北师大版九年级上册数学期末考试试卷及答案

北师大版九年级上册数学期末考试试题
一、单选题
1．下列四个实数中，无理数是（ ）
A
B ．0.3333-
C ．227 D
2x 的取值范围是（ ）
A ．x ≤ 13
B ．x ≥ 13
C ．x ﹥0
D ．x <-1 3．已知2a=3b ，则下列比例式错误的是（ ）
A ．3a = 2b
B ．3a = 2b
C ．b a = 23
D ．2a = 3b 4．某校为了解九年级学生的视力情况，从九年级的800名学生中随机抽查200名学生进行视力检测，下列说法正确的是（ ）
A ．800名学生是总体
B ．200名学生是个体
C ．200名学生是总体的一个样本
D ．200是样本容量
5．在平面直角坐标系中，点P(2x ＋1，－2)所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 6．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列条件：①AC①BD ，①AB=BC ，①①ACB=45°，①OA=OB ．上述条件能使矩形ABCD 是正方形的是（ ）
A ．①①①①
B ．①①①
C ．①①①
D ．①①① 7．已知（x-1）2=2，则代数式2x -2x +5的值为 （ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8．直线y=x +a 不经过第四象限，则关于x 的方程a 2x -2x -1=0的实数解的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 9．如图，点A 、B 、C 是①O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF①OC 交圆O 于点F ，则①BAF 等于( )
A ．12.5°
B ．15°
C ．20°
D ．22.5°
10．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 给出下列结论：①abc ＜0，①4a+2b+c ＜0，①a+c ＞b ，①a+b≤t （at+b ）（t 是任意一个实数），①当x ＜-1时，y 随x 的增大而减少．其中结论正确的个数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题 11．分解因式：x 2－9＝______．
12．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13．若单项式21m a b 与13
n a b 的和仍是单项式，则m n 的值是________． 14．已知三角形三边长分别为1，3，x ，若x 为奇数，则x 值为 _______．
15．二次函数y=x 2+2x+1先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的解析式为______．
16．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，动点E 在矩形的边AB 上运动，连接DE ，作点A 关于DE 的对称点P ，连接BP ，则BP 的最小值为______．
17．如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点()11,1P --；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，…，按此作法进行下去，则点2022P 的坐标为_____．
18．如图，反比例函数y ＝k x
(x ＞0)的图象交Rt①OAB 的斜边OA 于点D ，交直角边AB 于点C ，点B 在x 轴上．若①OAC 的面积为5，AD①OD ＝1①2，则k 的值为______．
三、解答题
19．计算：()2
0120213tan 3012π-⎛⎫--︒+ ⎪⎝⎭． 20．如图，在①ABC 中．
(1)作边BC 的垂直平分线交边AB 于点D ，交BC 于点E ，（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接CD ，若D 是AB 的中点，试判断①ABC 的形状，并说明理由．
21．如图，点B （4，a ）是反比例函数y 12(0)x x =
>图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ．反比例函数y (0)k x x
=>的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，连接BF ．
(1)求k 的值；
(2)求①BDF 的面积．
22．如图，在①ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 边的中点，连接AD ，分别过点A ，C 作AE①BC ，CE①AD 交于点E ，连接DE ，交AC 于点O ．
(1)求证：四边形ADCE 是矩形；
(2)若AB=10，4sin 5
COE ∠=
，求CE 的长．
23．如图，①ABC是以AB为直径的①O的内接三角形，BD与①O相切于点B，与AC的
延长线交于点D，E是BD的中点，CE交BA的延长线于点F，BD＝8，BE
1
3
=EF．
(1)求证：FC是①O的切线；
(2)求AF的长；
(3)
若①F=20︒，，求图中阴影部分的面积．
24．面对突如其来的疫情，全国人民响应党和政府的号召，主动居家隔离．随之而来的，则是线上买菜需求激增．某小区为了解居民使用买菜APP的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查（每户必选且只能选最常用的一个APP），现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（A：美团优选，B：叮咚买菜，C：每日优鲜，D：盒马生鲜）
(1)本次随机调查了户居民；
(2)补全条形统计图的空缺部分；
(3)某日下午，张阿姨想购买苹果和生菜，各APP的供货情况如下：美团优选（A）仅有苹果在售；叮咚买菜（B）仅有生菜在售；每日优鲜（C）仅有生菜在售；盒马鲜生（D）的苹果和生菜均已全部售完．求张阿姨随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋1与x轴、y轴分别交于点A（﹣
1，0）和点B，与反比例函数y＝m
x
的图象在第一象限内交于点C（1，n）．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)过x轴正半轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直线（a＞0），分别与直线AB和双曲线
y＝m
x
交于点P、Q，且PQ＝OD，求点D的坐标．
26．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=1
4
DC，求
证：①ABE①①DEF．
参考答案
1．A
2．B
3．D
4．D
5．D
6．B
7．C
8．D
9．B
10．C
11．(x ＋3)(x －3)【详解】解：x 2-9=（x+3）（x-3）
， 故答案为：（x+3）（x-3）.
