构造函数专题

构造函数专题
构造函数专题
题型⼀、出现导函数，结构明显，模式固定。

常⽤模型如下： (1)条件：f ′(x )>a (a ≠0)：构造函数：h (x )＝f (x )－ax . (2)条件：f ′(x )±g ′(x )>0：构造函数：h (x )＝f (x )±g (x )． (3)条件：f ′(x )＋f (x )>0：构造函数：h (x )＝e x f (x )． (4)条件：f ′(x )－f (x )>0：构造函数：h (x )＝
f x e x
.
(5)条件：xf ′(x )＋f (x )>0：构造函数：h (x )＝xf (x )． (6)条件：xf ′(x )－f (x )>0：构造函数：h (x )＝f x
x
. 例1、已知
()
f x '是函数()
f x 的导函数，且对任意的实数x 都有
()()()
23x f x e x f x '=++，
()01
f =，则不等式()5x
f x e <的解集为（）
A ．(
)
4,1- B ．(1,4)- C ．(,4)(1,)-∞-+∞U D ．(,1)(4,)-∞-+∞U
解：令()()x
f x G x e =
，则()()
()23
x f x f x G x x e '-'=
=+，可设
2()3G x x x c =++(0)(0)1G f ==Q ，1c ∴= 所以
2
()()31x f x G x x x e =
=++解不等式
()5x
f x e <，即()
5x
f x e <，解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1-
例2、已知函数
()
f x 满⾜
()()
f x f x =-，且当
(]
,0x ∈-∞时，
()()0
f x xf x '+<成⽴，
若()()0.60.6
22a f =?，()()ln2ln2b f =?，1
1
8822log log c f =? ? ?，则a ，b ，c 的⼤
⼩关系是( )。

A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
解：根据题意，令h （x ）＝xf （x ），h （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣xf （x ）＝
﹣h （x ），则h （x ）为奇函数；当x ∈（﹣∞，0）时，h ′（x ）＝f （x ）+xf'（x ）＜0，则h （x ）在（﹣∞，0）上为减函数，⼜由函数h （x ）为奇函数，则h （x ）在（0，+∞）上为减函数，所以a ＝（20.6）?f （20.6）＝h （20.6），b ＝
（ln2）?f （ln2）＝h （ln2），c ＝（
2
18log ）?f （218log ）＝h （2
1
8log ）＝h （﹣3），
因为21 8
log＜
0＜ln2＜1＜20.6，则有c b a
>>；故选：C．
例3、定义在R上的奇函数
()
y f x
=
满⾜
()30
f=
，当0
x>时，不等式()()
'
f x xf x
>-
恒成⽴，则函数
()()lg1
g x xf x x
=++
的零点个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4解：定义在R的奇函数()
f x
满⾜：
()()()
0033
f f f
===-
，
且
()()
f x f x
-=-
，⼜0
x>时()()
'
f x xf x
>-
，即
()()
'0
f x xf x
+>
，所以函数
()()
h x xf x
=
在0
x>时是增函数，
⼜
()()()
h x xf x xf x
-=--=
，
()()
h x xf x
∴=
是偶函数；0
x
∴<
时，
()
h x
是减函数，结合函数的定义域为R，且()()()
0330
f f f
==-=
，可得函数
()
1
y xf x
=
与2
lg1
y x
=-+
的⼤致图象如图所⽰，
∴由图象知，函数
()()lg1
g x xf x x
=++
的零点的个数为3个．故选C．
例4、定义在R上的函数
()
f x
满⾜
()()()
412
x
e f x f x
++=-
，且对任意的1
x≥都有
()()
'20(
f x f x
+>
其中()
'f x
为
()
f x
的导数)，则下列⼀定判断正确的是( ) A．
()()
420
e f f
>
B．
()()
232
e f f
>
C．
()()
631
e f f
>-
D．
()()
1032
e f f
>-
解：设F（x）＝e2x?f（x），则F'（x）＝2e2xf（x）+e2xf'（x）＝e2x[2f（x）+f'（x）]，∵对任意的x≥1都有f′（x）+2f（x）＞0；则F'（x）＞0，则F（x）在[1，+∞）上单调递增；F（x+2）＝e2（x+2）?f（x+2）； F（﹣x）＝e﹣2x?f（﹣x）；因为e4（x+1）f（x+2）＝f（﹣x），∴e2x?e2x+2?f（x+2）＝f（﹣x）；∴e2x+2?f（x+2）＝e﹣2x?f（﹣x）∴F（x+2）＝
F（﹣x），所以F（x）关于x＝1对称，则F（﹣2）＝F（4），∵F（x）在[1，+∞）上单调递增；
∴F（3）＜F（4）即F（3）＜F（﹣2），∴e6?f（3）＜e﹣4?f（﹣2）；即e10?f （3）＜f（﹣2）成⽴．故D不正确；
F（3）＝F（﹣1），F（0）＝F（2）故A，C 均错误；F（3）＞F（2）∴e2f（3）＞f（2）
⼆、不等式证明。

