垂径定理练习题及答案

垂径定理练习题及答案
一、选择题
1. 在一个圆中，如果一条直径的端点与圆上一点相连，这条线段的中点与圆心的距离是直径的（）
A. 一半
B. 半径
B. 直径
D. 无法确定
2. 垂径定理指出，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是（）
A. 直径
B. 半径
C. 线段
D. 无法确定
3. 圆内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形是（）
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 无法确定
4. 如果圆的半径为r，那么圆的直径是（）
A. 2r
B. r
C. r的平方
D. 2r的平方
二、填空题
1. 垂径定理告诉我们，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是______。

2. 圆的内接四边形中，如果对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等，等于______。

3. 已知圆的半径为5cm，那么圆的直径是______。

三、解答题
1. 已知一个圆的半径为7cm，圆内有一点P，连接点P和圆心O，得到线段OP。

如果OP的长度为4cm，求点P到圆上任意一点的距离。

2. 一个圆的直径为14cm，圆内接四边形ABCD，其中AC为直径。

已知AB=6cm，求BC的长度。

四、证明题
1. 证明：如果一个三角形是直角三角形，且斜边是圆的直径，那么这个三角形的外接圆的直径是这个三角形的斜边。

2. 证明：如果一个圆的内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等。

答案：
一、选择题
1. A
2. A
3. B
4. A
二、填空题
1. 直径的一半
2. 圆的直径
3. 10cm
三、解答题
1. 点P到圆上任意一点的距离是3cm（利用勾股定理，OP为直角三角形的一条直角边，半径为斜边，另一直角边为点P到圆上任意一点的距离）。

2. BC的长度是8cm（利用圆内接四边形的性质，对角线互相平分，且AC是直径，所以BD=7cm，再利用勾股定理求BC）。

四、证明题
1. 证明：设三角形ABC是直角三角形，其中∠C为直角，AC为直径。

设圆心为O，连接OB，OC。

由于OB=OC（圆的半径相等），且∠C为直角，所以三角形OBC是等腰直角三角形，OC=BC。

又因为AC是直径，所以三角形ABC的外接圆的圆心是C，圆的直径是AC，即三角形的外接圆的直径是三角形的斜边。

2. 证明：设圆的内接四边形为ABCD，其中AC是直径，连接BD。

由于AC是直径，所以∠ADB=∠CDB=90°。

因此，三角形ABD和BCD都是直角三角形。

又因为AC平分BD，所以AB=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。

同理，由于AC是直径，所以∠ABC=∠ADC=90°，且AC平分BD，所以AB=CD。

因此，AD=BC，所以四边形ABCD的对角线长度相等。