江苏省连云港市灌云县2018_2019学年高一数学下学期期中试题含解析
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【详解】设甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，和棋的概率为 ，
则 ，两式相加得 ，又 ，
所以
故选A．
【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算公式，属基础题．
6.下列叙述中正确命题的个数是：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求得三角形边长分别为2、3的夹角的正弦值为 ，由余弦定理可求第三边的长，根据正弦定理即可求得外接圆的直径，进而可求其半径，利用圆的面积公式即可计算得解．
【详解】△ABC的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为 ，
故其夹角的正弦值为 ，
故答案为：直角
【点睛】此题考查了余弦定理，以及勾股定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
15.在正方体 中， 与面 所成的角是______．
【答案】
【解析】
【分析】
通过证明 平面 得线面角为90°．
【详解】
正方体中 平面 ， 平面 ，
∴ ，又正方形 中 ， ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ，同理 ，而 与 是平面 内两相交直线，
平面SAC；
（2） 平面SAC， 平面SAC．
，
，点H分别为SC的中点，
，
又 ，
平面SBC．
【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
20.在 中，角 的对边分别为 ．
（l）求角 的大小；
（2）已知 ，且 的外接圆的半径为 ，若 ，求 的值．
【答案】（l）甲平均数7，乙平均数7，甲方差3，乙方差 ；（2）乙.
【解析】
【分析】
（1）根据平均数和方差的公式分别进行计算即可；
（2）结合平均数和方差的大小进行比较判断即可．
【详解】（1）甲的平均数为 ，
乙的平均数为 ，
甲的方差为
，
乙的方差为 ；
（2）由于 ，则两人平均数相同， ，则甲数据不如乙数据稳定，故应选派乙参加比赛．
江苏省连云港市灌云县2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取（ ）人
A. 30B. 40C. 50D. 60
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出三角形BCD的面积，求出四边形ABCD的面积，运用三角函数的恒等变换和正弦函数的值域，求出满足条件的角的值即可．
【详解】
设 ，
∵△BCD是正三角形，
∴ ，
由余弦定理得： ，
，
时，四边形ABCD的面积最大，
此时 ．
故选D．
【点睛】本题考查余弦定理和三角形的面积公式，考查两角的和差公式和正弦函数的值域，考查化简运算能力，是一道中档题．
∴ 平面 ，
∴ 与面 所成的角是 ．
故答案 ： ．
【点睛】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
16.如图，四棱锥 的底面 是矩形， 为 上一点，且 ．设三棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，则 ______．
【答案】
【详解】
如图，M，N为上下底面正三角形的中心，O为MN的中点，即外接球球心
∵正三棱柱 的所有棱长都是6，
，
球半径 ，
该棱柱外接球的表面积为 ．
故选C．
【点睛】本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，考查正三棱柱的结构特征、外接球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.在 中，若 为等边三角形（ 两点在 两侧），则当四边形 的面积最大时， （ ）
【解析】
【分析】
设P到平面ACD的距离为h，则E到平面ACD的距离为 ，则 ．由此能求出 ．
【详解】∵四棱锥 的底面 是矩形，E为 上一点，且 ．
设P到平面ACD的距离为h，则E到平面ACD的距离为 ，
设三棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，
则 ，
．
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查几何体的体积的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
【详解】（1）∵在△ABC中， ，
∴利用正弦定理化简得： ，
，
则 ；
（2） ，
，
，
则 ．
【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
19.如图，在三棱锥 中， 平面 ．已知 ，点 分别为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ．
14.在 中， ，则 是______三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】
已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，表示出 ，再利用余弦定理表示出 ，两者相等变形后，利用勾股定理即可对于三角形形状做出判断．
【详解】∵在△ABC中， ，即 ，
，
由余弦定理得： ，即 ，
整理得： ，即 ，
则△ABC为直角三角形，
【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，结合平均数和方差的公式进行计算是解决本题的关键．
18.在 中， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 利用正弦定理化简得到 ，根据a的值求c的值，即为AB的长；
（2）由余弦定理表示出 ，将a，b，c的值代入求出 的值，进而求出 的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
①利用线面平行的判定定理即可判断出正误；
②由面面垂直的判定定理即可判断出正误；
③由线面垂直的性质定理、面面平行的判定定理即可判断出正误正确；
④由两个平面垂直的性质定理、线面平行的判定定理即可判断出正误．
【详解】①若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，因此①不正确；
7.一个不透明袋子中装有形状、大小都相同的红色小球4个，白色小球2个，现从中摸出2个，则摸出的两个都是红球的概率为（ ）
A. Fra Baidu bibliotek. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据古典概型概率公式可得．
【详解】摸出的两个都是红球的概率为： ．
故选A．
【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属基础题．
8.若 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦为 ，则其外接圆的面积为（ ）
，
故选C．
【点睛】本题考查正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，得到 ，是解题的关键，属基础题．
5.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为（ ）
A. 0.5B. 0.3C. 0.2D. 0.1
【答案】A
【解析】
【分析】
设甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，和棋的概率为 ，根据甲胜、乙胜和 列方程组可解得．
【答案】（l） ；（2）9.
