冯诺依曼-摩根斯坦效用函数与风险升水PPT课件( 39页)

彩票的选择具有一般商品消费选择的特征，具 有收益的不确定性。可以用式子(p；A，C )表示。 如它会产生两种结果。
L1 ( p1; A, C ) L2 ( p2 ; A, C )
二、单赌和复赌
单赌：设有n种可能的事件结果，A(a1,a2，,an) 则单赌集合可写成：
n
G s{p 1a 1,p2a2 ， ,pnan|pi0, pi1 } i 1
PE(g)CE
或者说，风险升水指一个完全确定的收入E(g) 转化为两个不确定的收入w1和w2时，消费者由 于面临风险付出的代价。
u(w )
1u(w 1)2u(w 2)T
u (w 2 )
u ( E ( g ))
C
S

u(w )
T
u(w1) R p
O w1
CE
E (g)
w2 w
例：假定 u(w)ln(w)。令单赌中赢h和亏h各有 50%的概率，设消费者原来的资产水平为w。求 CE与风险水平P。
【不相等公理】
A B ,L 1 ( P 1 ,A ,B ) P 1 A ( 1 P 1 ) B L 2 (P 2 ,A ,B ) P 2 A ( 1 P 2 )B
当且仅当： P2 P1 消费者严格偏好于L2。L 2 L1
§2.冯诺依曼—摩根斯坦效用函数
一、VNM效用函数定义
u(ai ) Pi
即用消费者心里那个ai使与某个单赌等价的最 好事件发生的概率来定义u(ai)。
例： 设A=(a1,a2,a3)=(10元,4元,-2元)C=死亡。 当a1发生的概率P为多少时，消费者认为
a1(i=1,2,3)与(P,a1, a3)无差异?
如果该消费者回答：
10元 (1(10元),0(2元)) 4元 (0.6(10元),0.4(2元)) -2元 (0(10元),1(2元))
在g中风险规避 在g中风险中立 在g中风险偏好
n
n
n
u (g )P iu (a i),E (g )P ia i,u (E (g )) u [ P ia i]
i 1
i 1
i 1
n
显 然 ,( Piai)是 一 个 确 定 的 结 果 . i1
风险规避程度
绝对风险规避系数：由决策者的效用函数的曲 率表示的。由于它是对一个财富水平下的风险 的度量，所以又被称为是局部绝对风险规避度 量。这在于说明在财富收益水平绝对量上的增 加或损失。
通常风险以方差或标准差（方差的平方根）来度量：
n
2 pi[xi E(xi)]2 i1
二、对风险的主观态度
效用函数的凹性与经济含义
效用函数的凹性：
u'(x)0,u''(x)0
含义：表示通常情况下人们是“风险规避” 的。
风险规避者
u ( E ( W ) ) u ( 1 ,,n ; x 1 ,, x n ) 1 u ( x 1 ) n u ( x n ) u ( W )
R(w)


u '' ( w) u' (w)
三、确定性等值、风险升水及其应用
u(w 1)R,u(w 2)S
u ( g ) P 1 u ( w 1 ) P 2 u ( w 2 ) P 1 R P 2 S 若 1 2 P w 1 1 P 1 2 2w 2 1 2 ,E u ( (g g ) )为 收 T 为 入 期 无 望 风 效 险 用 水 u 平 ( E ( g ) ) C T
也可以简写为：
G s(pa1,0a2， ,0an1,(1p)an) (pa1,(1p)an)
复赌：凡是奖品本身又成了赌博本身的赌博。
高产20% 正常40% 低产40%
雨量大20% 0.04
0.08
0.08
0.20
雨量中50% 0.10
0.20
0.20
0.50
雨量小30% 0.06
0.12
实际收入与期望收入的离差
结果1 离差
结果2 离差
工作1
2000 500
1000 500
工作2
1510 10
510 990
平均离差=P1×结果1的离差+P2×结果2的离差 工作1的平均离差：
0 .5 5 0 0 元 0 .5 5 0 0 元 = 5 0 0 元
工作2的平均离差：
0 .9 9 1 0 元 0 .0 1 9 9 0 元 = 1 9 .8 元
A B,CA,CB则:
PA(1P)C PB(1P)C
AB,CA,CB则 :
PA(1P)CPB(1P)C
例： 设A=获1000元,B=获10元,C=死亡。对大多数
人，1000元>10元>死亡。 设10元为一确定的状态。则必定存在概率
0<P<1，使得：
P 1 0 0 0 元 ( 1 P ) 死 亡 1 0 元
u(g2)0.07u(2)0.03u(4)0.9u(10) 0.0700.030.60.91 0.918
u(g1)u(g2) 消费者偏好于 u ( g 1 )
单赌的期望效用：u(gi)(i 1,2) 单赌的期望收入：
E ( g 1 ) 0 .2 4 0 .8 1 0 8 .8 元 E(g2)0.07(2)0.0340.910
期望效用函数或VNM效用函数
二、期望效用函数
A ( a 1 , a 2 ,, a n ) 构 造 期 望 效 用 函 数 的 关 键 是 u ( a i ) ? 若 a1 a2 an, ai可 看 作 不 外 是 最 好 结 果 与 最 差 结 果 的 某 种 组 合 一 样 好 . ai (P i a1,(1P i)an)
u(g1)p1u(A1)(1P1)u(A2) p2u(A3)(1P2)u(A4)
期望效用函数的作用：当消费者面临不确定性 时，可用期望效用最大化分析消费者的行为。
单 赌 g s (p 1 a 1 ,p 2 a 2 , ,p n a n )
n
u(gs ) piu(ai ) i1
R 5 9 0 0 ,但 h 0 . 0 5 8 0 0 0 0 4 0 0 0
1
ln(w02 h2)2
1
CE(w0 2h2)2w0E(g)
1
P E (g) C E w 0(w 0 2h 2)20
例6：一种彩票赢得900元的概率为0.2；若输， 只获得100元，概率为0.8。若消费者的效用函 数形式为 u ，w问该消费者愿意出多少钱 购买这张彩票？风险升水是多少？
8.98元 E ( g 1 ) E ( g 2 ) , 但 消 费 者 选 择 了 g 1 , 因 为 u ( g 1 ) u ( g 2 ) .
§3.风险度量、确定性等值和风险升水
一、风险度量
ai A{a1,a2, ,an}事件A的风险度量：
|a 1 E ( A ) |P 1 |a 2 E ( A ) |P 2 |a n E ( A ) |P n
消费者的出价应按CE给出，即
u(CE)0.2u(900)0.8u(100),
即CE0.2 9000.8100 C E 1 9 6 , 他 对 彩 票 的 最 高 出 价 为 1 9 6 元 . PE(g)CE
E(g)0.29000.8100260 P26019664元
0.12
0.30
奖品是产量的分布，它们又具有不确定性，而成为 赌局本身。
三、不确定条件下的选择公理
【完备性与传递性公理】对两种不同的结果， 消费者的偏好为：
A B ,B A ,A B A B ,B C , A C
【连续性公理】差异很大的两个不确定结果的 某种加权结果会等同于某个确定的中间结果。
1.期望
推销员的收入
结果1Βιβλιοθήκη 结果2概率收入概率
收入
佣金制
0.50
2000
0.50
1000
固定薪水制 0.99
1510
0.01
510
工 作 1的 期 望 收 入 0.52000元 0.51000元 =1500元
工 作 2的 期 望 收 入 0.991510元 0.01510元 =1500元
A B , B C , 则 存 在 概 率 P ( 0 P 1 ) 使 得 : P (A )(1P )CB
【独立性公理】假定消费者A与B之间无差异， 设C为任一个另外的结果。如果一张彩票L1会以 概率P与(1-P)带来结果A与C，另一张彩票L2以 概率P与(1-P)带来结果B与C，那么，消费者会 认为这两张彩票L1与L2无差异。
设 原 来 资 产 w 0 E (g ) .若 参 赌 : 赢 得 w 0h;输 得 w 0h
g ( 0 .5 ( w 0 h ) ,0 .5 ( w 0 h ) )
ln(CE)

