2019_2020学年高中数学综合测评(含解析)北师大版必修3

综合测评
时间：120分钟满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某校有学生4 500人，其中高三学生有1 500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本，则样本中高三学生的人数为( )
A．50 B．100 C．150 D．20
2．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A.2
3
B.
1
2
C.
1
3
D.
1
6
4．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A.3
10
B.
1
5
C.
1
10
D.
1
12
5．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )
A．45人 B．50人 C．55人 D．60人
6．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为( )
A．2 B．7 C．8 D．128
7．如图，正方形ABCD 的边长为2，△EBC 为正三角形．若向正方形ABCD 内随机投掷一个质点，则它落在△EBC 内的概率为( )
A.
32 B.34
C.12
D.14
8．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45
9．在区间[0,10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是
( )
A.
110 B.1010 C.π40 D.π4
10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体
感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A ．甲地：总体平均值为3，中位数为4
B ．乙地：总体平均值为1，总体方差大于0
C ．丙地：中位数为2，众数为3
D ．丁地：总体平均值为2，总体方差为3 11．阅读下列程序： 输入x ：
If x ＜0 Then
y ＝π
2x ＋3
Else
If x ＞0 Then y ＝－π
2
x ＋5
Else y ＝0 End If End If 输出y .
如果输入x ＝－2，则输出结果y 为( ) A ．3＋π B．3－π C．π－5 D ．－π－5
12．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S
4的概率为( )
A.14
B.34
C.49
D.916
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为________．
14．近期，一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．
15．已知变量x ，y 的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，若b ^
＝0.51，x ＝61.75，y ＝38.14，则回归方程为________．
16．设点(p ，q )在|p |≤3，|q |≤3中按均匀分布出现，则方程x 2＋2px －q 2
＋1＝0的两根都是实数的概率为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
．．．
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下．．雨．的概率．
18．(本小题满分12分)某商场为了促销实行优惠措施，若购物金额x 在800元以上，打8折，若购物金额x 在500元以上800元以下(含800元)，则打9折，否则不打折．设计算法框图，要求输入购物金额x ，能输出实际交款额，并写出算法语句．
19．(本小题满分12分)某网站针对“某假期放假安排”开展网上问卷调查，提出了A ，
B 两种放假方案，调查结果如表(单位：万人)：
人群 青少年 中年人 老年人 支持A 方案 200 400 800
支持B 方案
100
100
n
已知从所有参与调查的人中任选1人是老年人的概率为3
5
.
(1)求n 的值；
(2)从参与调查的老年人中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人支持B 方案的概率．
20．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．
(1)计算甲班的样本方差；
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．
21．(本小题满分12分)目前全世界面临能源紧张问题，降低油耗成为汽车制造厂家技术革新的目标．下表提供了某品牌汽车在技术革新后连续行驶x (百公里)与相应的油耗y (L)的几组对照数据．
x 1 2 3 4 y
6.4
13
18
25
(1) (2)若该品牌汽车在技术革新前行驶5百公里的油耗为33 L ．试根据(1)求出的回归方程，预测现在汽车行驶5百公里比技术革新前降低多少升油耗．
22．(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 分组 低碳族的人数
占本组的频率
第一组 [25,30) 120 0.6
第二组 [30,35) 195 p
第三组 [35,40) 100
0.5 第四组 [40,45) a 0.4 第五组 [45,50) 30 0.3 第六组
[50,55]
15
0.3
(1)补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；
(2)从年龄在[40,50)岁的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．
综合测评
1．解析：因为该抽样是分层抽样，所以应在高三学生中抽取1 500×300
4 500
＝100(人)．
答案：B
2．解析：E 1与E 3，E 1与E 4均为互斥而不对立的事件． 答案：B
3．解析：从A ，B 中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6个
基本事件，满足两数之和等于4的有(2,2)，(3,1)2个基本事件，所以P ＝26＝1
3
.
答案：C
4．解析：随机取出2个小球得到的结果数有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1,2}，{1,5}，{2,4}，共3种，故选A.
答案：A
5．解析：成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2，则低于60分的频率是0.3.
设该班学生总人数为m ，则15
m
＝0.3，m ＝50.
6．解析：由算法框图知，y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x
，x ≥2，
9－x ，x ＜2.
∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8.
答案：C
7．解析：正方形的面积为4，S △EBC ＝1
2×2×2×sin 60°＝ 3
∴质点落在△EBC 内的概率为3
4
.故选B. 答案：B
8．解析：根据几何概型的概率公式，P ＝3－13－－2＝2
5
.
