2009年大学生数学建模竞赛A题一等奖论文

制动器试验台的控制方法分析
摘要
本文围绕控制器试验台的控制方法问题进行计算与分析，并针对双分流加载式制动器试验台的计算机控制方法进行了设计与评价与改进。

对问题一,利用能量守恒定律，把车辆平动时具有的动能等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的转动动能，得出等效的转动惯量为252m kg ⋅
对问题二，通过对不同飞轮的组合，可以产生8种方案，根据所给的条件，对于问题1中得到的等效的转动惯量252m kg ⋅，电动机的补偿惯量有两种方案：2m 12kg ⋅和2m 18kg -⋅。

对问题三，要求建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。

题目中已说明可观测量为主轴的瞬时转速和瞬时扭矩。

首先，充分分析题目的各个量的关系，初步建立出分步模型，然后简化该模型，建立电流分别与两个观测量的数学模型。

并根据该模型和问题一、二的结果，对问题三的题目进行分析求解，得到驱动电流是174.8A 。

对问题四，首先我们根据题目中指定的评价控制方法优劣的指标建立评价模型：以模拟负载精度为评价指标。

然后建立一般积分模型，通过数据分析与处理，基于对离散数据的处理方法，我们采用以和式代替积分，利用改变后的模型，求解出制动器在试验台制动过程所消耗的能量49296.62焦。

在利用评价模型对该方法进行评价，模拟负载精度为5.4743%，效果相对较好。

对问题五，我们先由给出的一组观测量，建立近似的计算模型，估算出下一时刻的瞬时转速，该瞬时转速存在较大误差，为减小这一段路试时与试验台上的能量差，我们再用能量守恒的方法，建立模型，求出下一阶段的瞬时扭矩。

再根据问题三的模型，由该扭矩算出相应时刻的电流值，达到预测电流的目的。

我们根据第四问中的基本条件和一组观测量，利用MATLAB 进行模拟，得到较好的控制效果。

对问题六，分析计算机的调整过程我们发现，计算机的调控是一种闭环回馈调节，即计算机输出的信号会对被控系统产生影响；同时反过来计算机又根据被控系统此时的变化（或运行状态）来决定下一次控制信号的输出，根据这一特点我们决定采用PID 模型进行控制，要想获得好的控制效果，关键是三系数p k ，I k ，D k 的设定，所以我们采用BP 神经网络来对，动态的调整参数的值，使其随着系统状态而不断学习改变，从而大大提高了PID 控制的可靠性。

本文的最大特色在于在第五问中，创造性地设计出了效果较好的电流控制方法，考虑到能量反馈，使该方法的模拟误差大大减小。

关键词：转动惯量 积分模型 能量反馈 神经网络 PID 控制
一、问题重述
汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。

制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。

为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。

在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。

假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。

为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。

但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。

模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。

通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。

制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。

被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。

试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。

路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。

将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。

试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。

飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。

例如，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 kg·m2，基础惯量为10 kg·m2，则可以组成10，20，30，…，160 kg·m2的16种数值的机械惯量。

但对于等效的转动惯量为45.7 kg·m2的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。

这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为40 kg·m2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。

一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/N·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。

由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。

工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。

评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。

通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。

现在要求你们解答以下问题：
1.设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动
惯量。

2.飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、
0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kg·m2，问可以组成哪
些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为[-30, 30] kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？
3.建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。

在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动
5.0秒后车速为零，计算驱动电流。

4.对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·m2，机械惯量为35 kg·m2，主轴初转速
为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。

请对该方法执行的结果进行评价。

5.按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭
矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。

6.第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算
机控制方法，并作评价。

二、基本假设
1.在制动过程中，主轴的角速度与车轮的角速度始终一致。

2.在将载荷具有的能量转化时，忽略车轮自身转动具有的能量。

3.电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，且本题中的比例系数取1.5A N m
4.能量误差不包括观测误差、神经误差和连续问题离散化产生的误差。

