湖北省部分重点中学2023-2024学年高三上学期第二次联考数学试题含答案

湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考
高三数学试卷
试卷满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U R =，集合{}
02A x x =≤≤，{}1,1,2,4B =-，那么阴影部分表示的集合为（
）
A ．{}1,4-
B ．{}1,2,4
C ．{}1,4
D ．{}
1,2,4-2．已知复数z 满足
2323z i
i z
+=-，则z =（）
A ．3
B ．
C ．7
D ．13
3．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A ，B 分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P 为圆锥的顶点，若圆锥的
底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（
）
A ．
128
3
πB ．32π
C ．
96162
3+D ．(π4．在平面直角坐标系中，()1,1A ，()2,3B ，则向量OA 在向量OB
上的投影向量为（
）
A ．,1313⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭
B ．1015,1313⎛⎫
⎪⎝
⎭
C ．,22⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭
D ．55,22⎛⎫
⎪⎝⎭
5．若55sin 1213πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（
）
A ．119
169-
B ．50169
-
C ．
119169
D ．
50169
6．设A ，B 为任意两个事件，且A B ⊆，()0P B >，则下列选项必成立的是（）
A ．()()P A P A
B >B ．()()P A P A B ≥
C ．()()
P A P A B
<D ．()(
)
P A P A B
≤7．已知sin 1x
e x ax +≥+对任意,[)0x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为（）
A ．(2]
,-∞B ．[2,)
+∞C ．(1]
,-∞D ．[1,)
+∞8．斜率为13的直线l 经过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点1F ，交双曲线两条渐近线于A ，B 两点，
2F 为双曲线的右焦点且22AF BF =，则双曲线的离心率为（
）
A B ．
5
2
C ．
102
D ．
153
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．下列结论正确的是（
）
A ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B ．若随机变量ξ，η满足32ηξ=-，则()()32
D D ηξ=-C ．若随机变量()
2~4,N ξσ，且()60.8P ξ<=，则()260.6
P ξ<<=D ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2
4.712χ=．依据0.05α=的独立性检验0.05()3841x =．
，可判断X 与Y 有关）10．下列命题正确的是（
）
A ．若{}n a 、{}n b 均为等比数列且公比相等，则{}n n a b +也是等比数列
B ．若{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列
C ．若{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，则n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列
D ．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()
*0N n a n >∈”是“{}n S 为递增数列”的充分不必要条件11．已知236a b ==，则下列关系中正确的是（）
A ．4
a b +>B ．2
ab >C ．2
2
8
a b +<D ．()()2
2
112
a b -+->12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，1AD =，PC 与底面ABCD 所成角
的正切值为
2
，点M 为平面ABCD 内一点，且()01AM AD λλ=<<，点N 为平面PAB 内一点，NC =，下列说法正确的是（
）
A ．存在入λ使得直线P
B 与AM 所成角为6
πB ．不存在λ使得平面PAB ⊥平面PBM C ．若22λ=
，则以P 为球心，PM 为半径的球面与四棱锥P ABCD -各面的交线长为264
D ．三棱锥N ACD -外接球体积最小值为
55
6
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．6
21x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中3
x 的系数为______．
14．与直线3
y x =
和直线y =都相切且圆心在第一象限，
的圆的方程为______．15．已知函数()
12()log 421x x f x x +=++-，若()()213f a f a -<+，则实数a 的取值范围为______．16．欧拉函数()*
()N n n ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数（公约数只有1
的两个正整数称为互质整数），例如：()32ϕ=，()42ϕ=，则()8ϕ=______；若()
2
2n a
n b ϕ=，则n b 的最大值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）
在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2tan b A B c B +=，BC 边的中线长为2．（1）求角A ；
（2）求边a 的最小值．18．（本题满分12分）
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()
*132N n n a S n +=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项m d ，k d ，p d （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
19．（本题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为6的等边三角形，16CC =，160ACC ∠=︒，D ，E 分别是线段AC ，1CC 的中点，平面ABC ⊥平面11C CAA ．
（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；
