西北工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型

第六章二次型
本章共有三节内容：
§1 二次型及其矩阵表示
§2 化二次型为标准形
§3 正定二次型
§6.1二次型及其矩阵表示
二次型的定义
二次型的矩阵表示
二次型的标准形
合同矩阵
一、二次型的定义
12(,,,)
n f x x x n 元二次型是指如下形式的二次齐次多项式2111
12121313112222232322222222n n n n nn n a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++++++++ 定义6.112,,,n x x x ；
n 元二次型的特点：
①含n 个自变量②二次齐次多项式：只含或的项，无一次项
2i x i j x x 和常数项。

221212(,)5f x x x x =++不是二次型
例如：
特点：只含有变量的平方项，无混合乘积项。

222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 当a ij 为实数时，称f 为实二次型；
当a ij 为复数时，称f 为复二次型。

本章仅讨论实二次型。

标准形：二、二次型的矩阵表示
12,1(,,,)n n ij i j
i j f x x x a x x ==
∑ 若将改写成2()ij i j a x x i j <,ij i j ji j i a x x a x x +，
其中ij ji a a =，则二次型可以表示为
ij ji a a =即A 是对称矩阵，则二次型可用矩阵形式表示为：
111211212222121212(,,)(,,)n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
若令11121121222212,n n n n nn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
A x ，其中T
=x Ax
实对称矩阵A 称为二次型f 的矩阵，也把f 称为实对称矩阵A 的二次型,实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。

n 元二次型f 实质上是一个n 元二次齐次函数，利用矩阵
T .
=f x Ax 乘法，可表示为但要注意矩阵A 必须是对称矩阵，换句话说，只有
当A 为对称矩阵时，二次型的矩阵表达式才是惟一的。

二次型可以有多种表达形式。

如果不要求A 是对称矩阵，那么同样一个T .
=f x Ax
三、二次型的标准形
如果二次型中只含有变量的平方项，即
22211122(,)n n n n
f x x x d x d x d x =+++ ,,称为二次型的标准形。

对于二次型，讨论的主要问题是:
(()det 0)
ij n n x y c ×==≠C C C ，使二次型f 为标准形。

2221122n n
f d y d y d y =+++ 寻找可逆线性变换
即将x = Cy,代入f =x T Ax 中,能使
四、合同矩阵
定义6.2设A 与B 为n 阶方阵，若有n 阶可逆矩阵C ，性质：.
A B 使得T ,=C AC B 则称矩阵A 与B 合同，记为A A ；
(1)反身性：(2)对称性：若则A B ，B A ；
.
A C (3)传递性：若则A
B B
C ，，定理6.1rank rank .
=A B 若n 阶方阵A 与B 合同，且A 为对称矩阵，则B 亦为对称矩阵，且证明：T ,rank rank()rank =≤≤B C AC B AC A
∵rank rank .∴=A B 又T 111
(),rank rank()rank −−−=≤≤A C BC A BC B ∵
T T T T ()()===f Cy A Cy y C ACy y By
二次型经可逆线性变换后：
仍为二次型,且变换前后二次型的矩阵是合同的。

若B 是对角矩阵，则就是标准形。

因此，把二
次型化为标准形的问题实质是:对于实对称矩阵A ,寻找可逆矩阵C ，使得为对角矩阵。

T C AC T y By
120
det 22330
033
−=−≠−−∵f ∴的秩为3。

3222121231223
(,,)2346f x x x x x x x x x x =+−+−例1：将二次型
表示成矩阵形式，并求二次型的秩。

112323120223(,,)033x A f x x x A x x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−∴=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠
∵ 解：
2
221234123121323
(1)(,,,)3223f x x x x x x x x x x x x x =+−++−例2写出下列二次型的矩阵
111031302311020000A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝
⎠解：f 是一个4元二次型，其矩阵为
注:即使n 元二次型中某些变元不出现，但在写二次
型时，仍要考虑这些变元。

112312323135(2)(,,)(,,)246785x f x x x x x x x x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠解：
二次型f 的矩阵为15/265/247675A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝
⎠注:当A 不是对称矩阵时,仍然是二次型，但A 不是二次型的矩阵，此时二次型的矩阵为T =f x Ax T 1()2
A +A
§6.2 化二次型为标准形
正交变换法
配方法——拉格朗日配方法
初等变换法
一、正交变换法
一定存在正交矩阵Q ，使
11T n λλ−⎛⎞⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎝
⎠Q AQ Q AQ Λ 由§5.3可知，实对称矩阵一定可对角化，并且12,,,λλλ n 其中为A 的n 个特征值。

