高一数学复习考点题型专题讲解13 函数的周期性与对称性

高一数学复习考点题型专题讲解 第13讲 函数的周期性与对称性
一、单选题
1．已知()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()22f x x x =+，则()15f =
（ ）
A ．3
B ．3-
C ．255
D ．255-
【答案】B
【分析】根据题意可知()f x 是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.
【解析】由()()2f x f x +=-可得，()()42=()f x f x f x +=-+，故()f x 是以4为周期的周期函数，故(15)(1)(1)3f f f =-=-=-，
故选：B
2．已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)(),(1)3f x f x f -==，则(2022)(2023)f f +=（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．2
【答案】A
【分析】由题意求得函数()f x 是周期为4的周期函数，得到
()()()()2022202321f f f f +=+-，结合()()11f x f x -+=+，得到()()20f f =，进而求得()()1,0f f -的值，即可求解.
【解析】由题意，函数()f x 为R 上的奇函数，可得()(2)()f x f x f x +=-=-，
所以()()4f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数，
所以()()()()2022202321f f f f +=+-，
因为()()11f x f x -+=+，令1x =，得()()20f f =，
因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()00,113f f f =-=-=-，
所以()()20222023033f f +=-=-.
故选：A.
3．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()110f x f x -++=，若()03f =，则
()()20222023f f +=（ ）
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．6
【答案】B
【分析】根据题意, 分析可得函数()f x 是周期为4的周期函数, 由此可得
()()()2022203f f f ==-=-，()()()202331f f f ==-，用赋值法求出()1f 的值, 由此计算即可得答案.
【解析】根据题意, 函数()f x 满足()()110f x f x -++=, 则()()20f x f x -++=,
又由()f x 为偶函数，则有()()2f x f x +=-,
则有()()()42f x f x f x +=-+=,
即函数()f x 是周期为4的周期函数,
()()110f x f x -++=，令0x =可得()10f =.
()()()2022203f f f ==-=-，()()()2023310f f f ==-=，
所以()()202220233f f +=-
故选：B
4．已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-3
【答案】B
【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将()()()2023311f f f ==-=-.
【解析】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2f x f x -=，又由()()40f x f x ++-=，得()()4f x f x +=--，所以()()()846f x f x f x +=---=-+，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==-=-． 故选:B ．
5．若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，在区间()0,1上，有
()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称
B ．函数()f x 的图象关于直线2x =成轴对称
C ．在区间()2,3上，()f x 为减函数
D ．7223f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】C
【分析】对于A ：根据题意结合奇函数可得()()40f x f x -+=，结合对称中心结论
()()2f m x f x n b -++=，则()f x 关于,2m n b +⎛⎫ ⎪⎝⎭
成中心对称理解判断；对于B ：根据对称轴的结论：()()f m x f x n -=+，则()f x 关于2
m n x +=成轴对称，结合题意理解判断；对于C ：根据题意可得：()f x 在()0,1内单调递增，结合轴对称性质：对称区间单调性相反理解判
断；对于D ：整理可得()()4f x f x +=，则()f x 的周期为4，结合单调性整理分析．
【解析】()()()()()42222f x f x f x f x f x ⎡⎤-=--=-=--=-⎣⎦，即()()40f x f x -+=，故()f x 关于()2,0成中心对称，A 不正确；
∵()()2f x f x -=，则()f x 关于1x =成轴对称，B 错误；
根据题意可得：()f x 在()0,1内单调递增
∵()f x 关于1x =成轴对称，（2，0）中心对称，则()f x 在()2,3内单调递减；C 正确； 又∵()()()22f x f x f x =-=--，则()()2f x f x +=-
∴()()()42f x f x f x +=-+=，可知()f x 的周期为4 则712,D 223f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
错误 故选：C ．
6．已知图象开口向上的二次函数()f x ，对任意x ∈R ，都满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，若()f x 在区间(),21a a -上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．3,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(],2-∞ 【答案】B
【分析】根据题意，可知函数的对称性，并明确其对称轴，根据二次函数的图象性质，可得答案.
【解析】由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得函数()f x 图象的对称轴是直线32x =， 又二次函数()f x 图象开口向上，若()f x 在区间(),21a a -上单调递减， 则321221
a a a ⎧-≤⎪⎨⎪<-⎩，解得514a <≤．
故选：B.
7．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++，若()17f -=-，则3m n +=（ ）
A ．7
B ．2
C ．2-
D ．12
-
【答案】C
【分析】由已知结合函数对称性可求出()3f ，进而求得结果.