5.假设路试时，制动力矩是一个恒值。

三、名词解释
1．载荷——指施加于机械或结构上的外力。

2．平动——运动物体上任意两点所连成的直线，在整个运动过程中，始终保持平行移动，这种运动叫做“平动”。

3．扭矩——扭矩在物理学中就是力矩的大小，等于力和力臂的乘积，国际单位是牛米Nm 。

4．转动惯量——刚体绕轴转动惯性的度量。

又称惯性距、惯性矩。

四、符号说明
五、模型的建立与求解
5.1问题一模型建立与求解
5.1.1 问题一的分析
车轮制动时的受力情况见图1：
图1 车轮制动时的受力分析示意图
问题一关键是对载荷概念的理解，通过载荷在车辆平动时具有的能量，找到载荷与等价惯量的纽带，从而建立数学公式求解。

5.1.2 问题一模型的建立
汽车在制动时受到载荷，而一定的载荷与一定的质量相对满足g G m =，对固定的转轴来说，我们将质点系内每个质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积的总和定义为质点系对该转轴的的转动惯量，用J 表示即∑=i i
i r m J 2。

我们假想在题一中载荷所对的质量m 集中在一点，且在车轮表面，所以2
1mr M =。

⎪⎩⎪⎨⎧==21mr
M g G m （5.1）
5.1.2 问题一的求解
所以当N G 6230=,28.9s m g =,m r 286.0=时，代入公式：2152m kg M ⋅=
5.2问题二模型建立与求解
5.2.1 问题二的分析
将厚度为0.0392 m 、0.0784 m 、0.1568 m 依次编号为1、2、3。

对于问题二首先要到飞轮的惯量与密度、半径等关系。

对于密度均匀，厚度均匀，半径为R 的圆盘(如下
图所示)来说,以过盘心垂直于盘面为转轴的圆盘的转动惯量为22
1mR J =。

图2 飞轮示意图 求解出三种飞轮的各自惯量之后，由于基础惯量是由试验台的主轴不可拆卸部分造成的，所以搭配的种类仅由飞轮的搭配决定，而对每个飞轮仅有取与不取两种，所以三个滑轮共8种选择。

由于等效惯量是机械惯量与电动机补偿产生的惯量之和，由各组合方案所需补偿的部分是否超出[-30, 30] kg·m 2，决定可行方案。

同时给出具体的补偿值。

5.2.2 问题二模型的建立
我们把飞轮等效为一个大圆盘挖去一个小圆盘，所以飞轮的转动惯量就是大圆盘的惯量减去挖下的小圆盘的惯量即是4
2142122j 21d m d m J i -=。

所以模型建立如下： ⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+=======3,2,1,4214213,2,1,43,2,1,43
,2,1222j 210321i 22j }max{j i d m d m J J h i d h m h j d h m i N i i i i ππ （5.2） 5.2.3 问题二模型的求解
编号为1、2、3飞轮的转动惯量分别为（单位：2kg m ∙）：30，60，120。

由于基础惯量是由试验台的主轴不可拆卸部分造成的，所以基础惯量0J 必存在，但搭配的种类仅由飞轮的搭配决定，而对每个飞轮仅有取与不取两种选择，所以三个滑轮共8种组合合方式，具体情况见下表：
1中得
到的等效的转动惯量为2m 52kg ⋅，所以电动机能够补偿的方案是2：补偿2m 12kg ⋅；方案3：补偿2m 18kg -⋅。

5.3问题三模型建立与求解
5.3.1 问题三的分析
由题目条件知电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，要建立电流与可观测量（瞬时扭矩与瞬时速率）的关系。

核心是寻找可观测量与电动机扭矩的关系。

我们可以从两个方面寻找关系：1、通过制动扭矩与电动机扭矩的关系，即合扭矩=制动扭矩+电机扭矩；2、角加速度与扭矩的关系扭矩，由于扭矩=惯量⨯角加速度且转速已知，角速度便可求出，对角速度求导便求出角加速度，，即可找到另一条关系。

