2024届浙江省杭州市杭州七县市区高一数学第二学期期末检测试题含解析

2024届浙江省杭州市杭州七县市区高一数学第二学期期末检测
试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若各项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
2640a a a +-=，则7S =（ ）
A ．9
B ．14
C ．7
D ．18
2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1AA 与平面11AB C 所成的角为（ ）
A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 3．已知点A 、B 、C 在圆2
2
1x y +=上运动，
且90ABC ∠=，若点P 的坐标为()2,0，PA PB PC ++的最大值为（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6 4．已知等比数列的公比为，且
，数列
满足
，若数列
有连续
四项在集合中，则
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
关系是（ ）
A ．A
B x x ＜，22
＜A B s s B ．A B x x ＞，22
＜A B s s C ．A B x x ＜，2
2
＞A B s s
D ．A B x x ＞，2
2
＞A B s s
6．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭，其图像相邻的两个对称中心之间的距
离为
4
π，且有一条对称轴为直线24x π
=，则下列判断正确的是 （ ）
A ．函数()f x 的最小正周期为4π
B ．函数()f x 的图象关于直线724
x π
=-
对称 C ．函数()f x 在区间713,2424ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 D ．函数()f x 的图像关于点7,024π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 7．已知函数f （x ）223
3
x x log x x ⎧=⎨≥⎩，＜，，则f [f （2）]＝（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．
4
5
B ．
35
C ．
25
D ．
15
9．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
，，则2z x y =-的最大值为（ ）.
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
10．要得到函数(233
)y sin x π
=-
的图象，只需将函数23y sin x =的图象（ ）
A ．向左平移
9π
个单位 B ．向左平移
3π
个单位 C ．向右平移9
π
个单位
D ．向右平移3
π
个单位
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．函数sin arcsin y x x =+的值域是______.
三个，这三点能构成三角形的概率是_______．
13．在ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，
若75,60,A B b =︒=︒=则c =___________
14．数列{}n a 满足1211,
3,(2)(1,2,)n n a a a n a n λ+===-=，则3a 等于______.
15．数列{}n a 中，已知*
41322,n n n a n N =-+∈•，50为第________项.
16．已知直线1:(3)453l m x y m ++=-与2:2(5)8++=l x m y ，当12l l ⊥时，实数
m =_______；当12l l //时，实数m =_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >且2
22n n n S a a +=+.
（1）求n a ； （2）若1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．已知集合{2,3,4,6,8,15,17}X =，数列{}()
*
n a n N ∈是公比为(1)q q >的等比数
列，且等比数列的前三项满足123a a a X ∈、、. （1）求通项公式n a ；
（2）若n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，记123n A S S S S =++++，试用等比数列
求和公式化简A （用含n 的式子表示）
19．已知函数2
()(1)1f x m x mx m =+-+-（m R ∈）． （1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围； （2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；
（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[11]
D -⊆，，求m 的取值范围． 20．在ABC ∆中，A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，满足(
)2sin 2
A
B C +=． (I)求角A 的大小；
(Ⅱ)
若a b c =>，D 为BC
的中点，且sin AD C =求的值．
中0,m R ω>∈），且()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为
6
π
，并过点(0,2).
（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调增区间.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】
根据等差中项定义及条件式,先求得4a .再由等差数列的求和公式,即可求得7S 的值. 【题目详解】
数列{}n a 为各项是正数的等差数列 则由等差中项可知2642a a a +=
所以原式可化为()4420a a -=,所以42a = 由等差数列求和公式可得()174
77722
2
a a a S +⨯=
=
4714a ==
故选:B 【题目点拨】
本题考查了等差中项的性质,等差数列前n 项和的性质及应用,属于基础题. 2、A 【解题分析】
取11B C 的中点M ，连接1A M 、AM ，作1
AO AM ⊥，垂足为点O ，证明1A O ⊥平面11AB C ，
于是得出直线1AA 与平面11AB C 所成的角为1A AM ∠，然后利用锐角三角函数可求出
1A AM ∠．
【题目详解】
如下图所示，取11B C 的中点M ，连接1A M 、AM ，作1
AO AM ⊥，垂足为点O ，
111A B C ∆是边长为2的等边三角形，点M 为11B C 的中点，则111A M B C ⊥，且
13A M =
在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ，
11B C ⊂平面111A B C ，
111AA B C ∴⊥， 111A M
AA A =，11B C ∴⊥平面1AA M ，
1A O ⊂平面1AA M ，1
11AO B C ∴⊥， 1A O AM ⊥，11AM B C M =，1A O ∴⊥平面11AB C ，
所以，直线1AA 与平面11AB C 所成的角为1A AM ∠，易知11AA A M ⊥， 在1Rt AA M ∆中，12
AA M π
∠=
，13AA =，13
A M =1113
tan 3
A M A AM AA ∠==， 16
A AM π
∴∠=
，即直线1AA 与平面11AB C 所成的角为
6
π
，故选A ． 【题目点拨】