【解析】解：因为定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++， 若()17f -=-，则()()317f f =--=.
故()23337f m n =++=，即32m n +=-.
故选：C.
8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()22f x x =-+.若对任意的[]1,2x ∈-，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()0,2
B ．()()0,2,6-∞
C ．()2,0-
D ．()()2,06,-+∞
【答案】D
【分析】利用奇函数求得()f x 的解析式，画出其函数图象的草图，由不等式在闭区间上恒成立，结合()f x 的对称性，有在12x -≤≤中，420x a --<<或42a x >-恒成立，进而求a 的范围.
【解析】由题设知：,20()4,2x x f x x x --≤<⎧=⎨+<-⎩
，又()f x 是定义在R 上的奇函数，即(0)0f =， ∴当02x <≤时，20x -≤-<，即()()f x x x -=--=，而()()f x f x x =--=-；
当2x >时，2x -<-，即()()44f x x x -=-+=-，而()()4f x f x x =--=-；
∴综上，有4,2(),224,2x x f x x x x x ->⎧⎪=--≤≤⎨⎪+<-⎩
，可得如下函数图象，
∴对任意的[]1,2x ∈-有()()f x a f x +>成立，
即在12x -≤≤中，24x a x a x +<-⎧⎨+>--⎩或22x a x a x -≤+≤⎧⎨+<⎩或24x a x a x +>⎧⎨+>-⎩
恒成立， ∴420x a --<<或42a x >-恒成立，即有20a -<<或6a >.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由已知求得()f x 的解析式并画出函数图象草图，由不等式恒成立，结合函数的对称性列不等式组，求参数范围.
二、多选题
9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是（ ）
A ．73
24f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数
C ．()f x 在()6,8上为减函数
D ．()f x 的一个周期为8
【答案】ABD
【分析】由(1)(1)f x f x --=--、(1)(1)-+=+f x f x 可推出()f x 的周期为8，利用对称性、周期性求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
、判断()7f x +奇偶性及()7,8x ∈时()f x 的单调性，即可得答案. 【解析】由题设，(1)(1)f x f x --=--，则()f x 关于(1,0)-对称，
所以[(1)1](11)f x f x ---=---，即()(2)f x f x -=--，
则[(2)](22)f x f x --=---，即(2)(4)f x f x -=--，
由(1)(1)-+=+f x f x ，则()f x 关于1x =对称，
所以[(1)1](11)f x f x --+=-+，即(2)()f x f x -=，
综上，()(4)f x f x =--，则(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--，
故()(8)f x f x =-，即()(8)f x f x =+易知()f x 的周期为8，D 正确；
773113(2)()(1)(1)()22222412f f f f f f ⎛⎫=-=-=--=--=--=- ⎪⎝⎭
，A 正确； 由(1)(7)f x f x -=+，而()1f x -为奇函数，故()7f x +为奇函数，B 正确；
由()1,0x ∈-时()21f x x =-+递增，则()7,8x ∈时()f x 递增，显然C 错误.
故选：ABD
10．已知函数()f x 是奇函数，()1f x +是偶函数，并且当(]()0,1,12x f x x ∈=-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 在()3,2--上为减函数
B ．()f x 在13
,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x < C ．()f x 在[]1,2上为增函数
D ．()f x 关于3x =对称
【答案】BD
【分析】由已知可得()f x 的图象关于()0,0中心对称，且关于1x =轴对称，周期为4，则可依次判断每个选项正误.
【解析】因为()f x 是奇函数，()1f x +是偶函数，
所以()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-+，
所以(4)(31)(31)(2)(2)f x f x f x f x f x +=++=--+=--=-+，
又(2)(11)(11)()()f x f x f x f x f x +=++=--+=-=-，
所以(4)()f x f x +=，
所以函数()f x 的周期为4，其图象关于1x =轴对称，
当(]0,1x ∈时，()12f x x =-，则函数()f x 在()0,1x ∈上递减，
根据对称性可得()f x 在()1,2x ∈单调递增，
再结合周期性可得()f x 在()3,2--上为增函数，故A 错误，
因为当(]0,1x ∈时，()12f x x =-，
()f x 在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦小于0，根据对称性可得()f x 在13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
小于0，故B 正确； ()f x 的图象关于1x =轴对称，所以13202f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()()200f f ==， 所以()f x 不可能在[]1,2上为增函数，故C 错误；
因为()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-+，
所以(1)(1)(1)(1)f x f x f x f x --=-+=--+=-+
所以()f x 的图象关于1x =-轴对称，
因为()f x 的周期为4，所以()f x 关于3x =对称，故D 正确.