12．8【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n ﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n ，由题意得，
180（n －2）=360⨯3，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
13．1【分析】由题意知21m a b +与
13n a b 是同类项，有211n m =+=，，求出m n ，的值，然后代入求解即可．
【详解】解：由题意知21m a b +与1
3
n a b 是同类项 ①211n m =+=，
解得02m n ==，
①021m n ==
故答案为：1．
【点睛】本题考查了同类项，0指数幂．解题的关键在于正确的计算．
14．3【分析】根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”和x 是奇数，即可得．
【详解】解：①三角形三边长为1，，3，x，
①24
<<，
x
①x是奇数，
x=
①3
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟记三角形的三边关系．15．y=（x-1）2-3
【详解】解：①y=x2+2x+1=（x+1）2，
①将二次函数y=x2+2x+1的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的函数解析式为：y=（x+1-2）2-3，即y=（x-1）2-3．
故答案是：y=（x-1）2-3．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
16．6【分析】根据对称的性质可得P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于P′，然后根据勾股定理可得问题的答案．
【详解】解：①点A关于DE的对称点P，
①DA=DP=6，
①P在以D为圆心的圆上，半径为6的一段弧上，连接BD，交圆D于P′，
①BP′为最小值，
①AB=4，AD=6，①DAB=90°，
=
①半径为6，即DP′=6，
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，矩形的性质，轴对称的性质，掌握相应性质是解决此题关键．
17．(1011，1011)
【详解】解：观察图象可知，偶数点在第一象限，
2(1,1)P ，4(2,2)P ，6(3,3)P ，⋅⋅⋅，2(,)n P n n ，
2022(1011,1011)P ∴，
故答案为：(1011,1011)．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，规律型等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
18．8【详解】如图，过D 点作x 轴的垂线交x 轴于H 点，
①反比例函数图象在第一象限，
①k>0，
①①ODH 的面积=①OBC 的面积=1
1
||22k k =，
①①OAC 的面积为5，
①①OBA 的面积=1
5k 2+．
①AD ：OD=1：2，
①OD ：OA=2：3．
①DH①AB ，
①①ODH①①OAB ． ①22()3ODH
OAB S S ∆∆=，即1
k
4
219
5k 2
=+．
解得：k=8．
故答案为：8
【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
19．4【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：021(2021)3tan 30|1()2
π---++︒
1314=-++
114=-+
4=．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的化简，掌握特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题关键． 20．(1)见解析
(2)直角三角形，见解析
【分析】（1）用尺规作图作出BC 边的垂直平分线即可；
（2）由DE 为BC 的垂直平分线，D 为AB 中点可得BD CD =，BD AD =，
从而可知BD CD AD ==，进而可得角之间的关键A B BCD DCA ACB ∠+∠=∠+∠=∠，
1180902
ACB ∠=⨯︒=︒，由此可证ABC 是直角三角形． (1)
解：如图所示直线DE 为BC 的垂直平分线．
(2)
如图所示①DE 为BC 的垂直平分线，
①90CED BED ∠=∠=︒，BD CD =，
又①D 为AB 中点，
①BD AD =，
①BD CD AD ==，
①BCD B ∠=∠
①CD AD =，
①DCA A ∠=∠，
①A B BCD DCA ACB ∠+∠=∠+∠=∠， ①1180902
ACB ∠=⨯︒=︒， ①ABC 是直角三角形．
【点睛】本题考查尺规作图作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，能够熟练掌握垂直平方线的性质是解决本题的关键．
21．(1)3 (2)92
【分析】（1）将点()4,B a 代入反比例函数12y x
=，解得a 的值，可得B M ，的坐标，将M
坐标代入反比例函数k y x =
，即可得k 的值； （2）将3y =代入3
y x =中，解得x 的值，可得D 点坐标，求出BD BC ，的值，根据
12
BDF S BD BC =⨯⨯计算求解即可． (1)
解：将点()4,B a 代入反比例函数12y x
=
，解得a=3 ①()4,3B
① M 是OB 中点 ①32,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
①将32,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入反比例函数k y x =，解得3232k =⨯= ①k 的值为3．