本题考查直线与平面所成角的计算，求解时遵循“一作、二证、三计算”的原则，一作的是过点作面的垂线，有时也可以通过等体积法计算出点到平面的距离，利用该距离与线段长度的比值作为直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等题． 3、C
由题意可知AC 为圆22
1x y +=的一条直径，由平面向量加法的平行四边形法则可得2PA PC PO +=（O 为坐标原点），然后利用平面向量模的三角不等式以及圆的几何性质可得出PA PB PC ++的最大值. 【题目详解】 如下图所示：
90ABC ∠=，AC ∴为圆22
1x y +=的一条直径，
由平面向量加法的平行四边形法则可得2PO PA PC =+（O 为坐标原点）， 由平面向量模的三角不等式可得
224PA PB PC PO PB PO PB PB ++=+≤+=+417PO ≤++=，
当且仅当点B 的坐标为()1,0-时，等号成立， 因此，PA PB PC ++的最大值为7. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查向量模的最值问题，涉及平面向量模的三角不等式以及圆的几何性质的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 4、A 【解题分析】 由题可知数列
的连续四项，从而可判断
，再分别列举满足符合条件的情
况，从而得到公比. 【题目详解】 因为数列
有连续四项在集合
中，
，所以数列
有连续四项在集合中，所以数列
的连续四项不同号，即
.
因为
，所以
，按此要求在集合
中取四个数排成
-12，8和-27，24，-18，8不是等比数列，所以数列的连续四项为-27，18，-12，8，
所以数列
的公比为
.
【题目点拨】
本题主要考查等比数列的综合应用，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，分类讨论能力，难度较大. 5、D 【解题分析】
根据题中数据，直接计算出平均值与方差，即可得出结果. 【题目详解】 由题中数据可得，314101815125++++==A x ，89101112
105
++++==B x ，
所以>A
B x x ；
又222222(312)(1012)(1412)(1812)(1512)134
26.855-+-+-+-+-===A
s ，
222222
(810)(910)(1010)(1110)(1210)10
255
-+-+-+-+-===B
s ，
所以22
A B s s >.
故选D 【题目点拨】
本题主要考查平均数与方差的比较，熟记公式即可，属于基础题型. 6、C 【解题分析】
本题首先可根据相邻的两个对称中心之间的距离为
4
π
来确定ω的值，然后根据直线24
x π
=
是对称轴以及2
π
ϕ<
即可确定ϕ的值，解出函数()f x 的解析式之后，通过三
角函数的性质求出最小正周期、对称轴、单调递增区间以及对称中心，即可得出结果． 【题目详解】
图像相邻的两个对称中心之间的距离为4
π，即函数的周期为242ππ⨯=，由22T ππω=
=得4ω=，
所以()()sin 4f x x ϕ=+，又24
x π
=是一条对称轴，所以
6
2
k π
π
ϕπ+=+
，k Z ∈，
得,3
k k Z π
ϕπ=+
∈，又2
π
ϕ<
，得3
π
ϕ=
，所以()sin 43f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭.
最小正周期242
T ππ
=
=，A 项错误； 令432x k π
π
π+
=+
，k Z ∈，得对称轴方程为424k x ππ
=
+，k Z ∈，B 选项错误；
由242232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得单调递增区间为5,224224k k ππππ⎡⎤
-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈，C 项中的区间对应1k =，故C 正确；
由43x k π
π+
=，k Z ∈，得对称中心的坐标为,0412k ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，k Z ∈，D 选项错误， 综上所述，故选C ． 【题目点拨】
本题考查根据三角函数图像性质来求三角函数解析式以及根据三角函数解析式得出三角函数的相关性质，考查对函数sin ωφf x A x B 的相关性质的理解，考查推
理能力，是中档题． 7、B 【解题分析】
根据分段函数的表达式求解即可. 【题目详解】
由题[]2
2(2)(2)(4)log 42f f f f ====.
故选：B 【题目点拨】
本题主要考查了分段函数的求值,属于基础题型. 8、C 【解题分析】
选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为1
4C 种，
由古典概型公式，满足题意的概率值为142542
105
C p C ===.
本题选择C 选项.
考点：古典概型
名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5
一些. 9、B 【解题分析】
作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【题目详解】 作出可行域如图：
化目标函数为2y x z =-，
联立70
310
x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩，解得5,2A
（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【题目点拨】
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题. 10、C 【解题分析】
考查三角函数图象平移，记得将变量x 前面系数提取. 【题目详解】
()2332sin 3()9y sin x x ππ=-=-，所以只需将23y sin x =向右平移9
π
个单位.
所以选择C 【题目点拨】
易错题，一定要将ω提出，否则容易错选D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、ππsin1,sin122⎡⎤--+⎢⎥⎣
⎦
先求得函数的定义域，根据函数在定义域内的单调性，求得函数的值域. 【题目详解】
依题意可知，函数的定义域为[]1,1-，且函数在区间[]1,1-上为单调递增函数，故当
1x =-时，函数有最小值为πsin12--，当1x =时，函数有最大值为π
sin12+.所以函
数函数sin arcsin y x x =+的值域是ππsin1,sin122⎡⎤--+⎢
⎥⎣⎦
. 故答案为：ππsin1,sin122⎡
⎤--+⎢⎥⎣
⎦
. 【题目点拨】
本小题主要考查反正弦函数的定义域和单调性，考查正弦函数的单调性，考查利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题. 12、
3
5
【解题分析】
分别算出两点间的距离，共有
2
5
=10C 种，构成三角形的条件为任意两边之和大于第三
边，所以在这10种中找出满足条件的即可． 【题目详解】
由两点之间的距离公式，得：
|AB ||AC ||AD ||AE |5====，
|BC ||BD ||BE |4===，
|CD ||CE ||DE |===，
任取三点有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ，共10种， 能构成三角形的有：,,,,,ABE ACE ADE BCE BDE CDE ，共6种， 所求概率为：63
105
P ==. 【题目点拨】
构成三角形必须满足任意两边之和大于第三边，则n 个点共有2n
C
个线段，找出满足
条件的即可，属于中等难度题目．
13
,
；由正弦定理，得，解得.
考点：正弦定理. 14、15 【解题分析】 先由1211,
3,(2)(1,2,)n n a a a n a n λ+===-=，可求出λ，然后由2n =，代入
已知递推公式即可求解。

