北京市房山区实验中学高考数学总复习 正弦定理和余弦定理的应用学案 新人教A版

北京市房山区实验中学高考数学总复习正弦定理和余弦定理的应用学案新人教A版

（一）教学目标

1．知识与技能：初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量有关的实际问题。

2．过程与方法：通过解决“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”或“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

3．情感、态度与价值观：通过解决“测量”问题，体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题。培养学生的数学应用意识和探索问题、解决问题的能力，学习用数学的思维方式去解决问题，认识世界。

（二）教学重点、难点

重点是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决。

难点是分析并确定将实际问题转化为数学问题的思路。

（三）教学方法

自主探究与教师指导相结合。

（四）教学过程

引入

前几节课我们学习了应用正弦定理和

余弦定理解决一些解三角形问题。在实际生

活中，我们也可以应用这些知识来解决一些

实际问题。

引例2：不过河对岸，怎样测量河两岸

的码头距离？

如图，设B、C两个码头分别在河的两

岸，如何求两个码头间的距离？

本节课我们主要介绍应

用正弦定理和余弦定理测量高

度和距离。要应用正弦定理和

余弦定理，须构造三角形，测

出一些角及边长，解三角形。

在生活中，测量者可以借

助钢卷尺和距离测量轮等工具

来测量距离，可以借助经纬仪

等角度测量工具来测量角度。

（图片展示）

要测量实际生活中的高

度，我们先从简单的例子入手。

假如我们有恰当的测量

工具来测量。

学生思考

总结：旗杆的底部是可以

到达的，因此可以构造一个△

ADC，借助钢卷尺测出CD的长，

借助经纬仪测出∠ACD=α。最

后可得AD=CDtanα.由于三角

架是有一定高度的，因此旗杆

AB=AD+DB（DB为三角架的高

度）。

在测量高度的时候，我们

可以先把三角架的高度忽略，

最后加上三角架的高度即可。

分析：测量者在与B点同侧的

河岸边任选A点，测得AB的距

离，测得∠B=α，∠A=β

已知：AB的距离，∠CBA=α,

∠CAB=β.

求BC.

为从

实际问题

中抽象出

数学模型

做铺垫。

1.此题学

生初中接

触过，可以

让学生回

忆起已有

的经验；

2.为引出

问题1，解

决问题做

准备。

提出问题

问题1：怎样测量一个底部不能到达的

建筑物的高度？

如图（课件），在北京故宫的四个角上

各矗立着一座角楼。如何通过测量，求得角

楼的高度？

通过求旗杆高度的例子，

我们进一步研究底部不能到达

的高度测量问题。

分析、探究、讨论、归纳

由旗

杆测量引

导学生思

考：当一个

三角形解

•A

•

B

•C

αβ

决不了问题时，应该如何解决。

探究转化解决过程 提出问题 思考：有没有其他的方法？

问题2：不过河对岸，如何测量河对岸两个不能到达的建筑物A , B 间的距离？

方案1：可在适当的地方

选取一点C ，对角楼AB 测量，如图，在△ABC 中，只能测得∠ACB （设为α），要求得AB ，

须再BC 上选取一点E ，可测得EC 的距离和∠AEB （设为β）。 分析后，写出已知、求解。 已知：EC 的长度，∠ACB=α，∠AEB=β。 求AB 。（最后加上三角架的高度） 学生试着写出求解过程。 共同分析，再由学生完成，教师给予指导。

方案2：由于我们不能直接到达角楼的底部，因此，当我在地面上任选一点C 时，不能测得BC 的长，只能测得∠ACB=α，因此需要再构造出一个三角形来求解，可在地面上任选

一点E ，构造△BCE ，可测出CE

的距离，也可测出∠BCE=β,∠BEC=γ.在△BCE 中求出BC 的距离，再按照求旗杆的方法就出角楼的高度。 学生讨论，并试着叙述测量方案。 分析：测量者先在河对岸任选一点C ，构造△ABC ，可测出∠ACB=α，再任选一点D ，构造△ACD ，测出∠ADC=β，∠BCD=θ,在△ACD 中求出AC 的距离，再构造△BCD ，测出∠ADB=γ,在△BCD 中求出BC 的

距离，最后在△ABC 中利用余

弦定理求出AB 。

使学生经历并体会如何将实际问题转化为数学问题。

深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法。

归纳你能总结出解决测量问题的一般思想过程吗？

A

B

γα

βE

⋅

γ

⋅

C A B

C

D

•

•

••α

β

θγ

小结解决实际问题时，首先要在理解题意的基础上将实际问题数学化，然后再利用有关定理、性质、公式解决这个数学问题。步骤如下：

引导学生

回顾总结

问题的解

决过程。体

会运用数

学知识解

决实际问

题的基本

思路。

课堂

练习

教材练习A—2 教师展示答案反馈矫正

课后作业教材习题1-2A—1,

教材习题1-2B—3

思考题：（2009宁夏海南卷理）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平

方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），

飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①

指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出

计算M，N间的距离的步骤。

巩固和深

化实际问题

分析题意

抽象概括

画示意图

化成数学问题

运用有关

知识求解

已

知

写

出