上海市嘉定区2012届中考一模(即期末)数学试题

A
B
C
D E F
图3
嘉定区2012届九年级上学期期末质量调研考试
数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共25题；
2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．二次函数2
)1(2+-=x y 的顶点坐标是（ ▲ ）
（A ）（1，2）； （B ）（1-，2）； （C ）（1，2-）； （D ）（1-，2-）. 2．将抛物线2x y =向右平移1个单位、再向下平移1个单位，所得到抛物线的表达式是（ ▲ ） （A ）1)1(2
++=x y ； （B ）1)1(2
--=x y ； （C ）1)1(2
-+=x y ； （D ）1)1(2
+-=x y ．
3．如图1，在直角坐标平面内有一点)8,6(P ,那么OP 与x 轴正半轴的夹 角α的正弦值是（ ▲ ）
（A ）4
3
； （B ）53； （C ）54； （D ）34.
4．如果二次函数c bx ax y ++=2的图像如图2所示，那么下列判断中，正确的是 ( ▲ )
（A ）0<a ； （B ）0<c ； （C ）0<++c b a ； （D ）0<+-c b a ． 5.已知
2
3
=y x ，那么下列等式中，不一定正确的是（ ▲ ） （A ）y x 32=； （B ）3
2
=x y ； （C ）25=+y y x ； （D ）4522=++y x ． y
x
O
P .
α
图2
y x
O
1 2 -1
A C
B
D
E 图4
6．如图3，E 是平行四边形ABCD 的BA 边的延长线上的一点，CE 交AD 于点F .下列各式中，错误的是（ ▲ ） （A ）
AE AF AB BC =；（B ）AE AF AB DF =；（C ）FC FE AB AE =；（D ）BC
AF
BE AE =
. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
7. 已知线段9=a cm 、4=b cm ，那么线段a 、b 的比例中项c = ▲ cm ．
8．如图4，已知点D 在△ABC 的AB 边上，点E 在AC 边上. 5:2:=EC AE ，14=AB 厘米，当AD 的长等于 ▲ 厘米时，可以证得DE ∥BC ．
9. 如果两个相似三角形的面积之比是25∶16，那么它们的对应高之比是 ▲ ． 10.在Rt △ABC 中，︒=∠90A ，5=BC ，α=∠B ，那么=AB ▲ （用α的锐角三角比表示）．
11.已知斜坡的坡角为α，坡度为5.1:1，则αtan 的值是 ▲ . 12.在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，5
3
cos =A ，则A sin 的值是 ▲ .
13.如图5，△ABC 与△DEF 的顶点均在小正方形方
格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC ▲ △DEF
（选择“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”填入空格）.
14.如图6，已知平行四边形ABCD ，点M 是边BC 的中点.设
a AB =，
b AD =.用向量a 、b
表示向量DM ：DM = ▲ ．
15.抛物线1)1(22
--=x y 与y 轴的交点坐标是 ▲ ．
16.己知抛物线y ()2
29x a x =-++（a 为常数）的顶点在y 轴上，则a ＝ ▲ ． 17.已知抛物线c x x y +-=22
经过点),1(1y A -和),2(2y B ，比较1y 与2y 的大小：1y ▲
2y （选择“>”或“<”或“=”填入空格）.
18．如图7，已知△ABC ，点D 在边AC 上，1:2:=DC AD ，
A
B
C D
E
F 图5
A B
D • M
图6
AB BD ⊥，3
1
tan =∠DBC ，则BAC ∠sin 的值是 ▲ .
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
计算：︒
-︒+︒⋅︒-︒⋅︒tan45cos452160tan 30sin 2130cos 60cos .
20．（本题满分10分）
如图8，已知△ABC 中，60=BC ，BC 边上的高40=AH ；矩形DEFG 的顶点D 、
E 在边BC 上，顶点G 、
F 分别在边AB 、AC 上.设EF 的长为x ，矩形DEF
G 的面积
为y .求y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域.
21．（本题满分10分）
如图9，为了测量某建筑物AB 的高度，小亮在教学楼DE 的三楼
找到一个观测点C ，利用三角板测得建筑物AB 顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°.若CD 9=米，求建筑物AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据73.13=）．
22.（本题满分10分，每小题满分5分）
如图10，直线1l 、2l 、3l 分别交直线4l 于点A 、B 、C ，交直线5l 于点D 、E 、F ，且1l ∥2l ∥3l .已知8:5:=DF EF ，24=AC . （1）求AB 的长；
（2）当4=AD ，1=BE 时，求CF 的长.
23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题2分，第（3）小题5分）
A
C
B
D
图7
图8
A B
C
D
E
G
F
H M
A
B
C D
E F
2
l 3
l 4
l 5
l 图10
1l C
B
A
图9
D
E
已知 BE 、CF 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高，高BE 、CF 所在的直线相交于点D （如图11）.