【题目详解】
111221321,3,,,(2)(2)2,
31,(21)515
n n n n a a a a n a a a n a a a λλλλ++=-=--∴=-==∴∴=+∴===
故答案为15. 【题目点拨】
本题考查是递推公式的应用，是一道基础题。

15、4 【解题分析】
方程变为4132-48=0n n -•，设2n x =，解关于x 的二次方程可求得。

【题目详解】
*41322,n n n a n N =-+∈•，则5041322n n =-+•，即4132-48=0n n -•
设2n x =，则213480x x --=，有16x =或3x =- 取16x =得216n =，4n =，所以是第4项。

【题目点拨】
发现2
42n n =（）
，原方程可通过换元，变为关于x 的一个二次方程。

对于指数结构242n n =（），293n n =（），2
255n n =（）
等，都可以通过换元变为二次形式研究。

16、13
3
-
7- 【解题分析】
根据两直线垂直和平行的充要条件，得到关于m 的方程，解方程即可得答案. 【题目详解】
当12l l ⊥时，(3)24(5)0m m +⋅+⋅+=，解得：133
m =-
； 当12l l //时，(3)(5)8m m +⋅+=且48(5)(53)m m ⋅≠+⋅-，解得：7m =-. 故答案为：13
3
-
；7-. 【题目点拨】
本题考查两直线垂直和平行的充要条件，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1n a n =+；（2）n T =2(2)
n
n +.
【解题分析】
（1）利用n S 与n a 的关系可得11n n a a --=，再利用等差数列的通项公式即可求解. （2）由（1）求出n b ，再利用裂项求和法即可求解. 【题目详解】
解：（1）因为222n n n S a a +=+，①
所以当1n =时，2
11122a a a +=+，又0n a >，故12a =. 当2n ≥时，2
11122n n n S a a ---+=+，② ①-②得，22
112n n n n n a a a a a --=+--，
整理得()()1101n n n n a a a a --+--=. 因为10n n a a ->+，所以11n n a a --=，
所以{}n a 是以12a =为首项，以1为公差的等差数列. 所以2(1)1n a n =+-⋅，即1n a n =+. （2）由（1）及11n n n b a a +=得，1(1)(2)n b n n =++11
12
n n =-++，
所以12n n T b b b =++
+
11112334⎛⎫⎛⎫
=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1
112n n ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭
1122
n =
-+ 2(2)
n
n =
+.
【题目点拨】
本小题考查n a 与n S 的关系、等差数列的定义及通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等. 18、（1）2n （2）2224n n +-- 【解题分析】
（1）观察式子特点可知，只有2,4,8三项符合等比数列特征，再根据题设条件求解即可； （2）根据等比数列通项公式表示出n S ，再采用分组求和法化简A 的表达式即可 【题目详解】
（1）由题可知，只有2,4,8三项符合等比数列特征，又1q >，故1232,4,8a a a ===，
故12,2q a ==，2n
n a =；
（2）()111221n n n a q S q
+-=
=--，
212334+122222222n n A S S S S =-==++++
++--+
-
()2412222412
n n n n +--=---，所以2
224n A n +=--
【题目点拨】
本题考查等比数列通项公式的求法，等比数列前n 项和公式的用法，分组求和法的应用，属于中档题
19、（1）3m ≥
；（2）1|11x x m ⎧⎫≤≤-⎨⎬+⎩⎭.；
（3）3
m ≥. 【解题分析】
试题分析：（1）对二项式系数进行讨论，可得10
{0
m +>∆≤求出解集即可；（2）分为10m +=，10m +>，10m +<分别解出3种情形对应的不等式即可；
（3）将问题转化为对任意的[]
1,1x ∈-，不等式()2
110m x mx m +-+-≥恒成立，利用分离参数的
思想得2211
x
m x x -≥-+
-+恒成立，求出其最大值即可.
试题解析：（1）①当10m +=即1m =-时，()2f x x =-，不合题意； ②当10m +≠即1m ≠-时，
()()210