【解析】
分析】
（1）由题意可得， ，结合余弦定理可求 ，结合B的范围可求B的值．
（2）由已知利用正弦定理可得 ，可求 ，由余弦定理可解得 ，联立可得a，c的值，利用余弦定理可求 的值，根据平面向量数量积的运算即可计算得解．
【详解】（1）
由余弦定理可得， ，
，
．
（2） ，△ABC 外接圆的半径为 ，
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知可证 ，利用线面平行的判定定理即可证明 平面SAC；
（2）由线面垂直的性质可证 ，由等腰三角形的性质可证 ，利用线面垂直的判定定理即可证明 平面SBC．
【详解】
（1）∵E，F分别为AB，BC的中点，
，
又 平面SAC， 平面SAC，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【详解】现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
2.在 中，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
由余弦定理可得第三边 长为： ，
则利用正弦定理可得：△ABC的外接圆的直径为 ，
可得：△ABC的外接圆的半径为 ，
可得△ABC的外接圆的面积为 ．
故选C．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，正弦定理与余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题．
9.若 的内角 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知数据 的平均数为 ，则数据 的平均数为______．
【答案】19
【解析】
【分析】
根据平均数的定义和公式进行计算即可．
【详解】∵数据 的平均数为 ，即数据 ，
则数据 的平均数 ，
故答案为：19．
【点睛】本题主要考查平均数的计算，结合平均数的公式是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.甲，乙两名射击运动员在相同条件下进行水平测试，各射击10次，命中的环数如下：
甲
8
6
7
8
6
5
9
10
4
7
乙
6
7
7
8
6
7
8
7
9
5
（l）分别计算两组数据的平均数及方差；
（2）现要从甲、乙两人中选拔一人去参加比赛，根据上面的测试结果，你认为应该派谁去合适？并且说明理由．
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，由面面垂直的判定定理可知：正确；
③垂直于同一直线的两个平面相互平行，正确；
④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行，不一定正确，此直线可能在一个平面内．
叙述中正确命题的个数是2．
故选B．
【点睛】本题考查了空间位置关系判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解析】
【分析】
根据正弦定理可得 ，因此三角形ABC为直角三角形．
【详解】 ，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了正弦定理和勾股定理，属基础题．
3.如果直线 和直线 是异面直线，直线 ，那么直线 与 （ ）
A. 异面B. 相交C. 平行D. 异面或相交
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间直线的位置关系可判断。
．
三棱锥D1-ADC的表面积：
．
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积、表面积的求法，考查正方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.如图，有一位于 处的雷达观察站发现其北偏东 ，与 相距 海里的 处有一货船正匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于 点北偏东 （其中 ），且与 相距 海里的 处．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦定理可得 ，然后再用余弦定理求出 即可．
【详解】 ，
，
令 ，则 ，
由余弦定理得，
，
故选B．
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，属基础题．
10.在 中,内角 所对的边为 ,其面积 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合三角形面积公式求解c的值即可.
【答案】（1）证明见解析；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）推导出 ，从而 平面 ，由此能证明 ．
（2）三棱维D1-ADC的体积 ，三棱维 的表面积 ，由此能求出结果．
【详解】
（1）∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F为棱 的任一点．
，
， 平面 ，
平面 ， ．
（2）∵正方体的棱长为a，
∴三棱锥D1-ADC的体积：
【详解】由三角形面积公式可得： ，
据此可得： .