（1）当BAC ∠是锐角时，求证：△ABC ∽△AEF ； （2）当BAC ∠是钝角时，（1）中的结论还成立吗？直接写出 结论，无需说明理由；
（3）如果︒=∠60BAC ，求ABC
AEF
S S ∆∆的值.
24．（本题满分12分，每小题满分4分）
已知一个二次函数的图像经过)3,0(A 、 )3,4(B 、)0,1(C 三点（如图12）.
（1）求这个二次函数的解析式； （2）求BAC ∠tan 的值；
（3）若点D 在x 轴上，点E 在（1）中所求出的二次函数的图像上，且以点A 、C 、D 、
E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 、E 的坐标.
25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
如图13，已知等边△ABC 的边长为6，点D 是边BC 上的一个动点，折叠△ABC ，使得点A 恰好与边BC 上的点D 重合，折痕为EF （点E 、F 分别在边AB 、AC 上）. （1）当4:5:=AF AE 时，求BD 的长； （2）当BC ED ⊥时，求
EF
EB
的值； （3）当以B 、E 、D 为顶点的三角形与△DEF 相似时，求BE 的长.
A
B
C
D
E
F
图13
A
B
C
E
F
D
图11
O y
1 x
2 4
3 5 6
-6 -5 -3 -4-2-1 1
2 3
4
5
6 -1
-3
-4 -5 -6
-2图12
A
B C
备用图
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、B ；2、B ；3、C ；4、C ；5、D ；6、A.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、6；8、4；9、5:4；10、αcos 5；11、
32；12、54
；13、一定相似；14、b a 2
1-；15、）
（1,0；16、2-；17、>；18、2
2. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：︒
-︒+
︒⋅︒-
︒⋅︒tan45cos4521
60tan 30sin 2130cos 60cos 12
22132
1
212321-⨯
+⨯⨯-⨯=
…………………………6分
1
21
4343-+
-=
…………………………1分 2
2
1
)2(12)
12)(12(1
2-+=
-++=
…………………………2分
12+= …………………………1分
20．解：方法一、∵四边形DEFG 是矩形，DE 在BC 上，
∴GF ∥BC . …………1分
∵BC AH ⊥∴GF AH ⊥.
∵BC EF ⊥，BC AH ⊥，∴EF ∥AH
∴x EF MH ==，x AM -=40. …………2分 ∵GF ∥BC ， ∴△AGF ∽△ABC . ∴
BC
GF
AH AM =（相似三角形对应高的比等于相似比） …………2分 由60=BC ，40=AH ，x AM -=40得 ∴
60
4040GF
x =- …………1分 图8
A B
C
D
E
G
F
H
M
解得 )40(2
3
x GF -=
. …………1分 于是矩形DEFG 的面积2
2
360)40(23x x x x y -=-=.…………2分
定义域是400<<x . …………1分
方法二（简写）：由EF ∥AH 得
CH CE AH EF =. 同理BH
BD
AH GD =
. …………2分 ∵DG EF =，∴AH
EF
BH BD CH CE =
=. …………1分 ∴AH EF BH CH BD CE =++，即AH
EF BC DE BC =-. …………2分 由60=BC ，40=AH ，x EF =得40
6060x
DE =
-. …………1分 解得x DE 2
3
60-=. …………1分
于是矩形DEFG 的面积2
2
360)2360(x x x x y -=-=. …………2分
定义域是400<<x . …………1分 其他方法，请参照评分.
21．解：过点C 作AB CH ⊥，垂足为H （如图9）
易证四边形BDCH 是矩形，9==DC BH . …………………………1分 在BCH ΔRt 中，︒=∠45BCH ，91945cot =⨯=︒⋅=BH CH . ………3分 在ACH ΔRt 中，︒=∠30ACH ，333
3
930tan =⨯
=︒⋅=CH AH .………3分 ∴2.14339≈+=+=BH AH AB （米） ………2分 答：建筑物AB 的高度是2.14米． ………1分 22. 解：（1）由
85=DF EF 可得8
3
=DF DE . ………1分 ∵1l ∥2l ∥3l ，∴DF
DE
AC AB =. ………2分 ∵
83=DF DE ，24=AC ，∴8
3
24=AB ，∴9=AB . ………2分 （2）方法一、过点D 作4l 的平行线，分别交直线2l 、3l
于点G 、H （如图10--1）. ………1分
C
B
A 图9
D
E
H
A
B
C D
E F
2
l 3
l 4
l 5
l 图10--1
1l G
H
∵DH ∥AC ，AD ∥BG ∥CH ， ∴AD BG CH ==. ∵4=AD ，1=BE ，
∴3=GE ,4=CH . ………2分
在DHF Δ中，GE ∥HF ， ∴
DF
DE
HF GE =
. ………1分 即 8
343=+CF .
