的函数值 故答案为：0≤x ≤3． （3）存在，理由如下，
∵点B 与点C 关于该抛物线的对称轴对称， ∴点B 坐标为（4，﹣3），
过点B 作BP ∥AC 交抛物线与点P ，连接AP ，CP ，
设直线BP解析式为y＝x+b，
将（4，﹣3）代入y＝x+b得﹣3＝4+b，
解得b＝﹣7，
∴直线BP解析式为y＝x﹣7，
令﹣（x﹣2）2+1＝x﹣7，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
将x＝﹣1代入y＝x﹣7得y＝﹣8，
∴点P坐标为（﹣1，﹣8）．
22．（10分）某店销售A产品，每千克售价为100元．
（1）若连续两次降低售价后，每千克81元，求这两次降价的平均百分率？
（2）若按现价销售，每千克可以盈利20元，每天可以售出120千克．调查发现，在进价不变的情况下，每千克A产品的售价每涨价2元，日销售量就减少10千克．该店希望每天A产品盈利2340元，设每千克A产品涨价x元（x＞0），求x的值．
【解答】解：（1）设这两次降价的平均百分率为a，
依题意得：100（1﹣a）2＝81，
解得：a1＝0.1＝10%，a2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：这两次降价的平均百分率为10%．
（2）∵每千克A产品涨价x元（x＞0），
∴每千克可以盈利（20+x）元，每天可以售出120−x
2
×10＝（120﹣5x）千克．
依题意得：（20+x）（120﹣5x）＝2340，
依题意得：x2﹣4x﹣12＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）．
答：x的值为6．
23．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点．（1）如图1，当点D在边BC上时，BD=√2，且AD＝2，则AB＝√3+1；
（2）如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC﹣∠ADB＝45°，请你证明线段CD与AD的数量关系；
（3）如图3，若AB＝4√2，当D、E分别为AB、AC的中点，把△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α≤180°），直线BD与CE的交点为P，连接P A，直接写出△P AB 面积的最大值8√2−8．
【解答】解：（1）如图1，将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，连接DE交AB于F，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，
∴△ABD≌△ABE，AB垂直平分DE，
∴AE＝AD＝2，BE＝BD，∠ABE＝∠ABD＝45°，∠BAD＝∠BAE，
∴∠DBE＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=√2BD＝2，BF=1
2DE＝1，
∴AE＝DE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，DF＝EF=1
2DE＝1，
∴AF=√AD2−DF2=√22−12=√3，
∴AB＝AF+BF=√3+1，
故答案为：√3+1；
（2）CD=√2AD，理由如下：
如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接DE、CE，CE交BD于O，AC与BD交于点H，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠AHB＝90°，∠CHO＝∠AHB，
∴∠ACE+∠CHO＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵AE＝AD，∠DAE＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝45°，ED=√2AD，
∵∠BDC﹣∠ADB＝45°，
∴∠BDC＝∠ADC+45°＝∠EDB，
∵DO＝DO，∠DOC＝∠DOE＝90°，
∴△DOC≌△DOE（ASA），
∴CD＝DE，
∴CD=√2AD；
（3）解：由（2）可知：∠BPC＝90°，
∴点P在以BC为直径的圆上运动，且在BC的上方，
如图4，设BC的中点O，过点O作直线OP'交⊙O于点P'，交AB于N，连接BP'，AP'，
∵△P AB的面积=1
2AB×点P到AB的距离，
∴点P与点P'重合时，点P到AB的距离最大，最大距离为P'N的长，∵AB＝AC＝4√2，∠BAC＝90°，
∴BC＝8，
∵点O是BC的中点，
∴BO＝CO＝OP'＝4，
∵ON⊥AB，
∴BN＝AN，
又∵BO＝CO，
∴ON=1
2AC＝2√2，
∴P'N＝4﹣2√2，
∴△P AB的面积的最大值=1
2
×4√2×（4﹣2√2）＝8√2−8，
故答案为：8√2−8．
24．（12分）已知，直线l ：y ＝kx ﹣k +√3经过第一象限内的定点P ．
（1）点P 的坐标为 （1，√3） ．
（2）如图1，已知点A （x 1，p ），B （x 2，q ），且x 1，x 2是关于x 的方程12x 2﹣（m +2）x +（12m 2+2m +2）＝0的两个实数根，直线AB 交直线l 于点B ； ①求证：AB ∥y 轴；
②若点A 的横坐标为2，连接OB ，若BP 平分∠OBA ，求k 的值；
③如图2，点Q 是x 轴上的一动点，连接PQ ，以PQ 为腰作等腰△PQR （P ，Q ，R 按逆时针顺序排列），∠QPR ＝120°，连接OR ，请直接写出√3OR +QR 的最小值 2√21 ．
【解答】（1）解：∵y ＝kx ﹣k +√3=k （x ﹣1）+√3，
∴函数经过定点（1，√3），
故答案为：（1，√3）；
（2）①证明：∵12x 2﹣（m +2）x +（12m 2+2m +2）＝0， ∴Δ＝（m +2）2﹣2（12m 2+2m +2）＝m 2+4m +4﹣m 2﹣4m ﹣4＝0， ∴方程有两个相等的实数根，
∴A 、B 两点的横坐标相等，
∴AB∥y轴；
②解：∵AB∥y轴，点A的横坐标为2，∴B点横坐标为2，
∴B（2，k+√3），
∵BP平分∠OBA，
∴∠OBP＝∠ABP，
设直线l与y轴交于点C，
∴∠ABP＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠BOP，
∴BO＝CO，
∵C（0，√3−k），
∴CO=√3−k，
∴BO=√4+(k+√3)2=（√3−k）2，
解得k=−√3 3；
③解：连接PO，
∵∠QPR＝120°，PQ＝PR，
∴将△OPQ绕点P逆时针旋转120°，得到△PRM，在△PQR中，QR=√3PR，
∴√3OR+QR=√3OR+√3PR=√3（OR+PR），
作P点作RM的对称点P'，连接P'R，P'Q，
∴P'R＝PR，
∴OR+PR＝OR+P'R≥P'O，
∴√3OR+QR≥√3P'O，
∵P（1，√3），
过P点作PH⊥x轴交于点H，
∴OH＝1，PH=√3，
∴∠POH＝60°，
∵∠OPM＝120°，∴PM∥x轴，
∵OP＝2＝OM，∴M（3，√3），
∵∠RMP ＝∠POQ ，∴∠RMP ＝60°，∴直线RM 与x 轴的夹角为60°， 设直线RM 的解析式为y =−√3x +t ，
将M 点代入，可得t ＝4√3，
∴直线RM 的解析式为y =−√3x +4√3，
设P '（m ，n ），
∴PP '的中点为（m+12，n+√32）， ∴−√3×m+12+4√3=
n+√32
①， ∵PP '⊥RM ， ∴∠P 'PM ＝30°，∴直线PP '与x 轴的夹角为30°，
设直线PP '的解析式为y =
√33x +b ， 将P 点代入可得，b =2√33，∴y =√33x +2√33，
∴√33×m+12+2√33=n+√32②， 联立①②可得，m ＝4，n ＝2√3，
∴P '（4，2√3），∴OP '＝2√7，
∴√3OR +QR 的最小值为2√21，故答案为：2√21．。