“定区间动轴法”求区间最值

“定区间动轴法”求区间最值
所谓“定区间动轴法”，就是将自变量所在区间[,]a b （或(,)a b ）标在数轴上，无论该区间是动的还是静的，根据运动的相对性，都将其看作“静止”的，然后分对称轴0x a <、a ≤0x ≤b 、0x b >三种情况进行讨论，特别地，如果二次函数图象开口向上求区间最大值或二次函数图象开口向下求区间最小值时，只需分02a b x +<和0x ≥2
a b +两种情况进行讨论.这样让区间标在数轴上不动，而让二次函数图象的对称轴移动，分类方法非常明确、思路清晰、条理性强，这样可做到不重不漏，并且简捷易行.
1．条件中给出区间，直接采用“定区间动轴法”求区间最值
例1已知2()43,f x x x x R =++∈，函数()g t 、()h t 表示函数()f x 在区间[,1]t t +上的最小值，最大值，求()g t 、()h t 表达式.
分析：此题属于区间最值问题，结合图形，将区间[,1]t t +在数轴上相对固定，让对称轴2x =-的区间[,1]t t +内外移动，即分成2t -<；t ≤2-≤1t +；21t ->+三种情况进行讨论，结合图形便可轻松求出函数()f x 在区间[,1]t t +上的最小值.而只需分2-≤(1)2t t ++与(1)22
t t ++->两种情况讨论便可求出()f x 在区间[,1]t t +上的最大值. 解：由22
()43(2)1f x x x x =++=+-，知图象关于2x =-对称，结合图象知，
当2t -<，即2t >-时，2()()43g t f t t t ==++； 而当t ≤2-≤1t +，即3-≤t ≤2-时，()(2)1g t f =-=-
当12t +<-，即3t <-时，2()(1)68g t f t t t =+
=++. ∴2268,(,3)()1, [3,2]43,(2,)t t t g t t t t t ⎧++∈-∞-⎪=-∈--⎨⎪++∈-+∞⎩
.
当2-≤
(1)2t t ++，即t ≥52
-时，2()(1)68h t f t t t =+=++当(1)22t t ++->，即52t <-时，2()()43h t f t t t ==++.
∴22568,[,)2()543,(,)2
t t t h t t t t ⎧++∈-+∞⎪⎪=⎨⎪++∈-∞-⎪⎩.
评注：本题采用了“定区间动轴法”， 分2t -<；t ≤2-≤1t +；21t ->+三种情况和2-≤(1)2t t ++；(1)22
t t ++->两种情况进行讨论，使本来因分类讨论带来的繁琐、思维混乱，变得脉络清晰、思维流畅、条理性强，降低了分类讨论中因分类不清带来的难度.此法是解决区间最值的一种非常有效的方法.该法是数形结合是重要体现，是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，用数形结合法解题，直观、便于发现问题，启发思考，有助于培养我们综合运用数学知识解决问题的能力.应用分类讨论思想的前提是：审题准确、切入方向正确、分类严谨.引起分类讨论的原因主要有：字母的符号、字母的大小、函数图象对称轴的位置等.有时分类讨论思想应用的很隐蔽，需要我们仔细发掘.在讨论时，要做到尽量简捷、不重不漏.当然，有时也可采用转化思想避开分类讨论，这需要有较强的转化能力与转化意识.
例2已知二次函数()y f x =的定义域为R ，(1)2f =且在x t =处（t ∈R ）取得最值，若()y g x =为一次函数，且2()()23f x g x x x +=+-
(1)求()y f x =的解析式
(2)若[1,2]x ∈-时，()f x ≥1-恒成立，求t 的取值范围
分析：（2）若[1,2]x ∈-时，()f x ≥1-恒成立，条件的实质即为：当[1,2]x ∈-时()
f x 的最小值在于或等于1-，从而将问题归结为区间最值问题.作出函数的大致图象，借助函数图象的直观性让区间定，对称轴动，分三种情况进行讨论.
解：(1)设2
()()f x a x t b =-+，∵()g x 为一次函数，∴1a = 又(1)2f =，∴2(1)2t b -+=，∴221b t t =-++，
∴()2
221f x x tx t =-++ (2)即min ()f x ≥1-
①当1t <-时，min [()]f x =(1)f -=24t +≥1-，得t ≥34
- ②当1-≤t ≤2时，min [()]()f x f t ==221t t -++≥1-
，得1t
≤1③当2t >时，min [()]f x =()2421f t =-+≥1-，得t ≤3
由①，②，③得：1t ≤3.
评注：给定自变量区间求解最值问题时，最重要的策略就是结合二次函数图象，利用对称轴与区间的位置关系，可直观显示相应的最值.
