专题16勾股定理与弦图问题-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【北师大版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题1.6勾股定理与弦图问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•重庆期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则（a +b ）2的值为（ ）
A ．25
B ．19
C ．13
D ．169
【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．
【解析】由条件可得：{a 2+b 2=13
12ab =
13−14a ＞b ＞0
， 解之得：{a =3b =2
． 所以（a +b ）2＝25，
故选：A ．
2．（2020秋•明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x +y ）2＝49，用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列选项中正确的是（ ）
A．小正方形面积为4B．x2+y2＝5
C．x2﹣y2＝7D．xy＝24
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解析】根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，
∵（x+y）2＝49，
∴2xy＝24，故D错误，
∴（x﹣y）2＝1，故A错误，
∴x2﹣y2＝7，故C正确；
故选：C．
3．（2020秋•阜宁县期中）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（）
A．9cm2B．36cm2C．27cm2D．45cm2
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出小正方形的面积．
【解析】根据题意得：
小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9（cm2），
故选：A．
4．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（）
A．10B．8C．7D．5
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解析】设大正方形的边长为c，则c2＝a2+b2＝20，小正方形的面积（a﹣b）2＝4，
∴20﹣2ab＝4，
解得：ab＝8，
故选：B．
5．（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
D．S四边形AECD＝S四边形DEBC
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．
【解析】根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
故选：B．
6．（2020秋•江阴市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（）
A．45B．36C．25D．18
【分析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，2ab＝216，再根据完全平方公式求出a+b的值，进而可得一个直角三角形的周长．
【解析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，
由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝3，
根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：
225＝4×1
2ab+9，
所以2ab＝216，
根据勾股定理，得a 2+b 2＝152，
所以（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝225+216＝441，
因为a +b ＞0，
所以a +b ＝21，
所以21+15＝36．
所以一个直角三角形的周长是36．
故选：B ．
7．（2020秋•碑林区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图．连接AC ，分别交EF 、GH 于点M ，N ，连接FN ．已知AH ＝3DH ，且S 正方形ABCD ＝21，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A ．214
B ．215
C ．225
D ．223
【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设DH ＝x ，则AH ＝3DH ＝3x ，根据勾股定理可得x 的平方的值，再根据题意可得S △FGN ＝S △AEM +S △CGN ，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM 的面积．
【解析】∵S 正方形ABCD ＝21，
∴AB 2＝21，
设DH ＝x ，
则AH ＝3DH ＝3x ，
∴x 2+9x 2＝21，
∴x 2=2110，
根据题意可知：
AE ＝CG ＝DH ＝x ，CF ＝AH ＝3x ，
∴FE ＝FG ＝CF ﹣CG ＝3x ﹣x ＝2x ，
∴S △FGN ＝2S △CGN
∵S△AEM＝S△CGN，
∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，∴阴影部分的面积之和为：
S梯形NGFM=1
2（NG+FM）•FG
=12（EM+MF）•FG
=12FE•FG
=12×（2x）2
＝2x2
=215．
故选：B．
8．（2019秋•丹东期末）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（）
A．121B．144C．169D．196
【分析】观察图形可得直角三角形的较短的直角边加上小正方形的边长刚好等于直角三角形的较长直角边的长，根据勾股定理即可求得直角三角形斜边的长，从而得到了大正方形的边长，从而求得大正方形的面积．
【解析】∵直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，
∴直角三角形的较长直角边＝5+7＝12，
∴直角三角形斜边长＝13，
∴大正方形的边长是13，
∴大正方形的面积是13×13＝169．
故选：C．
9．（2021春•武昌区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角
三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则ab 的值是（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
【分析】由勾股定理得a 2+b 2＝9，由小正方形面积是1，得出（a ﹣b ）2＝1，即可得出结果．
【解析】∵直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，大正方形面积是9，
∴a 2+b 2＝9，
∵小正方形面积是1，
∴（a ﹣b ）2＝1，
∴a 2+b 2﹣2ab ＝1，
∴9﹣2ab ＝1，
∴ab ＝4，
故选：A ．
10．（2020春•海陵区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab ＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．3
【分析】利用整体代入的思想求出（a ﹣b ）2的值即可．
【解析】由题意可得，{ab =6a 2+b 2=16
， ∴小正方形的面积＝（a ﹣b ）2＝a 2+b 2﹣2ab ＝16﹣12＝4，