故选：BD.
11．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如：[]0.20=，[]1.22-=-，则（ ）
A ．()f x 是增函数
B ．()f x 是周期函数
C ．()2f x 的值域为[)0,1
D ．()2f x 是偶函数
【答案】BC
【分析】利用特殊值法可判断AD 选项；利用函数周期性的定义可判断B 选项；利用题中的定义求出函数()2f x 的值域，可判断C 选项.
【解析】对于A 选项，因为()[]1110f =-=，()[]2220f =-=，所以，函数()f x 不是增函数，A 错；
对于B 选项，对任意的x ∈R ，存在Z k ∈，使得1k x k ≤<+，则[]=x k ，
所以，112k x k +≤+<+，则[][]111x k x +=+=+，
所以，()[][]()[]()11111f x x x x x x x f x +=+-+=+-+=-=，
故函数()f x 为周期函数，且周期为1，B 对；
对于C 选项，对任意的x ∈R ，存在Z k ∈，使得21k x k ≤<+，则[]2x k =，
所以，()[][)22220,1f x x x x k =-=-∈，C 对；
对于D 选项，令()()2g x f x =，该函数的定义域为R ，
因为()()[]0.40.80.80.80.8g f ==-=，
()()[]0.40.80.80.80.810.2g f -=-=---=-+=，
所以，()()0.40.4g g ≠-，故函数()2f x 不是偶函数，D 错.
故选：BC.
12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()(6)0f x f x ++=，且对任意的12,[3]0x x ∈-，，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（ ）
A ．函数()f x 是偶函数
B ．函数()f x 在[96]--，
上单调递增 C ．x =2是函数(1)f x +的对称轴D ．函数()f x 的最小正周期是12
【答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A;由()(6)0f x f x ++=结合函数的奇偶性可推得(6)()f x f x +=-以及(12)()f x f x +=，从而判断函数的对称轴和周期，判断C,D ；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断B;
【解析】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， 故函数()f x 是奇函数，故A 错误；
因为()(6)0f x f x ++=，故(6)()f x f x +=-，而()()f x f x -=-，
所以(6)()f x f x +=-，即()f x 的图象关于3x =对称，
则x =2是函数(1)f x +的对称轴，故C 正确；
因为(6)()f x f x +=-，所以(12)(6)()f x f x f x +=-+=，
故12是函数()f x 的周期；
对任意的12,[3]0x x ∈-，
，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+， 即1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<，
故3[]0x ∈-，
时，()f x 单调递减，又因为()f x 为奇函数，所以]3[0x ∈，时，()f x 单调递减， 又因为()f x 的图象关于3x =对称，故6[3,]x ∈时，()f x 单调递增，
因为12是函数()f x 的周期，故函数()f x 在[9,6]-- 单调性与[3,6]x ∈时的单调性相同， 故函数()f x 在[9,6]--上单调递增，故B 正确，
作出函数()f x 的大致图象如图示：
结合图象可得知12是函数()f x 的最小正周期，D 正确；
故选：BCD
【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性以及对称性和周期性的判断，综合性强，推理复杂，要能熟练地应用相应概念进行相应的推理，解答的关键是函数单调性对称性以及奇偶性周期性的综合应用.
三、填空题
13．对x ∀∈R ，函数()f x 都有()()20f x f x +-=，则()f x =___________.（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】sin x π（答案不唯一）
【分析】由已知关系式可知()f x 关于点()1,0对称，由此可得函数解析式.
【解析】()()20f x f x +-=，()f x ∴图象关于点()1,0对称，则()sin f x x π=.
故答案为：sin x π（答案不唯一）.
14．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x 都有()()22f x f x +=-，且()()f x f x -=，下列结论正确的是____.(填序号)
①()f x 的图像关于直线2x =对称；
②()f x 的图像关于点()20,对称；
③()f x 的最小正周期为4；
④()4y f x =+为偶函数．
【答案】①③④
【分析】由()()22f x f x +=-可得()f x 的图像关于直线2x =对称，然后结合()f x 为偶函数可判断出答案.
