苏科版八年级数学上册试题 第6章 一次函数综合测试卷 (含详解)

第6章《一次函数》综合测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．一次函数y ＝（a+1）x+a+2的图象过一、二、四象限，则a 的取值是（ ）
A ．a ＜﹣2
B ．a ＜﹣1
C ．﹣2≤a ≤﹣1
D ．﹣2＜a ＜﹣12．若点，在直线上，则m 与n 的大小关系是（ ）．A ．B ．C ．D ．无法确定
3．如图，若一次函数y 1＝﹣x ﹣1与y 2＝ax ﹣3的图像交于点P(m ，﹣3)，则关于的不等式﹣x ﹣1＞ax ﹣3的解集是（ ）
A ．x ＜2
B ．x ＞﹣3
C ．x ＞2
D ．x ＜﹣3
4．一次函数中，当函数值时，自变量x 的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图1，在等边中，点D 是边的中点，点P 为边上的一个动点，设，图1中线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则等边的周长为（
）
)A m 3
,2
B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭1y x =+m n >m n <m n =36y x =-+0y <AB
C V BC AB AP x =DP ABC V
A ．4
B ．
C ．12
D ．6．如图，点A ，B ，C 在一次函数y ＝－2x ＋b 的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A ．1
B ．3
C ．3（b －1）D
．7．如图，直线与直线相交于点P ，若不等式的解集是，则的值等于（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．8．如图，一次函数与一次函数的图象交于P （1，3），则下列说法正确的个数是（ ）个
（1）方程的解是（2）方程组的解是（3）不等式的解集是（4）不等式的解集是．
()2
23
b -1:3m y x =+2:m y kx b =+(3)0kx b x +-+<1x >-b k 1
31
3-3
-1y ax b =+24y kx =+3ax b +=1
x =4y ax b y kx =+⎧⎨=+⎩31
x y =⎧⎨=⎩4ax b kx ++＞1
x ＞44kx ax b ++＞＞01x ＜＜
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．在地球中纬度地区，从地面到高空大约之间，气温随高度的升高而下降，每升高，气温大约下降；高于但不高于，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为，设该城市距离地面高度为处的气温为，则与的函数图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B 是直线与y 轴的交点，点P 是x 轴上的一个动点，连接PA ，PB ，则的最小值是（
）
11km 1km 6C ︒11km 20km 20C ︒()km 020x x ≤≤C y ︒y x ()3,A a 2y x =y x b =+y x b =+PA PB +
A ．6
B ．
C ．9
D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
11．已知正比例函，当时，．则比例系数k=__________．
12．若是正比例函数，则______．
13．若直线是由直线向下平移了3个单位长度得到的，则kb ＝______．
14．直线y ＝kx ＋b （k ≠0）平行于直线且经过点，那么这条直线的解析式是______．
15．如图，直线y ＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 的坐标是（1，0），DE 分别是AB 、OA 上的动点，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标是 _____．16．如图，将正方形置于平面直角坐标系中，其中，，边在轴上，直线与正方形的边有两个交点、，当时，的取值范围是__．
三、解答题（本大题共10题，共68分）
17．（4分）判断三点A （3，1），B （0，－2），C （4，2
）是否在同一条直线上．
y kx =2x =-10y =()212a y a x b =++-()2021a b -=y kx b =+21y x =--12
y x =()0,2ABCD (1,0)A (3,0)D -AD x :L y kx =ABCD O E 35OE <<k
18．（4分）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过和．
(1)求一次函数解析式．