定理6.2正交变换x = Q y 化为标准形，
任意一个n 元实二次型f = x T Ax 都可以通过()T T T T
2
1n i i i y λ=====∑f x Ax y Q AQ y y Λy
正交变换法的具体步骤：
(1)写出二次型f 的实对称矩阵A ；
(2)求A 的特征值、特征向量；
其中123,,,,λλλλ n 为实对称矩阵A 的特征值，Q 的列向量是A 的n 个特征值对应的n 个单位正交的特征(3)正交化、单位化；——得出正交矩阵Q ，使得
1T 12diag(,,,)
n λλλ−==Q AQ Q AQ (4)写出正交变换x =Q y 及标准形
2221122n n
f y y y λλλ=+++ 向量，称上式为实二次型在正交变换下的标准形。

例1：
为标准形，并求所用的正交变换。

用正交变换化二次型解222123123121323(,,)444222f x x x x x x x x x x x x =++−−−411141114A −−⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠
2411det()141(5)(2)114A E λλλλλλ
−−−−=−−−=−−−−−−② 1231111,0,1011p p p −−⎛⎞⎛⎞⎛⎞===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
①二次型矩阵得A 的特征值1235,2
λλλ===③对应的特征向量依次为
12112211,01ηη−−⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟==−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠1116321111232632163,,0q q q −⎛⎞⎛⎞−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
注意：
都与正交，但不正交，需正交化。

12,p p 3p 12,p p 把正交化得12,p p 再把单位化得
123,ηηp ,x =Qy ④令11126311126321630Q ⎛⎞−−⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，
则所用正交变换为222123
552=++f y y y ⑤化为二次型f 为：
例2：已知二次型22232=+f y y ，
及所用的正交变换矩阵。

经过正交变换化为标准形解：1101,1112a a b b ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝
⎠A Λ求参数a ，b 变换前后二次型的矩阵分别为
它们是正交相似的,于是
det()det()
λλ−=−A E ΛE 32222323(2)()32λλλλλλ−+++−−−=−+−a b a b 比较同次幂的系数,求解得a =b =0.
λ即222123123121323
(,,)222f x x x x x x ax x x x bx x =+++++
1230,1,2λλλ===∵∴分别求出对应的特征向量又是A 的三个特征值，()()()T T T 123101,010,101=−==p p p 11022010.
11022⎛⎞−⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠Q 123,,p p p ∵∴单位化得所用的正交变换矩阵为:
123,,p p p 两两正交
例3已知二次型
513153.33A c −⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠
解：(1)二次型的矩阵为的秩为2(1)求参数c ；
(2)求一正交变换化二次型为标准形；(3) 表示何种二次曲面。

1f =由于二次型的秩为2，所以rank 2.
A =方法1.由513
det 153
33A c
−=−−−41345303c −−−12
c c +3222
12312121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++−+−
21
r r −41306603c
−−−24(3)0,c =−=得 3.c =方法2.A 024*********c −⎛⎞⎜⎟−−⎜
⎟⎜⎟−⎝⎠125r r +323r r +15
302
10129c −⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠
1112r ×12r r ↔153021
003c −−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠
326r r −由rank 2A =知 3.
c =
513(2)153.333A −⎛⎞⎜⎟=−−⎜
⎟⎜⎟−⎝
⎠
可求得513det()1
533
33A E λ
λλλ−−−=−−−−−413
4530
33λλλλ−−−−−−−12
c c +21
r r −413
066033λλλ
−−−−−−(4)(9)λλλ=−−−A 的特征值为1230,4,9.λλλ===对应的特征向量分别为
T T T
123(1,1,2),(1,1,0),(1,1,1)
=−==−p p p
1122331116
23
111,62321063x y x y x y ⎛⎞
−⎜⎟⎜
⎟⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
=
−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠
⎝⎠⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
单位化得
T T
T 1231121
1111(,,),(,
,0),(,,)6662
2333=−==−q q q 故正交变换化二次型为22
2349.
f y y =+(3) 是椭圆柱面。

123(,,)1f x x x =
正交变换=x Qy
T T
T T
T 121
2121
21
212(,)()()(,)
=====x x x x Qy Qy y Q Qy y y y y 正交变换（如转轴公式）不改变向量的长度与夹角。