【解析】因为()()22f x f x +=-，所以()f x 的图像关于直线2x =对称，故①正确，
②错误； 因为函数f (x )的图像关于直线2x =对称，所以()()4f x f x -=+，
又()()f x f x -=，所以()()4f x f x +=，
所以4T =，故③正确；
因为4T =且()f x 为偶函数，所以()4y f x =+为偶函数，故④正确．
故答案为：①③④
15．已知函数()|1|||f x x x t =++-的图像关于2x =对称，则t 的值是_______
【答案】5
【分析】函数()f x 的图像关于2x =对称，则()()4f x f x =-，代入即可求解．
【解析】又因为函数()|1|||f x x x t =++-的图像关于2x =对称，
所以()()4f x f x =-，则|1||||5||4|x x t x x t ++-=-+--
所以5t =
故答案为：5
16．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -++=，当[]1
,0x ∈-时，()22f x x x =+，若()0f x x b --≥对一切R x ∈恒成立，则实数b 的最大值为______．
【答案】14-##0.25-
【分析】根据题设条件可得()f x 的图象关于()1,1呈中心对称，再根据奇偶性求出()f x 在[]0,1上的解析式，即可画出函数的图象，结合图象可求实数b 的最大值.
【解析】解：因为()()22f x f x -++=，故()f x 的图象关于()1,1呈中心对称，
因为当[]1,0x ∈-时，()22f x x x =+，
当[0,1]x ∈时，()()22()22f x f x x x x x =--=-=+--，
故()f x 的图象如图所示：
结合图象可得：只需当[1,0]x ∈-时，2()2f x x x x b =+≥+即可， 即2
1124b x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤，故14b ≤-， 故答案为：14
-.
四、解答题
17．已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()121f x f x f x -+=+.
(1)若132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； (2)求证：()f x 的周期为4；
(3)当[)0,2x ∈时，()3f x x =，求()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式.
【答案】(1)3
(2)证明见解析
(3)()3537
x f x x +=-+ 【分析】（1）先求出32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后再求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
即可； （2）利用函数周期性的定义，即可证明；
（3）根据[)2,0x ∈-以及题设条件，先求出()()232f x x +=+，再根据()()()
121f x f x f x -+=
+，即可解出()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式．
(1) ∵1131122122212f f f f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭
， ∴317322332212f f f f ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭. (2)
∵对任意的x ∈R ，满足()()()
121f x f x f x -+=+ ∴()()()()()()()()
()1112142211211f x f x f x f x f x f x f x f x f x -
--+++=++===-++++，
∴函数()f x 是以4为周期的周期函数.
(3)
设[)2,0x ∈-，则[)20,2x +∈，
∵当[)0,2x ∈时，()3f x x =，
∴当[)20,2x +∈时，()()232f x x +=+，
又∵()()()
121f x f x f x -+=+， ∴()()()1321f x x f x -+=
+ ∴()3537
x f x x +=-+. 18．定义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x ，y ，均有()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，当1x >时，()0f x >.
(1)求()0f ，()1f -的值；
(2)证明：当1x <时，()0f x <.
【答案】(1)()02f =-，()14f -=-
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法求解（2）当1x <时，21x ->，则()20f x ->，再结合已知求解.
（1）
（1）令0x y ==，则()()()0002f f f =++，解得()02f =-.
令1x y ==，则()()()2112f f f =++，解得()10f =，
令1x =，1y =-，则()()()0112f f f =+-+，解得()14f -=-.
（2）
（2）当1x <时，21x ->，则()20f x ->.
因为()()()()22222f f x x f x f x =-+=-++=，
所以()()20f x f x =--<.
19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有(2)()f x f x +=-．当[0x ∈，2]时，2()2f x x x =-．
（1）求证：()f x 是周期函数；
（2）当[2x ∈，4]时，求()f x 的解析式；
（3）计算(0)(1)(2)(2008)f f f f ++++的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2()68f x x x =-+；（3）1.
【分析】（1）根据函数周期的定义进行证明即可；
（2）根据奇函数的性质，结合函数的周期性进行求解即可；
（3）根据函数的周期性进行求解即可.