故选：C ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•雨花区校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a 和b ，那么（a +b ）2的值为 29 ．
【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值，根据完全平方公式即可求解．
【解析】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a2+b2＝42＝16，
由题意4×1
2ab+3＝16，
2ab＝13，
所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+13＝29，
故答案为：29．
12．（2020秋•淮阴区期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为49．
【分析】根据正方形EFGH的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．【解析】直角三角形直角边的较短边为√132−122=5，
正方形EFGH的面积＝13×13﹣4×5×12
2
=169﹣120＝49．
故答案为：49．
13．（2020秋•沈河区校级期中）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为2的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝4√3EF，则正方形ABCD的面积为98．
【分析】设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，由此即可解决问题．
【解析】设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，
由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，
∵AM＝4√3EF，
∴2a＝4√3b，
∴a＝2√3b，
∵正方形EFGH的面积为2，
∴b2＝2，
∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝49b2＝98，
故答案为：98．
14．（2020秋•福田区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于6．
【分析】根据勾股定理得出AH与AE的值，进而解答即可．
【解析】∵AB＝10，AH：AE＝3：4，
设AH为3x，AE为4x，
由勾股定理得：AB2＝AH2+AE2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴5x＝10，
∴x＝2，
∴AH＝6，
故答案为：6．
15．（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为27．
【分析】根据题意得出a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．
【解析】由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，
图2中大正方形的面积为：（a+b）2，
∵（b﹣a）2＝3，
a2﹣2ab+b2＝3，
∴15﹣2ab＝3，2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，
故答案为：27．
16．（2021•高新区一模）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长
为n ，若S 1S 2=32，则n m 的值为 √55 ． 【分析】由S 1S 2=32，可得S 2为大正方形面积的25．设AB 为x ，表示出空白部分的面积S 2，即12x 2×4=25m 2，则x =√55m ，再在Rt △ABC 中使用勾股定理得到关于m ，n 的方程，可求得n m
的值． 【解析】∵
S 1S 2=32，大正方形面积为m 2， ∴S 2=25m 2．
设图2中AB ＝x ，依题意则有： 4⋅S △ADC =25m 2，
即4×12×x 2=25m 2， 解得：x 1=√55m ，x 2=−√55m （负值舍去）． 在Rt △ABC 中，
AB 2+CB 2＝AC 2，
∴(√55m)2+(√55m +n)2=m 2， 解得：n 1=
m √5，n 2=−3m √5（负值舍去）． ∴n
m =m √5
m =
1√5=√55． 故答案为：√5
5．
17．（2020秋•金水区校级月考）如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为10，小正方形面积为2，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2＝10；②xy ＝2；③x −y =√2；④x +2y =4√2．其中说法正确的有 ①③④ ．（只填序号）
【分析】大正方形的面积是10，则其边长是√10，显然，利用勾股定理可得①x 2+y 2＝10；
小正方形的面积是2，则其边长是√2，根据图可发现y +√2=x ，即③x ﹣y =√2；
还可以得出四个三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，即4×1
2xy +2＝10，化简得②xy ＝4； 其中④x +2y ＝4√2，故成立．
【解析】①大正方形的面积是10，则其边长是√10，显然，利用勾股定理可得x 2+y 2＝10，故选项①正确； ③小正方形的面积是2，则其边长是√2，根据图可发现y +√2=x ，即③x ﹣y =√2，故选项③正确； ②根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，即4×12xy +2＝10，化简得②xy ＝4，故选项②错误；
④{x −y =√2xy =4
，则x +2y ＝4√2，故此选项正确． 故答案为：①③④．
18．（2020•通州区一模）把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD 的面积为 1 ．
【分析】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD 的边长，再根据正方形面积公式即可求解．
【解析】3﹣2＝1，
1×1＝1．
故图2中小正方形ABCD 的面积为1．
故答案为：1．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•天宁区期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC ＝3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT
的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝16
3
．
【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【解析】（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×1
2ab＝c
2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2．
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，
1
2
×（3+1）×3×4
=12×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，
∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3＝16，
∴S 1＝8y +x ，S 2＝4y +x ，S 3＝x ，
∴S 1+S 2+S 3＝3x +12y ＝16，
∴x +4y =163，
∴S 2＝x +4y =
163． 故答案为：16
3．
20．（2020秋•姜堰区期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．