从而给出数学模型，给出函数关系式后，结合一二问的补偿量与等效惯量的具体值，即可求出数值解。

5.3.2 问题三模型的建立
依题意电动电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比所以：2I kM =
分步模型：
21231
23111222333260I kM n J J J M M M d M J J dt d M J J dt d M J J dt πωωβωβω
β=⎧⎪⎪=⎪⎪=+⎪=+⎪⎪⎨==⎪⎪⎪==⎪⎪⎪==⎪⎩
简化为综合模型：（简化过程见附录）
()311131J I k M J d I k J J dt ω⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩
（5.3） 5.3.3 问题三模型的求解 代入数据050v km h =，10v km h =， 5.0t s ∆=，2212J kg m =⋅
012v v t I kJ r
-⎛⎫ ⎪∆⎝⎭= 求解得：174.8I A =
5.4问题四模型建立与求解
5.4.1 问题四的分析
问题四要求通过对题中给出的某种控制方法得到的试验台制动器制动过程的数据进行评价。

评价控制方法优劣的一个重要指标是指所涉及的路试时的制动器与相对应的试验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。

我们首先要根据给出的评价指标建立评价模型。

然后需要分别求解出路试时和在试验台上制动过程中消耗的能量和。

路试时制动过程中消耗的能量由已知条件可直接求出。

由于电动机制动是一个连续的过程，因此可以建立积分模型，求解试验台上制动器在制动过程中消耗的能量。

5.4.2评价模型的建立
我们定义一个变量：
模拟负载精度（Q ）：路试时的制动器与相对应的试验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差与路试时的制动器在制动过程中消耗的能量的比值。

建立评价模型如下：
21
2W W Q W -= （5.4.2）
用Q 的值来评价控制方法的优劣。

通过查找控制方法的资料，我们根据经验认为：当Q>0.1时，控制方法较差；当0.1Q ≤时，控制方法较好；
5.4.3积分模型的建立
首先，建立积分模型如下：
dt M W t t ⎰=2
111ω （5.4.3.1） 1t ——制动开始时刻；2t ——制动结束时刻。

模型简化过程：
由
11123
d M J dt J J J ω⎧=⎪⎨⎪=+⎩ 得：
t t t d dt
d J J W ωωωω⎰+-=
212222131)(21 再由 223211(1)d M J dt J M M J ω⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得到简化模型如下：
2111112221131231211
1()2(1)t t W W W W J J W M dt J ωωω⎧⎪=+⎪⎪=-⎨⎪
⎪=-⎪⎩⎰ （5.4.3.2） 1ω——制动开始时刻制动轴角速度;
2ω——制动结束时刻制动轴角速度。

5.4.4积分模型的求解
5.4.4.1模型的求解分析
对于11W ，由已知数据可以直接求解。

对于12W ，观测数据的扭矩与转速是离散的值，不能够利用积分方程直接求出。

但由于每一段时间的间隔极短，可以近似认为其角加速度是恒定的。

因此可以采取以和式代替积分的方法，分段求解再求和。

每一段时间内的扭矩和转速可以近似认为是均匀变化的。

因此，12W 的模型变为：
31211
1(1)m J W M t J λλλλω==-∆∑ 1M λ——第λ个时段制动扭矩的平均值；
λω——第λ个时段制动角速度的平均值；
t λ∆——第λ个时段的时长。

5.4.4.2数据分析与处理
观测的扭矩的处理方法：
图3 扭矩随时间的折线图
我们认为前三个数据40为电动机维持飞轮及主轴保持速度不变的扭矩，即是在消除制动间隙的时间内测得的数据。

因此，我们不采用前三排的观测数据，并将40作为电动机输出的无效力矩（即不对制动过程补偿能量）。

所以，
11402
c M M M M M λλλλλ+⎧=-⎪⎨+=⎪⎩
M λ——第λ次所得到的制动力矩；
c M λ——第λ次的扭矩观测量；
1M λ——第λ个时段制动扭矩的平均值。