答案：B
9．解析：在区间[0,10]内随机取出两个数，设这两个数为x ，y ，则⎩⎪⎨
⎪
⎧
0≤x ≤10，0≤y ≤10，
若
这两个数的平方和也在区间[0,10]内，则⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤10，0≤y ≤10，
0≤x 2＋y 2≤10，
画出其可行域，由可行域知，
这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是10π×
1
4100＝π
40
.故选C.
答案：C
10．解析：根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能超过7，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3.
答案：D
11．解析：输入x ＝－2，则x ＝－2＜0成立，则y ＝π
2
×(－2)＋3＝－π＋3，则输出3
－π.
答案：B 12．解析：
设AB ，AC 上分别有点D ，E 满足AD ＝34AB 且AE ＝3
4
AC ，则△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE
＝34BC .∵点A 到DE 的距离等于点A 到BC 的距离的34，∴DE 到BC 的距离等于△ABC 高的14.当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC
的面积大于S 4，∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝342＝9
16.
答案：D
13．解析：由图2可知，鸡蛋占食品开支的比例为30
30＋40＋100＋80＋50
＝10%，结合图
1可知小波在一个星期的鸡蛋开支占总开支的比例为30%×10%＝3%.
14．解析：本题考查用样本估计总体．持反对态度的频率为1－1450＝18
25
，所以可估计该
地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×18
25
＝6 912(人)．
答案：6 912
15．解析：因为a ^
＝38.14－0.51×61.75＝6.647 5，所以回归方程为 y ^
＝0.51x ＋6.647 5.
答案：y ^
＝0.51x ＋6.647 5
16．解析：已知点(p ，q )组成了边长为6的正方形，S 正方形＝62
＝36.
由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数得Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)≥0，即p 2＋q 2
≥1.所以当点(p ，q )落在“正方形内且单位圆外”的阴影区域时，方程的两根都是正数．由图可知，阴影部分面积d ＝S 正方形－S 圆＝36－π.
所以原方程两根都是实数的概率为1－π
36
.
答案：1－π
36
17．解析：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任
选一天，西安市不下雨的概率为2630＝13
15
.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次
日不下雨的频率为7
8
.
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为7
8
.
18．解析：算法框图如图所示．
算法语句如下：
19．解析：(1)由题意得
n ＋800200＋400＋800＋100＋100＋n ＝3
5
，得n ＝400.
(2)支持A 方案的老年人有800
1 200×6＝4人，
支持B 方案的老年人有400
1 200
×6＝2人．
将支持A 方案的4人标记为1,2,3,4，将支持B 方案的2人标记为a ，b .
设M 表示事件“支持B 方案恰好1人”，所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1，a )，(1，b )，(2,3)，(2,4)，(2，a )，(2，b )，(3,4)，(3，a )，(3，b )，(4，a )，(4，b )，(a ，b )，共15种．
其中满足条件的有(1，a )，(1，b )，(2，a )，(2，b )，(3，a )，(3，b )，(4，a )，(4，
b )，共8种．故P (M )＝8
15
.
所以恰好有1人支持B 方案的概率为8
15
.
20．解析：(1)甲班的平均身高为
x ＝1
10
(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，
甲班的样本方差为
s 2＝1
10[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－
170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2
]＝57.2.
(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，用(x ，y )表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学的身高，则所有的基本事件有
(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，
而事件A 有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，
故P (A )＝410＝2
5
.
21．解析：(1)根据表中数据可分别求得：
x ＝2.5，y ＝15.6，∑4
i ＝1x i y i ＝186.4，∑4
i ＝1
x 2
i ＝30. 所以b ^＝186.4－4×2.5×15.630－4×2.5
2
＝6.08. a ^
＝15.6－6.08×2.5＝0.4.
所以回归直线方程为y ^
＝6.08x ＋0.4.
(2)把x ＝5代入(1)中所求的回归方程，估计该品牌汽车在技术革新后行驶5百公里的油耗为5×6.08＋0.4＝30.8 L ，比技术革新前油耗降低了33－30.8＝2.2 L.
22．解析：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，
所以高为0.3
5
＝0.06.补全频率分布直方图如下：
第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n ＝200
0.2
＝1 000.
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195
300
＝
0.65.
第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为 1 000×0.15＝150，所以a ＝150×0.4＝60.
(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30＝2:1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．
设[40,45)岁中的4人为a 、b 、c 、d ，[45,50)岁中的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有(a ，b )、(a ，c )、(a ，d )、(a ，m )、(a ，n )、(b ，c )、(b ，d )、(b ，m )、(b ，n )、(c ，d )、(c ，m )、(c ，n )、(d ，m )、(d ，n )、(m ，n )，共15种，其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a ，m )、(a ，n )、(b ，m )、(b ，n )、(c ，m )、(c ，n )、(d ，m )、(d ，n )，共8种．
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为P ＝8
15
.。