(2)当，求y 的取值范围．
19．（6分）小明从A 地出发向B 地行走，同时晓阳从B 地出发向A 地行走，小明、晓阳离A 地的距离y （千米）与已用时间x （分钟）之间的函数关系分别如图中、所示．
(1)小明与晓阳出发几分钟时相遇？
(2)求晓阳到达A 地的时间．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝kx ＋b 经过A （－6，0），
B
(1,0)(0,2)23x -<≤1l 2l
（0，3）两点，点C 在直线AB 上，C 的纵坐标为4．
(1)求k 、b 的值及点C 坐标；
(2)若点D 为直线AB 上一动点，且△OBC 与△OAD 的面积相等，试求点D 的坐标．
21．（8分）如图，直线与直线相交于点．
(1)求a ，b 的值；
(2)求△ADC 的面积；
(3)根据图象，写出关于x 的不等式的解集．22．（8分）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点如果满足，我们就把点称作“和谐点”．
(1)在直线上的“和谐点”为________
；
:AD y x b =-+1:12
BC y x =+()2,B a 1
012x b x <-+<+xOy ()P x y ，2||y x =()P x y ，6y =
(2)求一次函数的图象上的“和谐点”坐标；
(3)已知点，点的坐标分别为，，如果线段上始终存在“和谐点”，直接写
出的取值范围是________．
23．（6分）某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备制作A 、B 两款挂件来进行销售．已知制作3个A 款挂件、5个B 款挂件所需成本为46元，制作5个A 款挂件、10个B 款挂件所需成本为85元．已知A 、B 两款挂件的售价如下表：手工制品
A 款挂件
B 款挂件售价（元/个）128
(1)求制作一个A 款挂件、一个B 款挂件所需的成本分别为多少元？
(2)若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个A 款挂件或3个B 款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作B 款挂件的数量不少于A 款挂件的2倍．设安排m 人制作A 款挂件，请说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？
2y x =-+P Q (2)P m ，(,5)Q m PQ m
24．（6分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图像解答下列问题：
(1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
(2)求线段CD对应的函数解析式；
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点在第二象限内，点、点在轴的负半轴上，，．
(1)求点的坐标；
(2)如图，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线于点，分别交直线、于点、，则除外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）(3)在（2）的基础上，将绕点按顺时针方向继续旋转，当
的函数表达式．26．（10分）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的等和点，已知点．
(1)在中，点的等和点有__________；
(2)点在直线上，若点的等和点也是点的等和点，求点的坐标；
(3)已知点和线段，点C 也在 x 轴上且满足，线段上总存在线段上每个点的等和点．若的最小值为5，直接写出的值．
A B C x 30CAO ∠=︒4OA =C ACB △C 30°A CB ''V A C 'OA E A B ''OA CA F G A B C AOC ''≌△△A CB ''V C COE V CE xOy 11(,)P x y 22(,)Q x y 1212x x y y +=+Q P ()3,0P ()()()1230,31,421,,Q Q Q --,P A 5y x =-+P A A (,0)B b MN 1BC =MN PC MN b
答案
一、选择题
1．D
【解析】解：∵一次函数y=（a+1）x+a+2的图象过一、二、四象限，∴a+1＜0，a+2＞0
解得-2＜a ＜-1．
故选：D ．
2.B
【解析】∵一次函数中，∴随的增大而增大
∴故选：B ．
3.A
【解析】解：由题意，将点代入一次函数得：，解得，
不等式表示的是一次函数的图像位于一次函数的图像上方，则由函数图像得：，1y x =+10
k =>y x 32<
m n