与平移变换统称为直角坐标变换。

（保持曲面或曲线的形状不改变。

）
例4用配方法化二次型
22
12313121323
(,,)3242=++++f x x x x x x x x x x x 为标准形,并求所用的可逆线性变换=x Cy (det 0).≠C 解:先集中所有含x 1的项并配方，得
22
1123323
[2(2)]32=++++f x x x x x x x 222
12323323
(2)(2)32=++−+++x x x x x x x x
22
12323(2)()=++−+x x x x x 二、配方法——拉格朗日配方法
用配方法化二次型为标准形的要求是利用和的平方公式和两数平方差公式逐步消去非平方项并构造新平方项。

11232233
32,=++⎧⎪=+⎨⎪=⎩y x x x y x x y x 令1123
2233
3=−−⎧⎪
=
−⎨⎪=⎩x y y y x y y x y 即得可逆线性变换: 22
1
2=−f y y ．
小结：标准形为若二次型含有x i 的平方项，则把含有x i 的项
集中，然后按x i 配成平方项，对其它变量也做类似处理，直到都配成平方项为止。

123121323(,,)f x x x x x x x x x =++解：1122123
3=+⎧⎪
=−⎨⎪=⎩x y y x y y x y 代入二次型,得
1212123123
()()()()=+−+++−f y y y y y y y y y y 222212131132
22=−+=+−y y y y y y y y 222
1332
()=+−−y y y y 例5因f 中不含平方项而含x 1x 2(a 12≠0)乘积项,故令
113
223
3=+⎧⎪=⎨⎪=⎩z y y z y
z y
又令
113
223
3=−⎧⎪=⎨⎪=⎩y z z y z y z
2
22
1
23
=−−f z z z 或得标准形为112321233
3=+−⎧⎪=−−⎨⎪=⎩x z z z x z z z x z
所用的可逆线性变换为：
222
123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =−+−+−例6将二次型化为标准形。

下列解法是否正确？
112
2233
31=−⎧⎪=−⎨⎪=−⎩y x x y x x y x x
222123
=++f y y y 得f 的标准形:解：令
112233110011101y x y x y x −⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠
将二次型化为标准形的意义：经过可逆线性变换,将含有交叉项的二次型化为只含平方项的二次型。

上述错解在于没有利用可逆线性变换,将二次型化为标准形。

错解分析正确解法：
令112223,,=−=−u x x u x x 3112(),
−=−+x x u u 则222
1212()=+++f u u u u 22
122
132()22=++u u u 于是
22
123231132()()
222
=−−+−x x x x x 不是可逆线性变换
1123223331122⎧=−−⎪⎪=−⎨⎪=⎪⎩y x x x y x x y x 2212322
=+f y y 解上述线性方程组可得: 令得二次型的标准形11232233312⎧=++⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩x y y y x y y x y 显然,它是可逆线性变换。

定理6.4秩为r 的任一n 阶实对称矩阵A 都合同于对角矩阵,即存在n 阶可逆矩阵C ,使得：
1T 00r d d ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠C AC D (0,1,2,)
≠= i d i r 定理6.3秩为r 的任意n 元实二次型都可通过可逆线性变换x=Cy 化为标准形T
=f x Ax 2221122(0,1,2,)r r i f d y d y d y d i r =++≠=
§6.3 正定二次型
惯性定理
二次型的分类
正定矩阵的几个性质
一、惯性定理：
设实二次型f=x T Ax ，其秩为r ，经可逆线性变换x=Cy ，可将f 化为标准形：
222112212(,,,0)
=+++≠ r r r f k y k y k y k k k (1) f 的秩为r 时，标准形中非零平方项为r 项；
(2) 设其中有p 项为正，则把p 称为二次型f 的正惯性22222121p p r f z z z z z +=+++−−− 称为实二次型的规范形。

有r －p 项为负，把r －p 称为二次型f 的负惯性指数，此时
指数;定理6.5(惯性定理)秩为r 的一个实二次型，其正惯性指数惟一，负惯性指数也惟一。

定理6.6秩为r 的n 阶实对称矩阵合同于形式为p r p E E −⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝
⎠0的对角矩阵，其中p 由A 惟一确定。

二、二次型的分类
定义6.3
若对所有的x ≠0，实二次型f=x T Ax 都有
(0)<A ;定矩阵②若0,f <则称f 为负定二次型，A 为负①若0,f >则称f 为正定二次型，A 为正定(0)>A ;矩阵③若0,f ≥则称f 为半正定二次型，A 为半正定矩阵(0)≥A ;(0)≤A ;
④若0,f ≤则称f 为半负定二次型，A 为半负定矩阵A 为不定矩阵。