处理后图像见图4。

图4 处理后——扭矩随时间的折线图
观测的转速的处理方法：
图5 转速随时间的折线图
将转速转化为角速度：260
n
πω=
第λ个时段制动角速度的平均值：!
2
c c λλλωωω++=
=
c λω——第λ次的转速观测量转化为的角速度；
λ
ω——第λ个时段制动角速度的平均值。

第λ个时段的时长t
λ
∆=0.01s。

6.4.4.3计算结果及分析
计算结果：
由6.3.4.2中准备的数据（数据见附录），得到
1211269.43
W=，
1138027.19
W=，
所以，
1111249296.62
W W W
=+=，
252151.58
W=，
Q=5.4743%。

结果分析：
在计算
12
W时，采用了两次近似：每个时间段角加速度恒定的近似，每一段时间内的扭矩均匀变化的近似。

因此所得的结果存在一定误差。

但由于题目中的时间间隔很小，为0.01秒，因此，做出的近似是合理的，而且误差相对较小。

所得的结果可信度较强。

5.4.5控制方法的评价
由于该控制方法的模拟负载精度Q=5.4743%<0.1，所以根据评价模型，可以得出结论：该控制方法的模拟效果较好。

5.5问题五模型建立与求解
5.5.1问题五的分析
根据问题五要求，我们需要设计一个根据前一个时间段观测到的瞬时转速和瞬时扭矩预测出本时间段电流值的控制方法，并使模拟负载精度尽量小。

根据问题三导出的数学模型，可以根据某时刻的电流值计算出对应时刻的瞬时扭矩及瞬时转速（前一时刻的瞬时转速已知），相反，也可以根据某时刻的瞬时扭矩及瞬时转速计算出对应时刻的电流值。

因此，我们也可以根据某时刻的瞬时扭矩及瞬时转速预测出下一时刻的瞬时扭矩及瞬时转速，再由此算出电流值。

我们的思路如下：先由给出的一组观测量：瞬时扭矩、瞬时转速，估算出下一时刻的瞬时转速，该瞬时转速是存在很大误差的，为抵消这一段路试时与试验台上的能量差，我们用能量守恒的方法求出下一阶段的瞬时扭矩。

再根据问题三的模型，由该扭矩算出相应时刻的电流值，即可达到预测电流的目的。

5.5.2 问题五模型的建立
模型建立过程如下：
Step1：利用近似公式
1
11
t t t M J t
ωω+-=∆ （5.5.1）
近似预测下一时刻的瞬时角速度1t ω+。

Step2：因为Step1中所求1t ω+存在一定误差，这这段时间内，为减小这一段路试时与试验台上的能量差，我们再用下一时间段的瞬时扭矩计算这一时段路试时与试验台上的能
量差，使所得的能量差相等，且路试时消耗的的能量为两种情况下试验台上消耗的能量的均值，即
11100
1
1
00
00
02
2
2
2
t t t t t
t t t t t M t M t M t M t ωωωωωωωω+++++----∆-
∆=
∆-
∆ （5.5.2）
由此式可得，下一时刻1
0t M +的预测值。

Step2：由第三问的模型
31
11J I k M J ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
（5.5.3）
可得到相应时间段的电流1t I +的预测值。

综上，问题五的数学模型为：
1
1111100
1100000013!1122221t t t t t t t t t t t t t t t M J t M t M t M t M t J I k M J ωωωωωωωωωω++++++++⎧-=⎪
∆⎪
⎪----⎪∆-∆=∆-∆⎨
⎪⎪⎛⎫
=-⎪
⎪⎪⎝⎭⎩
（5.5.4） 5.5.2 问题五模型评价及检验
对于问题五的模型，（6.5.3）式对1t ω+的求解存在以下误差：
1. 该段时间内的角加速度并不是恒定的，将β近似为
1
t t t
ωω+-∆存在一定的误差。