例5、设a≥0，求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
证明：令g(x)＝x－ln2x＋2a ln x－1(x>1)，所以g′(x)＝x－2ln x＋2a
x
.令u(x)
＝x －2ln x ＋2a ，所以u ′(x )＝1－2x ＝x －2
x
.所以u (x )≥u (2)＝2(1－ln 2＋a )>0
g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)递增．因为x >1，所以g (x )>g (1)＝0，所以原不等式成⽴．题型三、含参问题。

●直接构造例5、已知函数()1ln 1x f x x +=-.设实数k 使得()33x f x k x ??>+ ??
对()0,1x ∈恒成⽴,求
k 的最⼤值.
解：构造函数()()31ln ,0,113x x P x k x x x ??
+=-+∈ ?-??,⼜()00P =,若()0P x >对()0,1x ?∈恒成⽴,则()00P '…,⼜()()()4
2
22
212111k x P x k x x x --'=-+=
--,
即()020P k '=-…,得2k ?,⼜当2k =时,()323x f x x ??
>+ ??
对()0,1x ∈恒成⽴,因此
k 的最⼤值为2.
●构造双函数
例6、设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯⼀的整数0x ，使得
0()0f x <，则a 的取值范围是（）。

A ．3[,1)2e -
B ．33[,)24e -
C ．33[,)24e
D ．3
[,1)2e
解：由题意可知存在唯⼀的整数0x ，使得
00(21)-<-x e x ax a ，设()(21)=-x
g x e x ，()=-h x ax a ，
由()(21)x g x e x '=+，可知()g x 在1
(,)2
-∞-上单调递减，
在1
(,)2
-+∞上单调递增，作出()g x 与()h x 的⼤致图象如
图所⽰，故(0)(0)
(1)(1)>??--?
h g h g ≤，即
132
--??
a a e ≤，所以
3
12a e
<≤． -a
●分参后构造
例7、当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成⽴，则实数a 的值范围是（）。

A ．[5,3]--
B ．9
[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--
解：当(0,1]x ∈时，得321113()4()a x x x --+≥，令1
t x
=，则[1,)t ∈+∞，
3234a t t t
--+≥，令()g t =
3234t t t --+，[1,)t ∈+∞，则
()2981(1)(91)g x t t t t '=--+=-+-，显然在[1,)+∞上，()0g t '<，()g t 单调递减，所以max ()(1)6g t g ==-，因此6a -≥；同理，当[2,0)x ∈-时，得2a -≤．由以上两种情况得62a --≤≤．显然当0x =时也成⽴，故实数a 的取值范围为[6,2]--．
四、观察结构特征，构造适合函数。

例8、若1201x x <<<，则（）
A ．2121ln ln x x e e x x ->-
B ．2121ln ln x x e e x x -<-
C ．1221x x x e x e >
D ．1221x x x e x e <
解：构造函数()ln x f x e x =-，则1
()x f x e x '=-，故()f x 在(0,1)上有⼀
极值点，即()f x 在(0,1)上不是单调函数，⽆法判断1()f x 与2()f x 的
⼩，故A 、B 错；构造函数()x e g x x =，2
(1)
()x e x g x x -'=，故()g x 在(0,1)
单调递减，所以()()12g x g x >，故选C ．
例9、若ln 2ln3ln5
235
a b c =
==
，，，则（）。

Ａ．a b c << Ｂ．c b a << Ｃ．c a b << Ｄ．b a c <<
解：设ln (0)x y x x =>，故通函数ln x y x =的图象，得ln5ln 2ln3
523
<<
，故选Ｃ．
例10、定义在R 上的函数f (x )，f (x )＋x ·f ′(x )<0，若a
个选项成⽴( )。

A．af(a)
C．af(a)>bf(b) D．af(b)>bf(a)
解、构造函数x·f(x)，易知x·f(x)是R上的减函数，∵abf(b)。