⑤若f 可正可负，则称f 为不定二次型，
常用的判别法：
定理6.7n 元实二次型f=x T Ax 正定的充要条件是，它的
标准形中n 个系数全为正，即f 的正惯性指数为n 。

推论1实对称矩阵A 为正定矩阵的充要条件是A 的特征
值全为正数。

推论2实对称矩阵A 为正定矩阵的充要条件是A 合同于单位矩阵E 。

推论3实对称矩阵A 为正定矩阵的必要条件是det A >0。

定理6.8实对称矩阵A 为正定矩阵的充要条件是，A 的各阶顺序主子式都为正。

111211122122
0,0,,det 0Δ=>Δ=>Δ=> n a a a A a a 即
定理6.9n元实二次型f=x T Ax为负定二次型的充要条件是下列之一成立：
(1) f 的负惯性指数为n；
(2) A的特征值全为负数；
(3) A合同于－E；
(4) A的各阶顺序主子式负正相间。

综上，判断二次型f是否正定(或负定)的方法有三：
(1)求出f 的标准形，即知p=n正定；p=0，r=n负定。

(2)A的特征值全为正，f 正定；全负，f 负定。

*(3)A的各阶顺序主子式全为正，f 正定；负正相间，
f 负定。

例1：判断下列二次型的正定性：
222
123112232221231231213(1)(,,)5453;
(2)(,,)24242.
f x x x x x x x x f x x x x x x x x x x =−++=−−−+−520250003−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠
A 1235250,210,32163025−Δ=>Δ==>Δ=×=>−∵解:(1)f 的矩阵∴A 正定，故f 正定。

221240102−−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝
⎠A 1232220,40,40
2
4−Δ=−<Δ==>Δ==−<−A ∵∴f 负定。

(2)f 的矩阵
例2：t 为何值时，二次型
222123123122313
(,,)222f x x x tx tx tx x x x x x x =+++−+为正定二次型。

111111t t t ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠A ，由正定的充要条件有解:f 的矩阵0101det 0
>⎧⎪⎪>⎨⎪⎪>⎩t t t A 22010(2)(1)0>⎧⎪−>⎨⎪−+>⎩t t t t 即2.
>t 解得所以，当时，f 正定。

2>t
三、正定矩阵的几个性质：
证：T 0(1,2,,)
　i i ii f a i n ==>=εA ε det 0>A ；
①若A 正定，则②若A 正定，则A 的特征值全为正；③若A 正定，则0,1,2,,>= ii a i n (正定的必要条件)。

令f=x T Ax ，则f 正定，于是取x=εi ,便有
④若A 正定，则均正定。

T 1*,,,,(0)m
k k −>A A A A A (∵实对称矩阵特征值全为正)
⑤若A ，B 均正定，则A+B 也是正定矩阵。

证：例3:det() 1.+>A E 设A 是n 阶正定矩阵，证明：
设12,,,λλλ n 是A 的特征值，由A 正定知
0(1,2,)λ>= i i n ，
121,1,,1λλλ+++ n 又的特征值为+A E 12det()(1)(1)(1) 1.n +=+++>A E λλλ于是例4:设是n 阶正定矩阵，证明是正定矩阵.1
−−E A −A E 分析：由正定知A 为对称矩阵，1T 1()−−−=−E A E A 设A 的特征值为(1,2,),k k n λ= 10(1,2,),k k n λ−>= 1−−E A 的特征值为110(1,2,).k
k n λ−>= −A E 则
例6:m n ×设A 是实矩阵，且，证明是
rank n =A T A A 正定矩阵。

证明因为T T T T T T ()(),==A A A A A A 所以是实对称T A A 矩阵。

又对任意n 维非零列向量x ，有0,≠Ax （否则，rank 0n A −=若则由知矛盾），0,=Ax ,x =0从而
2T T T ()()()0
==>x A A x Ax Ax Ax 故是正定矩阵。

T A A 例5:T ,=A U U 已知其中U 是可逆矩阵,证明A 是正定矩阵。

证明因为T T T T (),===A U U U U A 所以A 是实对称矩阵。

对任意由U 可逆知从而
0,≠x 0,≠Ux 2T T T T ()()0
===>x Ax x U Ux Ux Ux Ux 故A 是正定矩阵。