【解析】（1）证明：(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=．
()f x ∴是周期为4的周期函数．
（2）当[2x ∈-，0]时，[0x -∈，2]，由已知得22()2()()2f x x x x x -=---=--，
又()f x 是奇函数，2()()2f x f x x x ∴-=-=--，2()2f x x x ∴=+．
又当[2x ∈，4]时，4[2x -∈-，0]，2(4)(4)2(4)f x x x ∴-=-+-．
又()f x 是周期为4的周期函数，
22()(4)(4)2(4)68f x f x x x x x ∴=-=-+-=-+．
从而求得[2x ∈，4]时，2()68f x x x =-+．
（3）(0)0f =，f （2）0=，f （1）1=，f （3）1=-．又()f x 是周期为4的周期函数，
(0)f f ∴+（1）f +（2）f +（3）f =（4）f +（5）f +（6）f +（7）
(2f =⋯=008)(2f +009)(2f +010)(2f +011)
(2f =012)(2f +013)(2f +014)(2f +015)0=．
而(2016)(2017)(2008)(0)(1)(2)1f f f f f f ++=++=，
所以(0)(1)(2)(2008)1f f f f ++++=.
20．已知二次函数()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，且满足
()()22f x f x -+=--()x R ∈.
（1）求()f x 的解析式，并求()f x 在[]3,0-上的最大值；
（2）若()f x 在()1,t -+∞上为增函数，求实数t 的取值范围.
【答案】（1）()21212
f x x x =++；()max 1f x =；（2）1t ≥-.
【分析】根据二次函数()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，求得c ，根据()()22f x f x -+=--，得函数关于2x =-对称，即可求得a ，从而可得函数得解析式，再根据二次函数得性质即可的解；
（2）根据二次函数得单调性即可的解.
【解析】解：（1）因为二次函数为()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，故
1c =，
又因为函数()f x 满足()()()22f x f x x R -=-∈+-，
所以函数关于2x =-对称，即222x a =-
=-，所以12a =， 故二次函数的解析式为：()21
212f x x x =++
由()f x 在[]3,2--单调递减，在[]2,0-单调递增，
又()()13,012
f f -=-=，
所以()()max 01f x f ==；
（2）因为函数在()1,t -+∞上为增函数，且函数图象的对称轴为2x =-，
即二次函数()f x 在()2,-+∞上递增，
所以12t -≥-，故1t ≥-.
21．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=-对任意的x ∈R 恒成立，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =. （1）求证：()f x 是以2为周期的函数（不需要证明2是()f x 的最小正周期）； （2）对于整数k ，当[21,21]x k k ∈-+时，求函数()f x 的解析式.
【答案】（1）证明见解析；（2）2()(2),[21,21]()f x x k x k k k Z =-∈-+∈.
【分析】（1）通过证明(2)()f x f x +=成立得解；（2）先求解[1,1]x ∈-时，2()f x x =，再通过周期为2得(2)()f x k f x -=可求解当[21,21]x k k ∈-+时函数()f x 的解析式
【解析】解：（1）因为()(2)[(1)1]11()()f x f x f x f x f x ⎡⎤+=++=-+=-=⎣⎦， 所以：()f x 是以2为周期的函数；
（2）∵当[0,1]x ∈时，2()f x x =，函数()f x 是定义在R 上的偶函数
∴当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，
∴[1,1]x ∈-时，2()f x x =，
∵()f x 是以2为周期的函数，即(2)()f x k f x -=，()k ∈Z
设[21,21]x k k ∈-+，则2[1,1]x k -∈-，
2(2)(2)f x k x k ∴-=-，
即2()(2),[21,21]()f x x k x k k k Z =-∈-+∈.
22．已知函数2()21f x x ax =--，且(2)(2)f x f x +=-.
(1)求函数()y f x =的解析式；
(2)若()()g x f x mx =+在[1,1]-上时单调函数，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)2()41y f x x x ==--.
(2)[6,)(,2]+∞-∞
【分析】（1）利用函数的对称性和二次函数的性质进行求解即可；
（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论法进行求解即可.
(1)
解：因为(2)(2)f x f x +=-，
所以函数()y f x =的对称轴为：2x =，
函数2()21f x x ax =--的对称轴为：x a =，所以有2a =，
即2()41y f x x x =
=--.
(2)
解：2()()(4)1g x f x mx x m x =+=+--， 该函数的对称轴为：42m x -=-， 当412
m -≤-时，函数在[1,1]-上单调递减，解得 2m ≤； 当412
m --≤-时，函数在[1,1]-上单调递增，解得6m ≥， 综上所述：实数m 的取值范围为[6,)(,2]+∞-∞.
23．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．
(1)求证：点(1,2)-是函数32()3f x x x =+图象的对称中心；
(2)已知函数32()3f x x x =+，求(2021)(2020)(2019)(2018)f f f f -+-++的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)8.
【分析】（1）令()(1)2g x f x =--，利用单调性的定义证明()g x 是奇函数即可；
（2）根据条件可得()()0g x g x +-=，即(1)(1)4f x f x -+--=，将数字直接代入计算即可.