解得 4=CF . ………1分
方法二、记4l 与5l 的交点为O （如图10-2）.
∵EB ∥AD ，∴OA
OB
AD BE =
. ∵4=AD ，1=BE ，9+=OB OA ， ∴
OB
OB
+=
941. 解得3=OB . ………2分 ∵24=AC ，3=OB ，9=AB ，∴12=OC .
∵BE ∥CF ，
OC
OB
CF BE =
. ………1分 ∵1=BE ，3=OB ，12=OC ，∴
12
3
1=CF .解得4=CF . ………2分 其他方法请参照评分.
23．解：（1）如图11，∵BE 、CF 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高，
∴︒=∠=∠90AFC AEB . ……1分 又 ∵CAF BAE ∠=∠，∴△ABE ∽△ACF. ∴
AC
AB
AF AE =
. ……2分 ∴
AC AF AB AE =，AF
AC
AE AB =. 又 ∵EAF BAC ∠=∠，
∴△ABC ∽△AEF . ……2分
（2）当BAC ∠是钝角时，（1）中的结论依然成立. ……2分 （3）∵△ABC ∽△AEF ，
A
B
E
F
D
A
B C D
E F 2
l 3
l 4
l 5
l 图10--2
1l O
∴
2
)(AB
AE S S ABC AEF =∆∆ ……2分 在ABE ΔRt 中，
∵︒=∠90AEB ，︒=∠60BAE ， ∴
21
60cos =︒=AB AE . ……2分 ∴
4
1
)21(2==∆∆ABC AEF S S . ……1分 24.解 （1）设所求的二次函数的解析式为c bx ax y ++=2
（0≠a ）.
因为抛物线c bx ax y ++=2
（0≠a ）经过)3,0(A 、 )3,4(B 、)0,1(C 三点，
所以 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=,0,3416,
3c b a c b a c ……1分
解这个方程组，得
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==.3,4,1c b a ……2分
所以，所求的二次函数的解析式为342
+-=x x y .……1分
（2） 如图12-1，由)3,0(A 、 )3,4(B 可知 点A 、B 的纵坐标相等，
∴ AB ∥OC . ……1分 ∴ ACO BAC ∠=∠. ……1分
∴ OC
OA
ACO BAC =∠=∠tan tan . (1)
∵3=OA 、1=OC ，
∴ 3tan tan =∠=∠ACO BAC . ……1分 （3）分两种情况讨论：
①如图12—2，若AC 是以点A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形的一边，由于点D 在x 轴上，那么CD 必定也是这个平行四边形的一条边.
O y
1 x
2 4
3 5 6
-6
-5 -3 -4-2-1 1
2 3 4 5 6 -1
-3 -4 -5 -6
-2图12-1
C
A B
由此可知AE ∥CD ，因此点E 应该在过点A 且平行于x 轴的直线上，由此可知点E 与点)3,4(B 重合.
因为4=AB ，所以4==AB AE .
因为四边形ACDE 是平行四边形，所以AE CD =4=，5=+=CD OC OD
故可得1D )0,5(，)3,4(E ……2分
② 如图12—3，若AC 是以点A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形的一条对角线，由于点D 在x 轴上，那么CD 依然还是这个平行四边形的一条边，因此依然可以过点A 作x 轴的平行线，交抛物线于点E ，容易发现这里的点E 依然是与点)3,4(B 重合，联结CE ，过点A 作CE 的平行线，交x 轴于点D .
∵四边形ADCE 是平行四边形，
∴AE CD =4=，314=-=-=OC CD OD .
故可得 )0,3(2-D ，)3,4(E . ……1分 综上所述，点D 、E 的坐标是1D )0,5(，)3,4(E 或)0,3(2-D ，)3,4(E . ……1分 25．解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴︒=∠=∠=∠60C B A ，CA BC AB ==. 由题意可知 △AEF ≌△DEF ，
O y
1 x
2 4
3 5 6
-6 -5 -3 -4-2-1 1
2 3 4 5 6 -1
-3 -4 -5 -6 -2图12-2
C
A B （E ）
O y
1 x
2 4
3 5 6
-6 -5 -3 -4-2-1 1
2 3 4 5 6 -1
-3 -4 -5 -6
-2图12-3
C
A D
D
B （E ）
∴︒=∠=∠60A EDF ，AE DE =，AF DF =. ∴
4
5
==AF AE DF DE . ……………1分
∵BDF EDF BDE ∠=∠+∠， C CFD BDF ∠+∠=∠， ∴=∠+∠EDF BDE C CFD ∠+∠. 又∵C EDF ∠=︒=∠60， ∴ CFD BDE =∠. ∵ C B ∠=∠，
∴ △BDE ∽△CFD . ……………1分 方法①∵△BDE ∽△CFD ，
∴
CD
BE
DF DE CF BD =
=. 设k AE 5=,则由4:5:=AF AE 知k AF 4=，k AE DE 5==,k AF DF 4==，
k BE 56-=，k CF 46-=.
