全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总结

全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总
结
单选题
1、定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（ ）
A ．(0,1100)
B ．(1100,+∞)
C ．(0,100)
D ．(100,+∞) 答案：D
分析：利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解.
因为函数f(x)为奇函数，
所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，
所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)，
即f(lgx)>f (2)，
又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增，
所以f(x)在R 上单调递增，
所以lgx >2，
解得x >100.
故选：D.
2、已知0<a <1,b <−1，则函数y =a x +b 的图像必定不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案：A
解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.
因为0<a <1，故y =a x 的图象经过第一象限和第二象限，
且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.
因为b <−1，故y =a x 的图象向下平移超过一个单位，故y =a x +b 的图象不过第一象限.
故选：A ．
3、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满
足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（ ）
A ．23天
B ．33天
C ．43天
D ．50天
答案：B
分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=120⋅2110t ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间. {10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20⇒{a 10=2,m =120
，故a =2110，故ℎ=120⋅2110t ， 令ℎ=12，∴2t 10=10,∴t 10lg2=1，故t =100.3≈33，
故选：B.
4、已知函数f(x)=9+x 2x ，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数
a 的取值范围是（ ）
A ．(−∞,134]
B ．(134,+∞)
C ．(0,134)
D ．（1，4）
答案：A
分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.
由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可．
当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，
由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．
当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ，
所以254≥3+a ，可得a ≤134．
故选：A
5、已知函f (x )=log 2(√1+4x 2+2x)+3，且f (m )=−5，则f (−m )=（ ）
A ．−1
B ．−5
C ．11
D ．13
答案：C
分析：令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，则先判断函数g (−x )+g (x )=0，进而可得f (−x )+f (x )=6，即f (m )+f (−m )=6，结合已知条件即可求f (−m )的值.
令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，
因为g (x )+g (−x )=log 2(√1+4x 2+2x)+log 2(√1+4x 2−2x)
=log 2(1+4x 2−4x 2)=0，
所以f (−x )+f (x )=g (−x )+3+g (x )+3=6，
则f (m )+f (−m )=6，又因为f (m )=−5，则f (−m )=11，
故选：C.
6、设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（ ）
A ．是偶函数，且在 (12，+∞)单调递增
B ．是奇函数，且在 (−12，12)单调递增
C ．是偶函数，且在(−∞，−12)单调递增
D ．是奇函数，且在 (−∞，−12)单调递增
答案：B
分析：先求出f (x )的定义域结合奇偶函数的定义判断f (x )的奇偶性，设t ＝|2x+12x−1|，则y ＝ln t ，由复合函数的单调性判断f (x )的单调性，即可求出答案.
解：由{2x +1≠02x −1≠0 ，得x ≠±12． 又f （﹣x ）＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣（ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|）＝﹣f （x ），
∴f （x ）为奇函数，
由f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|＝ln |
2x+12x−1|， ∵2x+12x−1=1+22x−1=1+1
x−12．
可得内层函数t ＝|2x+12x−1|的图象如图，
在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减，在（−12，12）上单调递增， 又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f （x ）在（−12，12）上单调递增，
在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减．
故选：B ．
7、已知y 1=(13)x
，y 2=3x ，y 3=10−x ，y 4=10x ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：A
分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.
y 2=3x 与y 4=10x 是增函数，y 1=(13)x
与y 3=10−x =(110)x 是减函数，在第一象限内作直线x =1，
该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ．
故选：A
8、化简√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√b a 3 (a >0，b >0)的结果是（ ）
A ．b a
B ．a b
C ．a 2b
D ．b 2a 答案：B
分析：直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.
√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√a 3=a 32b⋅a 16b 13(a 14b 12)4⋅a −13⋅b 13 =a 32+16−1+13b 1+13−2−13=ab −1=a b 故选：B 9、函数f (x )=√3−x +log 13
(x +1)的定义域是（ ） A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3]
答案：C
分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0
，即得. 由题意得{3−x ≥0x +1>0
， 解得−1<x ≤3，
即函数的定义域是(−1,3].
故选：C.
10、若函数y =(m 2−m −1)⋅m x 是指数函数，则m 等于（ ）
A ．−1或2
B ．−1
C ．2
D ．12
答案：C
分析：根据题意可得出关于实数m 的等式与不等式，即可解得实数m 的值.
由题意可得{m 2−m −1=1m >0m ≠1
，解得m =2. 故选：C.
填空题
11、方程lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)的解为 __________ .
答案：x =−2
分析：由题意知lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，可求出x 的值，再结合真数大于零进行检验，从而可求出最终的解.
由lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，得x 2−x −2=6−x −x 2，所以x =±2，又因为x 2−x −2>0且6−x −x 2>0，所以x =−2；
所以答案是：x =−2.