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.已知正三棱柱 的所有棱长都是6，则该棱柱外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D. 84
【答案】C
【解析】
【分析】
利用外接球球心为上下底面中心连线的中点，求出外接球的半径，进而得到该棱柱外接球表面积．
【详解】因为直线a与直线b是异面直线，直线c∥a
则c与b有公共点，则相交
或c与b不相交，则b与c异面
所以选D
【点睛】本题考查了空间直线的位置关系，属于基础题。
4.在 中，已知 ，且 ，则角 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理可得 ，化简可得 ．
【详解】 ，
，
，
，又 ，
∴由正弦定理可得： ，可得： ，
，①
∴由余弦定理可得： ，
解得： ，②
∴联立①②可得： ，或 ，
由 ，可得： ，
，
．
【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，平面向量数量积的运算，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21.如图，在正方体 中， 为棱 任一点．
（1）求证： ；
（2）若正方体的棱长为 ，求三校维 的体积和表面积．
则 ，两式相加得 ，又 ，
所以
故选A．
【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算公式，属基础题．
6.下列叙述中正确命题的个数是：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求得三角形边长分别为2、3的夹角的正弦值为 ，由余弦定理可求第三边的长，根据正弦定理即可求得外接圆的直径，进而可求其半径，利用圆的面积公式即可计算得解．
【详解】△ABC的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为 ，
故其夹角的正弦值为 ，
故答案为：直角
【点睛】此题考查了余弦定理，以及勾股定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
15.在正方体 中， 与面 所成的角是______．
【答案】
【解析】
【分析】
通过证明 平面 得线面角为90°．
【详解】
正方体中 平面 ， 平面 ，
∴ ，又正方形 中 ， ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ，同理 ，而 与 是平面 内两相交直线，
平面SAC；
（2） 平面SAC， 平面SAC．
，
，点H分别为SC的中点，
，
又 ，
平面SBC．
【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
20.在 中，角 的对边分别为 ．
（l）求角 的大小；
（2）已知 ，且 的外接圆的半径为 ，若 ，求 的值．
【答案】（l）甲平均数7，乙平均数7，甲方差3，乙方差 ；（2）乙.
【解析】
【分析】
（1）根据平均数和方差的公式分别进行计算即可；
（2）结合平均数和方差的大小进行比较判断即可．
【详解】（1）甲的平均数为 ，
乙的平均数为 ，
甲的方差为
，
乙的方差为 ；
（2）由于 ，则两人平均数相同， ，则甲数据不如乙数据稳定，故应选派乙参加比赛．
江苏省连云港市灌云县2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取（ ）人
A. 30B. 40C. 50D. 60
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出三角形BCD的面积，求出四边形ABCD的面积，运用三角函数的恒等变换和正弦函数的值域，求出满足条件的角的值即可．
【详解】
设 ，
∵△BCD是正三角形，
∴ ，
由余弦定理得： ，
，
时，四边形ABCD的面积最大，
此时 ．
故选D．
【点睛】本题考查余弦定理和三角形的面积公式，考查两角的和差公式和正弦函数的值域，考查化简运算能力，是一道中档题．
∴ 平面 ，
∴ 与面 所成的角是 ．
故答案 ： ．
【点睛】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
16.如图，四棱锥 的底面 是矩形， 为 上一点，且 ．设三棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，则 ______．
【答案】
【详解】
如图，M，N为上下底面正三角形的中心，O为MN的中点，即外接球球心
∵正三棱柱 的所有棱长都是6，
，
球半径 ，
该棱柱外接球的表面积为 ．
故选C．
【点睛】本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，考查正三棱柱的结构特征、外接球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.在 中，若 为等边三角形（ 两点在 两侧），则当四边形 的面积最大时， （ ）
【解析】
【分析】
设P到平面ACD的距离为h，则E到平面ACD的距离为 ，则 ．由此能求出 ．
【详解】∵四棱锥 的底面 是矩形，E为 上一点，且 ．
设P到平面ACD的距离为h，则E到平面ACD的距离为 ，
设三棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，
则 ，
．
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查几何体的体积的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
【详解】（1）∵在△ABC中， ，
∴利用正弦定理化简得： ，
，
则 ；
（2） ，
，
，
则 ．
【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
19.如图，在三棱锥 中， 平面 ．已知 ，点 分别为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ．
14.在 中， ，则 是______三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】
已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，表示出 ，再利用余弦定理表示出 ，两者相等变形后，利用勾股定理即可对于三角形形状做出判断．
【详解】∵在△ABC中， ，即 ，
，
由余弦定理得： ，即 ，
整理得： ，即 ，
则△ABC为直角三角形，
【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，结合平均数和方差的公式进行计算是解决本题的关键．
18.在 中， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 利用正弦定理化简得到 ，根据a的值求c的值，即为AB的长；
（2）由余弦定理表示出 ，将a，b，c的值代入求出 的值，进而求出 的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
①利用线面平行的判定定理即可判断出正误；
②由面面垂直的判定定理即可判断出正误；
③由线面垂直的性质定理、面面平行的判定定理即可判断出正误正确；
④由两个平面垂直的性质定理、线面平行的判定定理即可判断出正误．
【详解】①若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，因此①不正确；
7.一个不透明袋子中装有形状、大小都相同的红色小球4个，白色小球2个，现从中摸出2个，则摸出的两个都是红球的概率为（ ）
A. Fra Baidu bibliotek. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据古典概型概率公式可得．
【详解】摸出的两个都是红球的概率为： ．
故选A．
【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属基础题．
8.若 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦为 ，则其外接圆的面积为（ ）
，
故选C．
【点睛】本题考查正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，得到 ，是解题的关键，属基础题．
5.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为（ ）
A. 0.5B. 0.3C. 0.2D. 0.1
【答案】A
【解析】
【分析】
设甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，和棋的概率为 ，根据甲胜、乙胜和 列方程组可解得．
【答案】（l） ；（2）9.