（2）若点P 为线段11B C 上的中点，求平面PBD 与平面BDE 的夹角的余弦值．20．（本题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左焦点为()11,0F -，且过点81,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）过1F 作一条斜率不为0的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点，D 为椭圆的左顶点，若直线DP 、DQ 与直线
:40l x +=分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为R ，则MR NR ⋅是否为定值？若为定值，请求出该定值；
若不为定值，请说明理由．21．（本题满分12分）
甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ．
（1）求2X 的概率分布列并求()2E X ；
（2）求证：()()
*32N 2n E X n n ⎧⎫-≤∈⎨⎬⎩
⎭
且为等比数列，并求出()n E X *
N ()2n n ≥∈且．
22．（本题满分12分）已知函数()()()ln 11ln e x f x a x x
+=
+-，()x
ex
h x e =
．（1）当1x >时，求证：13()22
h x x >-
+；（2）函数()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求证：
32
1
a x e x >．
湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考
高三数学试卷参考答案
123456789101112A B
C
B
A
D
A
B CD
BD
ABD
BCD
13．20
-14．2
2
2(1)(1)2x y -+-=
15．2,43⎛⎫
-
⎪⎝⎭16．4；
94
17．解：（1）因为()tan tan 2tan b A B c B +=，所以sin sin 2sin sin sin cos cos cos A B C B
B A B B ⎛⎫+=
⎪⎝⎭
，sin cos cos sin 2sin sin sin cos cos cos A B A B C B
B A B B +⎛⎫=
⎪⎝⎭
，sin sin 2sin sin cos cos cos B C C B A B B
=
因为sin 0B >，sin 0C >，cos 0B ≠，所以1cos 2A =
，又0A π<<，所以3
A π
=．（2）因为BC 边的中线长为2，所以4AB AC += ，所以22
2cos 16c b bc A ++=，
即22162b c bc bc +=-≥，解得16
3
bc ≤
，当且仅当b c =时取等号．所以222
1621623a c b bccosA bc =+-=-≥
，433
a ∴≥所以a 的最小值为
43
3
．18．（1）由题意知：当1n =时，1132a q a =+①当2n =时，()2
11132a q a a q =++②
联立①②，解得12a =，4q =．所以数列{}n a 的通项公式124n n a -=⨯．（2）由（1）知124n n a -=⨯，124n
n a +=⨯所以1(21)n n a a n d +=++-．所以1
16411
n n n n a a d n n -+-⨯==++．
设数列{}n d 中存在3项m d ，k d ，p d （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列．
则2
k m p d d d =⋅，所以2
111646464111k m p k m p ---⨯⨯⨯=
⋅++⎛⎫ ⎪⎝+⎭，即222
2
364364(1)(1)(1)
k m p k m p -+-⨯⨯=+++又因为m ，k ，p 成等差数列，所以2k m p
=+所以()()()2
111k m p +=++化简得2
2k k mp m p +=++所以2
k mp =又2k m p =+，所以k m p ==与已知矛盾．
所以在数列{}n d 中不存在3项m d ，k d ，p d 成等比数列．19．（1）证明：连接1AC 四边形11CC A A 是菱形11A C AC ∴⊥，又D ，E 分别为AC ，1CC 的中点
1DE AC ∴∥1A C DE ∴⊥，
又ABC △为等边三角形，D 为AC 的中点BD AC
∴⊥∴平面ABC ⊥平面11C C A A ，平面ABC 平面11CC A A AC =，BD ⊂平面ABC
BD ∴⊥平面11CC A A ，又1A C ⊂平面11CC A A ，1BD A C
∴⊥又1A C DE ⊥，BD DE D = ，BD ，DE ⊂平面BDE
1A C ∴⊥平面BDE
（2）16AC CC == ，160ACC ∠=︒，1C CA ∴△为等边三角形
∴D 是AC 的中点，1C D AC ∴⊥由（1）得BD ⊥平面11CC A A
∴以D 为原点，
DB ，DA ，1DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，
()33,0,0B ，()10,0,33C ，()0,3,0C -，()
10,6,33
A 11333,0222C P C
B ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
333,,3322P ⎛∴ ⎝，()
33,0,0DB ∴= ，333,,3322DP ⎛= ⎝ 设平面PBD 的一个法向量为(),,n x y z =
，
则00n DB n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即333
33022
330x y z ⎧=⎪⎨⎪+=⎩+取1z =，则3y =-．所以()
0,3,1n =-
是平面PBD 的一个法向量
由（1）得(10,9,33m CA ==
是平面BDE 的一个法向量
153513cos ,26||||6313
m n m n m n ⋅∴〈〉===
⨯
即平面PBD 与平面BDE 的夹角的余弦值为
51326
20．解：（1）由题知，椭圆C 的右焦点为()21,0F ，且过点81,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
所以2
2
8822633
a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以3a =．又1c =，所以2
8b =，
所以C 的标准方程为22
198
x y +=．
（2）设直线PQ 的方程为-1x ty =，1122(,),(,)
P x y Q x y
由22119
8x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640
t y ty +--=所以1221689t y y t +=
+，12
264
89
y y t -=+，直线DP 的方程为11(3)3y y x x =
++，令4x =-得，11
1132
M y y y x ty --==++同理可得2
22
N y y ty -=
+所以()1212
2
121212||||||(2)(2)24
M N y y y y MR NR y y ty ty t y y t y y ⋅==
=+++++2226416
64324(89)9
t t t -=
=
-+++故MR NR ⋅为定值
169。