12、已知函数f (x )的定义域是[-1，1]，则函数f (log 2x )的定义域为____．
答案：[12,2]
分析：根据给定条件列出使函数f (log 2x )有意义的不等式组，再求出其解集即可.
因函数f (x )的定义域是[-1，1]，则在f (log 2x )中，必有−1≤log 2x ≤1，
解不等式可得：{12≤x ≤2x >0
，即12≤x ≤2， 所以函数f (log 2x )的定义域为[12,2].
所以答案是：[12,2]
13、函数f(x)=4+log a (x −1)(a >0且a ≠1)的图象恒过定点_________
答案：(2,4)
分析：令对数的真数为1，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；
解：因为函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)，
令x−1=1，解得x=2，所以f(2)=4+log a1=4，即函数f(x)恒过点(2,4)；
所以答案是：(2,4)
解答题
14、对于函数f(x)，若其定义域内存在实数x满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“伪奇函数”．
（1）已知函数f(x)=x−2
x+1
，试问f(x)是否为“伪奇函数”？说明理由；
（2）若幂函数g(x)=(n−1)x3−n(n∈R)使得f(x)=2g(x)+m为定义在[−1,1]上的“伪奇函数”，试求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使得f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−3是定义在R上的“伪奇函数”，若存在，试求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案：（1）不是；（2）[−5
4
,−1]；（3）[1−√3,2√2]．
分析：（1）先假设f(x)为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；
（2）先根据幂函数确定出g(x)的解析式，然后将问题转化为“2m=−(2x+2−x)在[−1,1]上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出m的取值范围；
（3）将问题转化为“2m2−6=−(4x+4−x)+2m(2x+2−x)在R上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出m的取值范围.
（1）假设f(x)为“伪奇函数”，∴存在x满足f(−x)=−f(x)，
∴−x−2
−x+1=−x−2
x+1
有解，化为x2+2=0，无解，
∴f(x)不是“伪奇函数”；
（2）∵g(x)=(n−1)x3−n(n∈R)为幂函数，∴n=2，∴g(x)=x，∴f(x)=2x+m，
∵f(x)=2x+m为定义在[−1,1]的“伪奇函数”，
∴2−x+m=−2x−m在[−1,1]上有解，
∴2m=−(2x+2−x)在[−1,1]上有解，
令2x=t∈[1
2,2]，∴2m=−(t+1
t
)在t∈[1
2
,2]上有解，
又对勾函数y=t+1
t 在[1
2
,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，
且t=1
2时，y=5
2
，t=2时，y=5
2
，
∴y min=1+1=2,y max=5
2，∴y=t+1
t
的值域为[2,5
2
]，
∴2m∈[−5
2,−2]，∴m∈[−5
4
,−1]；
（3）设存在m满足，即f(−x)=−f(x)在R上有解，
∴4−x−m⋅2−x+1+m2−3=−(4x−m⋅2x+1+m2−3)在R上有解，
∴2m2−6=−(4x+4−x)+2m(2x+2−x)在R上有解，
令2x+2−x=t∈[2,+∞)，取等号时x=0，
∴2m2−6=−(t2−2)+2mt在[2,+∞)上有解，
∴t2−2mt+2m2−8=0在[2,+∞)上有解（*），
∵Δ=4m2−4(2m2−8)≥0，解得m∈[−2√2,2√2]，
记ℎ(t)=t2−2mt+2m2−8，且对称轴t=m，
当m∈[−2√2,2]时，ℎ(t)在[2,+∞)上递增，
若（*）有解，则ℎ(2)=22−2mt+2m2−8≤0，∴m∈[1−√3,2]，
当m∈(2,2√2]时，ℎ(t)在[2,m)上递减，在(m,+∞)上递增，
若（*）有解，则ℎ(m)=m2−2m2+2m2−8=m2−8≤0，即m2−8≤0，此式恒成立，∴m∈(2,2√2]，
综上可知，m∈[1−√3,2√2].
小提示：关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.
15、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本ℎ(x)万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x)=180x+100；当产量大于50万盒时ℎ(x)=x2+60x+3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
答案：(1)y={20x−300,0≤x≤50
−x2+140x−3700,x>50
,x∈N
(2)70万盒
分析：（1）根据题意分0≤x≤50和x>50两种情况求解即可；
（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.
（1）当产量小于或等于50万盒时，y=200x−200−180x−100=20x−300，当产量大于50万盒时，y=200x−200−x2−60x−3500=−x2+140x−3700，故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为
y={20x−300,0≤x≤50
−x2+140x−3700,x>50
,x∈N （2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；
当x>50时，y=−x2+140x−3700，
当x=140
2
=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．
因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．。