（1）在Rt △ABC 中，AC ＝m ，BC ＝n ，∠ACB ＝90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m +n ）2；
（2）若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．
【分析】（1）由题意（n ﹣m ）2＝1，m 2+n 2＝61，推出2mn ＝60，可得（m +n ）2＝m 2+n 2+2mn ＝121．
（2）由（1）可知{m +n =11n −m =1
，求出m ，n 的值，再利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）由题意（n ﹣m ）2＝1，m 2+n 2＝61，
∴2mn ＝60，
∴（m +n ）2＝m 2+n 2+2mn ＝61+60＝121；
（2）由（1）可知{m +n =11n −m =1
， ∴{m =5n =6
，
∴AC ＝5，BC ＝6，
∵∠ACB ＝90°，AC ＝5，CD ＝12，
∴AD =√AC 2+CD 2=√52+122=13， ∴这个风车的外围周长＝4（13+6）＝76．
21．（2020秋•徐州期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：
证明：连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，交BC 的延长线与点F ，
则四边形DFCE 为长方形，所以DF ＝EC ＝ b ﹣a ．（用含字母的代数式表示）
因为S 四边形ABCD ＝S △ACD + S △ABC ＝
12b 2 +12ab ； S 四边形ABCD ＝S △ADB + S △DCB =12c 2+ 12
a(b −a) ； 所以 12b 2 +12ab =12c 2+ 1
2a(b −a) ； 所以 a 2+b 2＝c 2 ．
【分析】根据面积公式和勾股定理的证明解答即可．
【解析】证明：连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，交BC 的延长线与点F ，
则四边形DFCE 为长方形，所以DF ＝EC ＝b ﹣a ．（用含字母的代数式表示）
因为S 四边形ABCD ＝S △ACD +S △ABC =12b 2+12ab ；
S 四边形ABCD ＝S △ADB +S △DCB =12c 2+12a(b −a)；
所以12b 2+1
2ab =1
2c 2+1
2a(b −a)；
所以a 2+b 2＝c 2．
故答案为：b ﹣a ；S △ABC ；12b 2；S △DCB ；12a(b −a)；12b 2；1
2a(b −a)；a 2+b 2＝c 2． 22．（2020秋•玄武区校级期中）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×1
2ab，化简证得勾股定理：a
2+b2＝c2．
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝5：9；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为28；
（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC ＝3，求该风车状图案的面积．
（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT
的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝40
3
．
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：
如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．
【分析】【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．
（3）可设AC ＝x ，根据勾股定理列出方程可求x ，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（4）根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，得出答案即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
【解析】【初步运用】（1）由题意：b ＝2a ，c =√5a ，
∴小正方形面积：大正方形面积＝5a 2：9a 2＝5：9，
故答案为：5：9．
（2）空白部分的面积为＝52﹣2×12×4×6＝28．
故答案为：28．
（3）24÷4＝6，
设AC ＝x ，依题意有
（x +3）2+32＝（6﹣x ）2，
解得x ＝1，
12×（3+1）×3×4
=12×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（4）将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，
∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3＝40，
∴S 1＝8y +x ，S 2＝4y +x ，S 3＝x ，
∴S 1+S 2+S 3＝3x +12y ＝40，
∴x +4y =403，
∴S 2＝x +4y =403．
故答案为：403．
[迁移运用]结论：a 2+b 2﹣ab ＝c 2．
理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积 可得：12（a +b ）×k （a +b ）＝3×12×b ×ka +12
×c ×ck ， ∴（a +b ）2＝3ab +c 2
∴a 2+b 2﹣ab ＝c 2．
23．（2020春•青白江区期末）如图，在长方形ACDF 中，AC ＝DF ，点B 在CD 上，点E 在DF 上．BC ＝DE ＝a ，AC ＝BD ＝b ，AB ＝BE ＝c ，且AB ⊥BE ．
（1）在探究长方形ACDF 的面积S 时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S ；另一种是将长方形ACDF 看成是由△ABC ，△BDE ，△AEF ，△ABE 组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S ．
请根据以上材料，填空：
方法一：S ＝ ab +b 2 ．
方法二，S ＝S △ABC +S △BDE +S AEF +S △ABE ＝ab +12b 2−12a 2+1
2c 2．
（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP 的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a ，b ，c 之间的等量关系（需要化简）．
（3）请直接运用（2）中的结论，求当c ＝10，a ＝6，S 的值．
【分析】（1）根据长方形的面积公式可求解；
（2）根据长方形的面积＝4个三角形的面积和列式化简即可求解；
（3）将a ，c 的值代入计算可求解b 的值，进而可求解S 值．
【解析】（1）S ＝b （a +b ）＝ab +b 2．
故答案为S ＝ab +b 2；
（2）由题意得：ab +b 2=ab +12b 2−12a 2+1
2c 2，
∴2ab +2b 2＝2ab +b 2﹣a 2+c 2，
∴a 2+b 2＝c 2；
（3）∵a 2+b 2＝c 2，且c ＝10，a ＝6，
∴62+b2＝102，
∴b＝8，
∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112．
答：S的值为112．
24．（2020秋•苏州期末）三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1），并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定
理．
【分析】由面积的和差关系可求解．
【解析】证明：∵S=c2+2×1
2
ab=12(a+b+b)⋅b+12(a+a+b)⋅a，
∴c2+ab=1
2ab+b
2+a2+1
2ab，
∴c2＝a2+b2．。