ln(g)

1 2
ln(w0

h)

1 2
ln(w0

h)
1
ln[(w0 h) (w0 h)]2
Chap4. VNM（冯诺依曼-摩根 斯坦）效用函数与风险升水
本章要点
§1.不确定性与选择公理 §2.冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数 §3.风险度量、确定性等值与风险升水
§1.不确定性与选择公理
一、不确定性
经济活动中始终存在着决策的不确定性。 不确定性和风险是一个不同的概念，奈特在
《风险、不确定和利润》（1916）第一次区分 了经济活动中不确定性与风险，不确定性是客 观的，指行动的结果总是被置于某种概率之下， 而风险主要是指主观上的认识能力。 不确定性可以用数学语言进行描述。主要用数 学期望函数和方差。
u
u(x)
u(E(W ))

u (W )

x 1 E (W )
x2
W
u
16
13
A 10
u(x) E
D
C
10
15
20
1u(10)1u(20)13 11012015
2
2
22
u(1 10120)1u(10)1u(20) 22 2 2
(千 元 ) x
风险偏好者
u ( E ( W ) ) u ( 1 ,,n ; x 1 ,, x n ) 1 u ( x 1 ) n u ( x n ) u ( W )
确定性等值是完全确定的收入量，此收入水平 对应的效用水平等于不确定条件下期望的效用 水平，即CE满足：
u(CE)u(g)
风险升水：是收入P，当一个完全确定收入减去 P产生的效用仍等于不确定条件下期望的效用水 平，即：u(E(g)P)u(g)。或单赌g含的风险相 当于使一个确定的收入E(g)减少了P。
因此，可定义：
u (1 0 ) u ( a1 ) 1 u (4) u (a2 ) 0.6 u(2) u(a3) 0
比较单赌格局：
g1(0.24,0.810) g2(0.07(2),0.034,0.910)
u(g1) 0.2u(4)0.8u(10) 0.20.60.81 0.92
u
u(x)
E
D

C
A
O
10 15
20
(千 元 ) x
u
u(E(W))u(W)
风险中立者
u (x) E D (C ) A
O
10 15 20
x
u(E(W ))u(W )
定义
u () 为 V N M 效 用 函 数 .对 于 单 赌 g(P 1a 1,P 2a 2, ,P nan)
u(E(g))u(g) u(E(g))u(g) u(E(g))u(g)
2.期望效用
单 赌 g (p ,A ,B ) p A ( 1 P )B
则对应的期望效用函数为：
u (g ) p u (A ) ( 1 P )u (B ) 单 赌 g 1 ( p 1 ,A 1 ,A 2 ) ,g 2 ( p 2 ,A 3 ,A 4 )
则消费者更偏好于g1，当且仅当
例7：某消费者的效用函数为：u w0.5 。 w0=9000，h=8000（火灾后损失大部分财产）, 发生火灾的概率α=0.05。求消费者愿意支付的 保险价格R与保险公司在消费者支付R时的利润。
u(w 0R )0.959000 1 /20.05 10000 1 /2
(90000R )0.50.959000 1 /20.05 10000 1 /2