21．解：（1）2X 可能取0，1，2，3则222114
(0)333381
P X ==
⨯⨯⨯=；2211112114
(3)3333333381
P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=；
2122221222212222132
(1)333333333333333381P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=；
222241(2)1(0)(1)(3)81
P X P X P X P X ==-=-=-==
，分布列为：
2
X 01
2
3
P
481
32
814181481
243241414()0123818181819
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=
（3）由题可知1122122(1)(0)(1)(2)
333333n n n n P X P X P X P X +⎛⎫
===+⨯
+⨯=+⨯= ⎪⎝⎭
44
(0)(1)(2)
99
n n n P X P X P X ==+=+=1222112(2)(1)(2)(3)
333333n n n n P X P X P X P X +⎛⎫
==⨯=+⨯+⨯=+= ⎪⎝⎭
44
(1)(2)(3)99
n n n P X P X P X =
=+=+=1111
(3)(2)(2)
339
n n n P X P X P X +==⨯===又(0)(1)(2)1
n n n P X P X P X =+=+== 1111()1(1)2(2)3(3)
n n n n E X P X P X P X ++++=⨯=+⨯=+⨯=1215
(0)(1)(2)2(3)99
n n n n P X P X P X P X ==+
=+=+=1121
()1(1)(2)(3)1()
333
n n n n n E X P X P X P X E X +=+=+=+==+*1313()()(2)232n n E X E X n n N +⎛⎫
∴-
=-≥∈ ⎪⎝⎭
且231()218
E X -
= 2
311()2183n n E X -⎛⎫
∴-=⨯ ⎪
⎝⎭
*113
()(2)
232
n
n E X n n N ⎛⎫∴=+≥∈ ⎪⎝⎭且22．解：（1）1
313()()2
222x ex F x h x x x e ⎛⎫⎛⎫=--
+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
则1
11
1122()22x x x x x e F x e e -----+'=+=
令()()1
221x m x x e
x -=-+>，则()12
x m x e -'=-
∴()m x 在()1,ln 21+上单调递减在)ln 21(,++∞上单调递增．
()()()ln 2121ln 20
m x m ≥+=->()'0F x ∴>，()F x 在(1,)+∞上单调递增。

()(1)0F x F ∴>=，即(1,)x ∈+∞时，13()22
h x x >-+成立。

（2）2
(1)ln ()a x e x
f x x --'=()f x 有两个极值点12,x x ，1122
(1)ln 0(1)ln 0a x e x a x e x --=⎧∴⎨--=⎩①要证321
a x e x >成立，即证21ln ln 3x x a ->成立。

令11t lnx =，2212()t lnx t t =<，即证213t t a ->成立．
①式可化为1212(1)0(1)0
t t a e et a e et ⎧--=⎨--=⎩，则12121t t et et a e e ==-令()t et h t e =，1
1()t t h t e --'=，()h t ∴在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减。

()11h =，要使()1h t a =-有两个零点，则12
01t t <<<当()0,1t ∈时，t
et t e >，直线y t =与1y a =-交于1(,1)t a '-111t t a
'∴<=-当(1,)t ∈+时，由（1）知13()22
h t t >-+而1y a =-与1322
y t =-+交于2(,1)t a '-，则221t t '<<，221t a '=+212
1(21)(1)3t t t t a a a ''∴->-=+--=成立。

321a
x e x ∴>。