<(),3P m -11y x =--13m --=-2m =13x ax -->-11y x =--23y ax =-2x <
故选：A ．
4．B
【解析】解：∵一次函数y=-3x+6，
∴当y=0时，x=2，y 随x 的增大而减小，
∴当函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围为x ＞2，
在数轴上表示为： ，
故选：B ．
5．C
【解析】解：由图2可得y 最小值
∵△ABC 为等边三角形，分析图
1可知，当P 点运动到DP ⊥AB 时，DP 长为最小值，∴此时DP ∵DP ⊥AB ，
∴，
∵△ABC 为等边三角形，
∵∠B ＝60°，AB=BC=AC ，
∴，
∴BD=2BP ，
根据勾股定理可知，，
∴，∴或（舍去），，
∵D 为BC 的中点，
∴BC ＝4，
∴AB=BC=AC=4，
∴等边△ABC 的周长为12．
故选：C ．
90DPB ∠=︒906030PDB ∠=︒-︒=︒222BD BP DP =+2
2212BD BD ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2BD =2BD =-
6．B
【解析】解：由题意可得A 、C 的坐标分别为（－1，b ＋2）、（2，b －4），
又阴影部分为三个有一直角边都是1，另一直角边的长度和为A 点纵坐标与C 点纵坐标之差的
三角形，所以阴影部分的面积为：，
故选B ．
7．B
【解析】∵kx+b −(x+3)<0的解集是x>−1
∴P 点横坐标是−1，则纵坐标为2
则P （−1，2），
由图可知直线m 2与y 轴的交点坐标是（0，-1），
把P （−1，2）和（0，−1）代入
∴ ∴ 故选：B ．
8．C
【解析】解：因为一次函数与一次函数的图象交于P （1，3），
所以（1）方程ax+b=3的一个解是x=1，正确；
（2）方程组的解是，错误；（3）不等式ax+b>kx 十4的解集是x>1，正确；
（4）不等式4>kx 十4>ax+b 的解集是0<x<1，正确．
()()112432
b b ⎡⎤⨯⨯+--=⎣⎦y kx b =+21k b b -+=⎧⎨=-⎩3
1
k b =-⎧⎨=-⎩13
b k =-1y ax b =+24y kx =+4y ax b y kx =+⎧⎨=+⎩31x y =⎧⎨=⎩
9．B
【解析】解：由题意可知，当高度x=0时，y=20℃；
当x=11时，y=20-11×6=-46℃，
∴y=-6x+20（）当时，y=-46
根据一次函数的性质可知，只有B 选项的图像符合题意．
故答案为：B ．
10．D
【解析】解：作点A 关于x 轴的对称点，连接，如图所示：
则PA+PB 的最小值即为的长，
将点A （3，a ）代入y=2x ，
得a=2×3=6，
∴点A 坐标为（3，6），
将点A （3，6）代入y=x+b ，
得3+b=6，
解得b=3，
∴点B 坐标为（0，3），
根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）∴
∴PA+PB 的最小值为
故选：D ．
二、填空题
011x ≤＜1120x ≤≤A 'A B 'A B 'A B '==
【解析】解：把，代入得：，
∴．
故答案为：．
12．【解析】∵是正比例函数，
∴，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．8
【解析】解∶ 直线向下平移了3个单位长度得到，
∴k=-2，b=-4，
∴．
故答案为：8．
14．【解析】解：根据题意得，将代入得b ＝2，
直线解析式为，故答案为：．
15．10
【解析】解：如图，点C 关于OA 的对称点（-1，0），点C 关于直线AB 的对称点，∵直线AB 的解析式为y=-x+7，
∴直线C 的解析式为y=x-1，
由，得 2x =-10y =y kx =102k =-5k =-5-1
-()212a y a x b =++-10a +≠21a =20b -=1a =2b =()2021121-=-1-21y x =--24y x =--(2)(4)8kb =-⨯-=12
2y x =+12k =
()0,21
2y x b =+∴122y x =
+1
22y x =+C 'C ''C ''71y x y x =-+⎧⎨=-⎩43
x y =⎧⎨=⎩
∴F （4，3），
∵F 是C 中点，
∴可得（7，6）．
连接与AO 交于点E ，与AB 交于点D ，此时△DEC 周长最小，
△DEC 的周长=DE+EC+CD=E +ED+D =
=10．
故答案为10．
16．
且【解析】解：如图，设BC 与y 轴交于点M ，
，，，
∴E 点不在AD 边上，
；
①如果，那么点E 在AB 边或线段BM 上，
当点E 在AB 边且时，
由勾股定理得，，
，，
C ''C ''C 'C ''
C 'C ''C 'C ''k >0k <4
3
k ≠-13OA =< 3OD =3OE >0k ∴≠0k >3OE =222918AE OE OA =-=-=AE ∴=(1E ∴