设x BD =，则x CD -=6. ∴
x
k
k k k x --=
=-6564546. ……………1分 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-.
4
5656,4
546x k k x
整理，得⎩⎨⎧-=--=.2024530,20304k x k x
解得4=x ，即4=BD . ……………1分 方法② ∵△BDE ∽△CFD ，
∴
DF
DE
C C CDF BE
D =∆∆（相似三角形的周长的比等于相似比）.
∴DF DE
CD FC DF BD EB DE =++++.………………1分
又6==+AB BE DE ,6==+AC FC DF ，BD CD -=6， ∴
4
5
126=-+BD BD .
A
B
C
D
E
F
图13-1
A
B
C
D
E
F
图13-2
M
N
解得：4=BD . ……………1分
方法③ 过点A 作BC EM ⊥，过点D 作AC DN ⊥（如图13—2）……………1分 设k AE 5=,x BD =，依题意易得k AF 4=，k AE DE 5==,k AF DF 4==，
k BE 56-=，k CF 46-=，x CD -=6.
在Rt △BEM 中，)56(2121k BE BM -==
, )56(2
1
k x DM --=, 在Rt △FDN 中，)6(2121x CD CN -==
, )6(2
1
46x k FN ---=,)6(23x DN -=, 易证△DEM ∽△FDN ，
DF
DE
FN DM =
. ……………1分 进而可得 4
5)
6(2
146)
56(21
=-----x k k x ,整理，得
k x 2018-= …………………………（1）……1分 在Rt △FDN 中，依据勾股定理可得
2
22)6(2146)6(43)4(⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡---+-=x k x k (2)
整理（2），并将（1）代入（2），可得
01272
=+-x x . 解得31=x （不合题意，舍去），42=x .
即 4=BD . ……………1分 （2）当BC ED ⊥时，如图13—3.
︒=︒-︒=∠-︒=∠30609090B BED ，
︒=︒-︒=∠=∠75)30180(21
AEF DEF . ………1分
过点E 作DF EH ⊥，垂足为H .
︒=︒-︒=∠-︒=∠30609090EDF DEH ，
︒=︒-︒=∠-∠=∠453075DEH DEF FEH . ………1分
在BED ΔRt 中，EB EB DEB EB ED 2
3
30cos cos =
︒⋅=∠⋅=，……………1分 C
E F
图13-3
H
在DEH ΔRt 中，EB ED ED DEH ED EH 4
3
2330cos cos ==
︒⋅=∠⋅=，…1分 在EHF ΔRt 中，EB EH EH EF 423245cos ==︒=.∴ 3
2
2=EF EB . …1分
（3）分两种情况讨论：
①当以B 、E 、D 为顶点的三角形与△DEF 相似，顶点B 、D 、E 分别与D 、E 、
F 对应时，可得DEF BDE ∠=∠. ∴EF ∥BC .
∴︒=∠=∠60B AEF ，︒=∠=∠60AEF DEF .
易得△AEF 、△DEF 、△DFC 、△DEB 是四个边长相等的等边三角形. ……1分
∴32
1
==
===AB AE EF ED BE . ……………1分 ②当以B 、E 、D 为顶点的三角形与△DEF 相似，顶点B 、D 、E 分别与D 、F 、
E 对应时，可得DFE BDE ∠=∠.
又 DFC BDE ∠=∠，AFE DFE ∠=∠， ∴︒=︒⨯=
∠=∠=∠601803
1
DFC DFE AFE . ……1分 易得△AEF 、△DEF 、△DFC 、△DEB 四个边长
相等的等边三角形.
∴32
1
==
===AB AE EF ED BE . ……1分 综上所述，当以B 、E 、D 为顶点的三角形与△DEF 相似时，3=BE .……1分 若没有充分运用已知条件，而是依据直觉发现“当四个小三角形是边长相等的等边三角形时，可满足已知条件”，从而得到3=BE ，可得3分.
备注：本题还有如下副产品，可在讲评试卷时使用.
（4）若点D 在直线BC 上，折叠△ABC ，使得点A 与点D 重合，AD 的垂直平分线分别交射线AB 、AC 于点E 、F .当1=CD 时，求BE 的长.
（5）设x BE =，y CF =，试求y 与x 之间的函数关系式，写出函数的定义域.
A
B
C
D
E
F
图13-1。