2. 该段时间内的制动力矩用该段时间起的起始制动力矩求解，误差较大。

但由于（6.5.2）式所求的10t M +在第一时间段能量的反馈缩小了预测的误差，从而
使预测值更准确。

为了更好的定量说明该控制方法模型的优劣，我们采用第四问的基本数据以及附件中的第一组观测数据，求解该模型的模拟负载精度，并用问题四中的评价模型评价该控制方法。

通过MATLAB的仿真求解（详细结果见附录），模拟负载精度为：Q=0.37%<10%，说明该控制方法达到了很好的模拟效果。

由于角速度的仿真结果与路试值十分接近，故计算机模拟控制得出的角速度图像与路试值的图像近乎重合，见如图6和图7。

图6 模拟角速度与路试时角速度的对比图像
局部放大后，可以看出明显的效果。

图7 图6的局部放大图
并与问题四的方案作对比，问题四中的控制方法的模拟负载精度为5.4743%，远大于本方法的0.37%；另外，还可以从图形的对比上直观的看出（参考图6、图8），该方法得到的角速度更接近理想值。

因此，该计算机控制方法较问题四中更好。

图8 用问题四的方法模拟角速度与路试时角速度的对比图像
5.6问题六模型建立与求解
5.6.1问题分析：
通过分析问题五模型得出的结果，我们从放大的图中可以看出，所模拟的角速度均在理想值的下方波动，因此我们可以考虑在模型中增加调整参数的办法，使迷你转速在理想值上下震荡，并有明显收敛趋势。

因此，我们要重新设计一种控制方法，克服这种缺点，是控制效果最佳。

分析计算机的调整过程我们发现，计算机的调控是一种闭环回馈调节，即计算机输出的信号会对被控系统产生影响；同时反过来计算机又根据被控系统此时的变化（或运行状态）来决定下一次控制信号的输出，根据这一特点我们决定采用PID 模型进行控制，比例控制p k ，积分控制I k ，以及微分控制D k 的合理组合，可以提高相应的速度，精度，同时避免滞后效应，增强系统的稳定性。

传统的PID 调节模型如图所示：
模拟PID 控制系统原理图
但是不能忽视的事实是，由于调节是动态过程，所以相应的比例、积分、微分的参数实际中也应该是变化的。

理想的情况是参数根据被控系统的状态来不停的变换，这是一个不断学习的过程，因此我们采用BP 神经网络来对参数进行调整，通过神经网络的自学习、加权系数的调整，使神经网络输出对应于某种最优控制规律下的PID 控制器参数。

从而增大PID 控制的可靠性。

组合BP 网络的本题的计算机调节过程的如下图所示：
5.6.2模型的建立 1、普通PID 模型
常规的PID 控制器是一种线性控制器，它根据给定值: ()r t 与实际输出值()y t 偏差
()()()e t r t y t =-
将偏差比例、积分和微分控制，通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID 控制器。

其连续控制模型为:
0()()()()()1()()t
P D I e t r t y t u t K T de t e t e t dt T dt =-⎧⎪
=⎡⎤⎨+⎢⎥⎪⎣
⎦⎩⎰ 其传递函数形式为
()1
()1()P D I U S G S K T S E S T S ⎛⎫=
=++ ⎪⎝⎭
式中P K ——比例常数；I T ——积分时间常数；D T ——微分时间常数
由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量，因此需要
进行离散化处理。

，现以一系列的采样时刻点kT 代表连续时间t ，和式代替积分，以增量代替微分，()u k ——第k 次采样时刻的计算机输出值；()e k ——第k 次采样时刻输入的偏差值；
(1)e k -——第（k-1）次采样时刻输入的偏差值；
则可作如下近似变换:
()[]0000,1,2,3,()()()
()(1)()()(1)k k
t
j l t kT k e t dt T e jT T e l e kT e k T de t e k e k dt
T T ==⎧
⎪≈=Λ⎪
⎪==⎨⎪
⎪----⎪≈=
⎩∑∑⎰ 所以离散化的模型为：
()(1)()()()k
P D
j I
T
e k e k u k K e k e j T T T =⎡⎤
--=+
+⎢⎥⎣
⎦
∑
取I K ——积分系数，P I I
K T
K T =
D K ——微分系数，P D
D K T K T
=
所以 []0
()()()()(1)k
P I D j u k K e k K e j K e k e k ==++--∑
2、综合了神经网络的PID 模型 （1）PID 模型
[]0()()()()(1)k
P I D j u k K e k K e j K e k e k ==++--∑
其中参数要用动态神经网络计算。