当直线经过点，时，
，
，
当点E 在线段BM 上时，，
②如果，那么点E 在CD 边或线段CM 上，
当点E 在CD 边且时，E 与D 重合；
当时，由勾股定理得，，
，
，此时E 与C 重合，
当直线经过点时，．
当点E 在线段CM 上时，，
且，符合题意；综上，当时，的取值范围是
且，
故答案为：
且．三、解答题
17．解：设过A ，B 两点的直线的表达式为y ＝kx ＋b ．由题意可知，
解得 ∴过A ，B 两点的直线的表达式为y ＝x －2．
∵当x ＝4时，y ＝4—2＝2．
∴点C （4，2）在直线y ＝x －2上．
∴三点A （3，1）， B （0，－2），C （4，2）在同一条直线上．
18．（1）解：设一次函数解析式为∵一次函数的图像经过和y kx =(1k =22216117OB AB OA =+=+= 5OB ∴=<5OE OB <=<k ∴>0k <3OE =5OE =22225916DE OE OD =-=-=4DE ∴=(3,4)E ∴-y kx =()3,4-43k =-5OE OC <=0k ∴<43
k ≠-35OE <<k k >0k <4
3k ≠-k >0k <4
3
k ≠-1320k b b =+⎧⎨-=+⎩12
k b =⎧⎨=-⎩(0)
y kx b k =+≠(1,0)(0,2)
解得：∴一次函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，
一次函数的图像y 随x 的增大而减小，
当时，，
当时，，
当时，．
19．（1）解：设的解析式为：．
∵函数的图象过，
，
即，，当时，，
∴小明与晓阳出发12分钟时相遇．
（2）解：∵晓阳的速度为
（千米/分钟），∴晓阳到达A 地的时间为分钟．20．（1）解：（1）依题意得： 解得 ∴∵点C 在直线AB 上，C 的纵坐标为402
k b b +=⎧∴⎨=⎩22
k b =-⎧⎨=⎩22y x =-+20k =-<∴2x =-()2226y =-⨯-+=3x =2324y =-⨯+=-∴23x -<≤46y -≤<2l 11y k x =()30,41430k ∴=1215k =
1215
y x ∴=1 1.6y =12x =4 1.60.212-=4200.2
==603
k b b -+=⎧⎨=⎩123
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩1,3
2
k b ==
点C 坐标为（2，4）（2）∵B （0，3），C 的纵坐标为4
∴∴
设点D 点坐标为，又点A （－6，0）∴ 解得 当时当时∴点D 坐标为（－4，1）或（－8，－1）
21．（1）解∶∵直线经过点，
∴，
∴点B 的坐标为，∵直线经过点，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴直线AD 的解析式为，
令，则，
令，则，
∴A （0，4），D （4，0），
∴OA=OD=4，
直线与x 轴交于点C ，令，则，
∴C （-2，0），
∴OC=2，
∴CD=6，
1342
2
x x +==1323
2OBC S ∆=⨯⨯=3OAD S ∆=(),D D x y 162
D OA y ⨯⨯=1
D y =±1=D y 4
D x =-1D y =-8
D x =-112y x =+()2,B a 12122a =⨯+=22（，）y x b =-+()2,2B 22b =-+4b =4b =4y x =-+0x ＝4y ＝0y ＝4x ＝ 112
y x =+0y ＝2x -＝
∴；
（3）解：点B 的坐标为，点D 的坐标为，∴根据图象可得：关于x 的不等式的解集为．22．（1）解：由题意得：，
解得：x ＝3或x ＝－3，
在直线上的“和谐点”为：（3，6）和（－3，6）；
（2）由“和谐点”的定义可知或，
联立，解得：，联立，解得：，所以一次函数的图象上的“和谐点”坐标为（，）和（－2，4）；
（3）如图为的函数图象的简图，PQ y 轴，
①当m ＞0时，
令，解得：，
令，解得：，
由图可知，如果线段上始终存在“和谐点”，的取值范围是；
②当m ＜0时，
令，解得：，
令，解得：，
由图可知，如果线段上始终存在“和谐点”，的取值范围是，
综上，当或时，线段上始终存在“和谐点”．11641222
ACD S CD OA =⋅=⨯⨯=V 22（，）40（，）1
012
x b x <-+<+24x <<26x =6y =2y x =2y x =-22y x y x =-+⎧⎨=⎩234
3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
22y x y x =-+⎧⎨=-⎩
24x y =-⎧⎨=⎩2y x =-+2343
2y x =∥22y x ==1x =25y x ==52x =PQ m 512m ≤≤22y x =-=1x =-25y x =-=52x =-PQ m 512m -≤≤-5