【解析】
分析】
（1）由题意可得， ，结合余弦定理可求 ，结合B的范围可求B的值．
（2）由已知利用正弦定理可得 ，可求 ，由余弦定理可解得 ，联立可得a，c的值，利用余弦定理可求 的值，根据平面向量数量积的运算即可计算得解．
【详解】（1）
由余弦定理可得， ，
，
．
（2） ，△ABC 外接圆的半径为 ，
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知可证 ，利用线面平行的判定定理即可证明 平面SAC；
（2）由线面垂直的性质可证 ，由等腰三角形的性质可证 ，利用线面垂直的判定定理即可证明 平面SBC．
【详解】
（1）∵E，F分别为AB，BC的中点，
，
又 平面SAC， 平面SAC，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【详解】现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
2.在 中，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
由余弦定理可得第三边 长为： ，
则利用正弦定理可得：△ABC的外接圆的直径为 ，
可得：△ABC的外接圆的半径为 ，
可得△ABC的外接圆的面积为 ．
故选C．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，正弦定理与余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题．
9.若 的内角 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知数据 的平均数为 ，则数据 的平均数为______．
【答案】19
【解析】
【分析】
根据平均数的定义和公式进行计算即可．
【详解】∵数据 的平均数为 ，即数据 ，
则数据 的平均数 ，
故答案为：19．
【点睛】本题主要考查平均数的计算，结合平均数的公式是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.甲，乙两名射击运动员在相同条件下进行水平测试，各射击10次，命中的环数如下：
甲
8
6
7
8
6
5
9
10
4
7
乙
6
7
7
8
6
7
8
7
9
5
（l）分别计算两组数据的平均数及方差；
（2）现要从甲、乙两人中选拔一人去参加比赛，根据上面的测试结果，你认为应该派谁去合适？并且说明理由．
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，由面面垂直的判定定理可知：正确；
③垂直于同一直线的两个平面相互平行，正确；
④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行，不一定正确，此直线可能在一个平面内．
叙述中正确命题的个数是2．
故选B．
【点睛】本题考查了空间位置关系判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解析】
【分析】
根据正弦定理可得 ，因此三角形ABC为直角三角形．
【详解】 ，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了正弦定理和勾股定理，属基础题．
3.如果直线 和直线 是异面直线，直线 ，那么直线 与 （ ）
A. 异面B. 相交C. 平行D. 异面或相交
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间直线的位置关系可判断。
．
三棱锥D1-ADC的表面积：
．
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积、表面积的求法，考查正方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.如图，有一位于 处的雷达观察站发现其北偏东 ，与 相距 海里的 处有一货船正匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于 点北偏东 （其中 ），且与 相距 海里的 处．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦定理可得 ，然后再用余弦定理求出 即可．
【详解】 ，
，
令 ，则 ，
由余弦定理得，
，
故选B．
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，属基础题．
10.在 中,内角 所对的边为 ,其面积 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合三角形面积公式求解c的值即可.
【答案】（1）证明见解析；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）推导出 ，从而 平面 ，由此能证明 ．
（2）三棱维D1-ADC的体积 ，三棱维 的表面积 ，由此能求出结果．
【详解】
（1）∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F为棱 的任一点．
，
， 平面 ，
平面 ， ．
（2）∵正方体的棱长为a，
∴三棱锥D1-ADC的体积：
【详解】由三角形面积公式可得： ，
据此可得： .
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.已知正三棱柱 的所有棱长都是6，则该棱柱外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D. 84
【答案】C
【解析】
【分析】
利用外接球球心为上下底面中心连线的中点，求出外接球的半径，进而得到该棱柱外接球表面积．
【详解】因为直线a与直线b是异面直线，直线c∥a
则c与b有公共点，则相交
或c与b不相交，则b与c异面
所以选D
【点睛】本题考查了空间直线的位置关系，属于基础题。
4.在 中，已知 ，且 ，则角 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理可得 ，化简可得 ．
【详解】 ，
，
，
，又 ，
∴由正弦定理可得： ，可得： ，
，①
∴由余弦定理可得： ，
解得： ，②
∴联立①②可得： ，或 ，
由 ，可得： ，
，
．
【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，平面向量数量积的运算，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21.如图，在正方体 中， 为棱 任一点．
（1）求证： ；
（2）若正方体的棱长为 ，求三校维 的体积和表面积．