2．通过化归转化将问题归结为区间最值问题，再采用“定区间动轴法”求解
例3设函数2()45f x x x =--.
当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方. 分析：通过转化思想，将文字语言3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方，转
化为符号语言2()(3)(45)0g x k x x x =+--++>，当[1,5]
x ?时恒成立.而当[1,5]x ?时，2()(3)(45)0g x k x x x =+--++>恒成立只需min [()]0g x ，所以，本题的实质为区间最值问题.
解：当[1,5]x ?时，2()45f x x x =-++.
2()(3)(45)g x k x x x =+--++
2(4)(35)x k x k =+-+-
224203624
k k k x 骣--+÷ç=--÷ç÷ç桫， 2k >，∴
412
k -<. 又15x -＃， ① 当4112k --?，即26k <?时，取42k x -=， min ()g x ()2220361106444k k k -+轾=-=---犏
臌. 216(10)64,k ?<∴2
(10)640k --<， 则min ()0g x >. ②当412
k -<-，即6k >时，取1x =-， min ()g x ＝20k >. 由 ①、②可知，当2k >时，()0g x >，[1,5]x ?.
因此，在区间[1,5]-上，(3)y k x =+的图像位于函数()f x 图像的上方.
评注：因为2k >条件的限制，降低了问题的难度，使讨论的情况减少.很多问题通过转化思想都可以达到化生为熟、化未知为已知、化繁杂为简单的目的，体现了转化思想的重要性.本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉.
例4设a 为实数，记函数()f x =()g a ．
（Ⅰ）设t ，求t 的取值范围，并把()f x 表示为t 的函数()m t ，求()m t 和表达式及t 的取值范围．
（Ⅱ）求()g a .
分析：本题看似与区间最值无关，但通过换元、转化思想，可将问题化归为区间最值.
解：（I ）1t x =+
∴要使t 有意义，必须10x +≥且1x -≥0，即11x -≤≤．
[]22240t t =+，，≥，①
∴t 的取值范围是⎤⎦．
2112
t =-，
∴()221
1122
m t a t t at t a ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭，t ⎤∈⎦．
（II ）由题意知()g a 即为函数()212
m t at t a =
+-，t ⎤∈⎦的最大值． 注意到直线1(0)t a a =-≠是抛物线()212m t at t a =+-的对称轴，分以下几种情况讨论．
（1）当0a >时，函数()y m t =，t ⎤∈⎦
的图像是开口向上的抛物线的一段，由1
0t a
=-<知()m t 在⎤⎦上单调递增，∴()()22g a m a ==+．
（2）当0a =时，()m t t =，t ⎤∈⎦
，∴()2g a =．
（3）当0a <时，函数()y m t =，t ⎤∈⎦
的图像是 开口向下的抛物线的一段．
若1t a =-∈，即a <，则()g a m ==
若12]t a =-∈，即1[]22a ∈--，则()112g a m a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭
． 若()12t a =-∈+∞，，即102a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，，则()()22g a m a ==+．
综上有(
)
1
20
2
11
222
a a
g a a a
a
a
⎧
+-<<
⎪
⎪
⎪
=----
⎨
⎪
<
，，
，≤，
评注：此题也给我们启发：遇陌生或比较棘手的问题时，可采用化归、转化思想，将其转化为熟知的问题、简单的问题，从“数”方面难以入手时，可考虑借助形来说理.
例5求函数2
sin sin
y x p x q
=++的最值.
分析：由已知条件的形式特点，可采用配方法，从而将问题转化为二次函数区间最值问题，但要注意1
-≤sin x≤1的条件限制，在此条件限制下，其实质即为区间最值问题，采用“定”区间“动”轴法，结合图形便可求出函数()
f x在区间[1,1]
-上的最值.
解：
2
22
4
sin sin(sin)
24
p q p
y x p x q x
-
=++=++
(1)若1
-≤
2
p
≤1，即2
-≤p≤2，则当sin
2
p
x=-时，
2
min
4
4
q p
y
-
=；最大值在sin1
x=或sin1
x=-时取得.
(2)若1
2
p
-<-，即2
p>，则当sin1
x=-时，
min
1
y p q
=-+；当sin1
x=时，max
1
y p q
=++.
(3)若1
2
p
->，即2
p<-，则当sin1
x=时，
min
1
y p q
=++；当sin1
x=-时，max
1
y p q
=-+.
如图所示：
评注：数形结合是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，用数形结合法解题，直观、便于发现问题，启发思考，有助于培养我们综合运用数学知识解决问题的能力
.
(1) (3)。