{4110m m m m +>∆=-+-≤，即21{340
m m >--≥，
∴1
{
m m m >-≤≥
，∴3
m ≥
（2）()f x m ≥即()2
110m x mx +--≥ 即()()1110m x x ⎡⎤++-≥⎣⎦
①当10m +=即1m =-时，解集为{|1}x x ≥ ②当10m +>即1m >-时，()1101x x m ⎛
⎫
+-≥ ⎪+⎝⎭
∵1011m -
<<+，∴解集为1
{|1}1
x x x m ≤-≥+或 ③当10m +<即21m -<<-时，()1101x x m ⎛
⎫
+
-≤ ⎪+⎝
⎭
∵21m -<<-，所以110m -<+<，所以1
11
m ->+ ∴解集为1{|1}1
x x m ≤≤-
+ （3）不等式()0f x ≥的解集为D ，[]
1,1D -⊆，
即对任意的[]
1,1x ∈-，不等式()2
110m x mx m +-+-≥恒成立，
即(
)
2
2
11m x x x -+≥-+恒成立，
因为2
10x x -+>恒成立，所以222
12111
x x
m x x x x -+-≥=-+-+-+恒成立， 设2,x t -=则[]
1,3t ∈，2x t =-，
所以()()22221
31332213x t t x x t t t t t t
-===
-+-+---++-，
因为3
t t
+≥
，当且仅当t =
所以
2
21x x x -≤=-+
，当且仅当2x =
所以当2x =
22max
11x x x ⎛⎫-+= ⎪
-+⎝⎭
所以m ≥
点睛：本题主要考查了含有参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想以及转化与化归的能力，难度一般；对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解. 20、 (I)23A π=
;(II)sin C =【解题分析】 (I)(
)2sin 32
A
B C +=
化简
得tan 2A =，求出23A π=
. (Ⅱ)由题意可知cos cos ADB ADC ∠=-∠，化简得2220b c +=，再结合余弦定理求出4,2b c ==，
再利用正弦定理求出sin C 的值． 【题目详解】 (I)(
)2sin 32A B C +=
，所以2sin sin
32
A A =
，所以tan 2A =因为()0,A π∈，所以
23A π=，所以23
A π
= (Ⅱ)由题意可知：cos cos ADB ADC ∠=-∠
22
=所以2220b c ，
+= 又因为2222cos a c b bc A =+-，所以8bc = ， 因为b c >，所以4,2b c ==
由正弦定理可得sin sin a c A C =
，所以sin C =【题目点拨】
本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
21、（1）2sin 2)1(6x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦.
【解题分析】
（1）根据向量的数量积得()f x 2sin 216x m πω⎛
⎫
=+
++ ⎪⎝
⎭，结合2662
πω⨯+=ππ
，()02f =即可求解；
（2）令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈即可求得增区间.
【题目详解】
（1）由题2()2cos cos f x a b m x x x m ωωω=⋅+=++
cos 221x x m ωω=++
2sin 216x m πω⎛
⎫=+++ ⎪⎝
⎭
()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为
6
π
，并过点(0,2) 所以2662
πω⨯
+=ππ
，解得1ω=， ()02sin
126
f m π
=++=，解得：0m =，
所以2sin 2)1(6x f x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭；
（2）令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈
2222,33
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈ ,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
函数()f x 的单调增区间为,,3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
.
【题目点拨】
此题考查根据平面向量的数量积，求函数解析式，根据三角函数的顶点坐标和曲线上的点的坐标求参数，利用整体代入法求单调区间.。