(2)
解：将3y =代入3y x
=中，解得1x =
①()1,3D
①413BD =-= 3BC = ①1922
BDF S BD BC =⨯⨯= ①①BDF 的面积为92
． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数与几何．解题的关键在于正确的计算．
22．(1)见解析
(2)CE 的长为【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD①BC 于点D ，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）过点E 作EF①AC 于F ．解直角三角形即可得到结论．
(1)
证明：①AE①BC，CE①AD，
①四边形ADCE是平行四边形，
①AB=AC，点D是BC边的中点，
①AD①BC于点D，
①①ADC=90°，
①平行四边形ADCE是矩形；
(2)
解：过点E作EF①AC于F．
①AB=10，
①AC=10，
①四边形ADCE是矩形，对角线AC，DE交于点O，①DE=AC=10，
①OE=OC=5，
①sin①COE=4
5
，
①EF=4，
，
①CF=2．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
(3)22π
9
【分析】（1）要证明FC是①O的切线，想到连接OC，求出①OCE=90°即可，先利用切线的性质得出①ABD=90°，再根据直径所对的圆周角是90°，可得①ACB=90°，然后利用直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明EB=EC，从而可得①BCE=①CBE，最后根据OB=OC，得出①OCB=①OBC即可解答；
（2）根据已知可得BE=4，EF=12，然后利用勾股定理求出BF的长，再证明
①FOC①①FEB，然后利用相似三角形的性质即可解答；
（3）利用扇形BOC的面积减去①OBC的面积即可解答．
(1)
证明：连接OC，
①BD与①O相切于点B，
①①ABD=90°，
①①CBE+①OBC=90°，
①AB是①O的直径，
①①ACB=①BCD=90°，
①E是BD中点，
①BE=CE=DE，
①①BCE=①CBE，
①OC=OB，
①①OCB=①OBC，
①①BCE+①OCB=90°，
①①OCE=90°，
①OC是①O的半径，
①FC是①O的切线；
(2)
解：①BD=8，点E是BD中点，
①BE=1
2
BD=4，
①BE=1
3EF ，
①EF=3BE=12，
在Rt①FBE 中，
由（1）得①OCF=①ABD=90°，
①①F=①F ，
①①FOC①①FEB ， ①OC
OF
BE EF =，
设OC=x ，则，
①4x =
(3)
解：过O 作OM①BC 于点M ，
①BM=12
在Rt①BMO 中，=
①S ①BOC=12BC•OM=12
①①F=20°，
①①BOC=①F+①OCF=110°，
①S 扇形BOC=2
11022
3609ππ⨯=，
①S 阴影=S 扇形BOC-S ①BOC=229π=
①图中阴影部分的面积为229π
24．(1)200 (2)见解析
(3)1 3
【分析】（1）根据题意即可得本次随机调查的户数；
（2）根据题意计算出选择A：天虹到家的户数即可补全条形统计图的空缺部分；
（3）根据题意画出树状图，即可得张阿姨随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率．
(1)
根据题意，得
30÷15%=200，
所以，本次随机调查了200户居民；
故答案为：200；
(2)
①200-80-40-30=50，
①条形统计图的A：美团优选为50，
如图为补全的条形统计图，
(3)
根据题意画出树状图，
根据树状图可知：
所有等可能的结果有12种，
随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的有4种，
所以随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率是
41 123
=．
25．(1)y=x+1，
2 y
x =
(2)20
D（，）或D
【分析】（1）把点A（-1，0）代入y=kx+1得k=1，从而求出直线AB的解析式y=x+1，把点C(1，n)代入y=x+1，求出n=2，即可求出m=2，从而可得反比例函数解析式；
（2）分别表示出DO=a，
2
1
PQ a
a
=+-，根据PQ OD
=列出方程求解即可．
（1）
把点A（-1，0）代入y=kx+1得：-k+1=0
①k=1，
①直线AB的解析式为：y=x+1，
①点C(1，n)是直线AB与反比例函数图象的交点，①n=1+1=2
①122
m=⨯=
①反比例函数的解析式为：
2 y
x =
（2）
如图，
①D（a，0）（a＞0）
①Q(
2
,a
a
)，P(a，a+1)
①DO=a，
2
1
PQ a
a
=+-，
①PQ＝OD，
①
2
|1| a a
a =+-
①
2
1
a a
a
=+-，或
2
(1)
a a
a
=-+-
解得，2
a=，或a=a
经检验，2
a=或a=a是原方程的解，但a=不符合题意，舍去；
①2
a=或a=
①20
D（，）或D
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及待定系数法的运用，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．
26．见解析【分析】由正方形的性质得出①A=①D=90°，AB=AD=CD=BC，证出
AE DF
AB DE
=，即可得出结论．
【详解】①ABCD为正方形，
①AD=AB=DC=BC，①A=①D=90°，
①AE=ED，
①
1
2 AE
AB
=，
①DF=1
4 DC，
①
1
2 DF
DE
=，
①AE DF AB DE
=，
又①A=①D=90°，①①ABE①①DEF．。