12m ≤≤512m -≤≤-PQ
23．（1）由题意可设制作一个A 款挂件、一个B 款挂件所需的成本分别为x 、y 元，则，解得将①得6x+10y=92，
再将①②得x=7，再将x=7回代②得y=5，
解得，答：制作一个A 款挂件、一个B 款挂件所需的成本分别7元、5元；
（2）由题意得设(40)人制作B 款挂件，总利润为w 元，
则w=(12)，
∴w 随m 的增大而增大，
∵制作的总成本不超过590元，且制作B 款挂件的数量不少于A 款挂件的2倍，∴，解得10∵m 为正整数，
∴当m=17时，w 取得最大值，
此时w=377，(40)=23，
答：当安排17人制作A 款挂件，23人制作B 款挂件时，总利润最大，最大利润为377元．
24．（1）根据图像信息：货车的速度（千米/时）．∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5
小时，354651085x y x y +=⎧⎨+=⎩①②
2⨯-75
x y =⎧⎨=⎩m -7-2(85)3(40)360m m m ⨯+-⨯-=+7253(40)5903(40)22m m m m ⨯+⨯-≤⎧⎨-≥⨯⎩
1
17
7m ≤≤m -300605
v ==货
∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：（千米）．
此时，货车距乙地的路程为：（千米）．
答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米；
（2）设CD 段函数解析式为（）（）．
∵，在其图像上，
∴，解得．∴CD 段函数解析式：；
25．（1）解：在中，，，
所以，
则；
（2）解：或或（3）解：如图1，过点作于点．
∵
∴．∵在Rt △AOC 中，，IOC=2，∠ACO=90°，
∴
∴点A(-2，
，
设直线OA 的解析是为，则，
∴，
∴直线OA 的解析式为，
令
，解得x=，
∴点的坐标为． 4.560270⨯=30027030-=y kx b =+0k
≠ 2.5 4.5x ≤≤(2.5,80)C (4.5,300)D 2.5804.5300k b k b +=⎧⎨+=⎩110195
k b =⎧⎨=-⎩(1101952.5 4.)5y x x =-≤≤Rt AOC V 4OA =30CAO ∠=︒122CO OA ==()2,0C -A EF AGF '≌△△B GC CEO '≌△△A GC AEC
'≌△△E 1E M OC ⊥M 1112COE S CO E M =⋅=△1E M =4OA =AC ===y mx =()2m =⨯-m =y ==14-1E 14⎛- ⎝
设直线的函数表达式为，
，解得
．∴．同理，如图2所示，点的坐标为．设直线的函数表达式为，则
，解得 ．∴
综上所得或．26．（1）Q 1（0，3
），则0+3=3+0，
∴Q 1
（0，3）是点P 的等和点；
Q 2（1，4）
，则1+3=4+0，
∴Q 2
（1，4）是点P 的等和点；
Q 3（-2，-1），则-2+3≠-1+0，
∴Q 3（-2，-1）不是点P 的等和点；
故答案为：Q 1，Q 2；
（2）设点P （3，0）的等和点为（m ，n ），
∴3+m=n ，有m-n=-3，
1CE 11y k x b =+11112014k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩11k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
y x =+2E 1,4
⎛ ⎝2CE 22y k x b =+22222014k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩22k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
y x =y x =
+y =
∵A 在直线y=-x+5上，
∴设A （t ，-t+5），
则A 点的等和点为（m ，n ），
∴t+m=-t+5+n ，由m-n=-2t+5，
∴-3=-2t+5，
解得t=4，
∴A （4，1）；
（3）∵P （3，0），
∴P 点的等和点在直线l ：y=x+3上，
∵B （b ，0），BC=1，且C 在x 轴上，
∴C （b-1，0）或（b+1，0）∴C 点的等和点在直线l 1：y=x+b-1或y=x+b+1上，
设直线l 1与y 轴交于C'，直线l 与y 轴交于P'，则C'（0，b-1）或（0，b+1），P'（0，3），①当点C 在点B 的左边时，如图1，直线CC'与直线l 交于N ，当M 与C'重合时，MN 最小为5，∵△MNP'是等腰直角三角形，
∴
∴
，
∴
如图2，同理得
∴3+（
1-b ）
∴
②当点C 在点
B 的右边时，如图3，同理得：
∴，
∴
如图4，同理得：
，∴
，
∴
综上，b 的值是2
−或4−
或
．。