(1)
证明：因为32()3f x x x =+，令()(1)2g x f x =--，
所以32()(1)3(1)2g x x x =-+--
3223(331)3(21)23x x x x x x x =-+-+-+-=-
即3()3g x x x =-，33()()3()3()g x x x x x g x -=---=-+=-
所以()g x 是奇函数．
由题意，点(1,2)-是函数32()3f x x x =+图象的对称中心．
(2)
由（1）知函数32()3f x x x =+的图像的对称中心为(1,2)-，
所以()()(1)2(1)20g x g x f x f x +-=--+---=，
所以(1)(1)4f x f x -+--=，
所以(2021)(2019)=(2020)(2018)=4f f f f -+-+，
所以(2021)(2020)(2019)(2018)=8f f f f -+-++．
24．设函数()()R y f x x =∈.
(1)若对任意实数a ，b 有()()()f a b f a f b +=+成立，且当0x >时，()0f x >； ①判断函数的增减性，并证明；
②解不等式：()()2560f t f t ++<；
(2)证明：“()()R y f x x =∈图象关于直线x a =对称”的充要条件是“任意给定的R x ∈，
()2()f a x f x -=”.
【答案】(1)①函数()y f x =为R 上增函数，证明见解析；②{|51}t t -<<-
(2)证明见解析
【分析】（1）①利用赋值法和单调性的定义进行证明，②先利用赋值法得到()00=f ，再利用单调性和()()()f a b f a f b +=+进行变形求解；
（2）结合函数的性质，从充分性、必要性两方面进行证明.
(1)
解：①函数()y f x =为R 上增函数，证明如下：
由()()()f a b f a f b +=+，
得()()()f a b f a f b +-=，
对于12,R x x ∈，且12x x >，则120x x ->，
则()()()12120f x f x f x x -=->，
所以当12x x >时，有()()12f x f x >，
所以函数()y f x =为R 上增函数.
②由①得：()()2560f t f t ++<可化为2[(5)6]0f t t ++<，
取0b =，得()()()0f a f a f =+，解得()00=f ，
又因为函数()y f x =为R 上增函数，
所以2(5)60t t ++<，解得51t -<<-
即()()2560f t f t ++<的解集为{|51}t t -<<-.
(2)
证明：因为()y f x =图象关于直线x a =对称，
所以()()f a x f a x =-+，令a x t -=，
则x a t =-，2a x a t +=-，
所以()(2)f t f a t =-，即()(2)f x f a x =-成立；
若()(2)f x f a x =+，令x a t =-，则2a x a t -=+，
即()()f a t f a t -=+，即()()f a x f a x =-+成立，
即()y f x =图象关于直线x a =对称；
所以“()()R y f x x =∈图象关于直线x a =对称”的充要条件
是“任意给定的R x ∈，()2()f a x f x -=”.
25．已知函数()21
f x x =-+. (1)利用函数单调性定义证明()21f x x =-
+在区间()1,-+∞上的单调性； (2)请利用（1）的结论，说出()21
f x x =-+在区间(),1-∞-上的单调性（不用证明）； (3)利用本题中（1）（2）得到的结论，求函数()21f x x =-
+在区间()5,2--上的值域. 【答案】(1)证明见解析
(2)()21
f x x =-
+在区间(),1-∞-上单调递增 (3)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）根据函数图象的变换，结合函数的对称性与单调性求解即可；
（3）根据函数的单调性，结合函数的值域求解即可.
(1)
设1x ，2x 是区间()1,-+∞上的任意两个实数，且12x x <，则
()()()()()()()()212112121212211222111111x x x x f x f x x x x x x x +---⎛⎫-=---=-=- ⎪++++++⎝⎭ 由121x x -<<，得210x x ->，()()12120x x ++> 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.
故()21f x x =-
+在区间()1,-+∞上单调递增. (2)
()21f x x =-+由反比例函数()2f x x
=-向左平移得到 所以()21
f x x =-+图像关于点()1,0-对称 由（1）知()21f x x =-
+在区间()1,-+∞上单调递增 所以()21
f x x =-
+在区间(),1-∞-上单调递增. (3) 因为()()5,2,1--⊆-∞-，
由（1）（2）知()21
f x x =-+在区间()5,2--上单调递增 所以()()max 22f x f =-=，()()min 1
52f x f =-=.
即()21f x x =-+在区间()5,2x ∈--上的值域为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
.。