（2）神经网络计算参数
计算用输入隐含节点层的值：其中上角标号()1表示输入层，()2表示隐含层，()3表
示输出层，如()()1
0ij w 就是输入层起始点的权重值 。

ik
o λ
表示第λ层节点i 的输出值。

节点 j 的输入为jk net λ，
，且()jk jk o f net λλ=（不是输入点）。

()()()()
()
()
210
2221,0,,1ij
N
jk ik i jk jk
Mk net w o o f net o j M λ
=⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪≡=-⎪⎪⎩
∑ 计算输出值即PID 控制器的三个控制参数p k ，I k ，D k 的动态值: 该公式是隐含层与输出层之间的关系，其中激发函数
()()1
1tanh 2
g x =
+ ()()()()()
()
()
()
()3320
33333,1,2,3
jl M lk jk
j lk
lk lk P lk I lk
D net w o o g o o k o k o k l =⎧=⎪⎪
⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪
⎪==⎩∑ （3）根据修正隐含层和输出层的加权系数：
()()
()()()()()()()()
()222
023220
ˆ1jl M jk j jk jk M
jk jk jk j o I
k y u k o net net w f net w u k ==⎧∂∂+∂=⋅⎪∂∂∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩∑∑ BP 算法：
Step 1：确定神经网络的结构，即确定输入层节点数和隐含层节点数，并给出各层
加权系数的初值()
()1
0ij w 和(
)
()20ij w ，并选定学习速率η和惯性系数a
Step 2：采样得到:()y k .，计算当前时刻的误差()()()e k r k I k =-，其中()r k 表示电流的期望值。

以及偏差变化量()()(1)e t e k e k ∆=--
Step 3：对()I i ，()e i ,()e i ∆(),
,i k k p =-进行归一化处理，作为NN 输入。

Step 4：计算NN 隐含层和输出层的输入与输出，输出层输出的即是PID 的参数
()p k k ，()I k k ，()D k k 。

Step5：计算PID 控制器的控制输出()u k ;
Step 6：计算BP 模型各层的输入和输出，最后的输出值()ˆ1I
k +。

按下列公式算计算修正隐含层和输出层的加权系数。

Step 7：1k k =+，返回过程（2）
5.6.3 模型评价
该模型实现了动态调整参数，从而能够快速准确地控制。

用BP 神经网络来对参数进行调整，通过神经网络的自学习、加权系数的调整，使神经网络输出对应于某种最优控制规律下的PID 控制器参数。

从而增大PID 控制的可靠性。

六、模型的评价与推广
问题一、二均是根据实际带入具体数据求解，所以在此不予讨论。

问题三中我们用寻找逻辑关系的思想，顺利建立了电流与已知量的模型，所以所建立的模型应该是严谨的。

这种解决问题的方法也是可以广泛应用的。

问题四中依据时间的连续性我们先建立积分模型，然后依据在际情中数据采集是离散的，因此用求和代替积分的方法，对模型离散化，顺利给出了电动机在每个小段时间内能量的补偿值，进一步算出补偿总值，从而给出了理论补偿与实际补偿值之差。

这种近似思想避免了直接寻求连续模型的困难，但是应当注意的是，近似时，取变量值的区间范围应合适，如果太长则会造成巨大的误差；反之如果太小，则失去了离散化数值的意义（尽管可能更精确）。

而本题中以0.01s 为周期长度，相对于一直都在变化的电流来说，是一个合适的取值周期。

并且计算结果也证明了这一点。

因此在许多实际问题中都可以用离散化的方法，如河流水量的测量等。

不仅节省了人力，而且也具有一定的精。