优化设计人教高中数学选修第三章章末综合检测

(时间：100分钟；满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在复平面内，复数10i
3＋i
对应的点的坐标为( )
A ．(1,3)
B ．(3,1)
C ．(－1,3)
D ．(3，－1) 解析：选A.10i 3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝3i －i 2＝1＋3i.
2．z 是纯虚数的一个充要条件是( ) A ．z ＋z ≠0 B ．z －z ≠0 C ．z ·z ≠0
D.z ＝－z (z ≠0)
解析：选D.(1)设z ＝b i(b ≠0)，则z ＝－b i ，所以z ＋z ＝0，所以z ＝－z .
(2)设z ＝a ＋b i(z ≠0)，则z ＝a －b i ，因为z ＝－z ，所以a －b i ＝－(a ＋b i)，即a ＝0，又z ≠0，所以b ≠0，所以z 是纯虚数，由(1)，(2)知z 是纯虚数的一个充要条件是z ＝－z (z ≠0)． 3．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选B.根据复数加(减)法的几何意义，知以O A →，O B →
为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．
4．复数1＋3i 3－i
等于( )
A ．i
B ．－i C.3＋i
D.3－i
解析：选A.1＋3i 3－i ＝(1＋3i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝3＋i ＋3i －3
4＝i.
5．已知下列命题：
①复数a ＋b i 不是实数；
②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ③若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数． 其中正确的命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
解析：选A.根据复数的有关概念判断命题的真假：①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数；②是假命题，因为由纯虚数的条件得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2－4＝0，
x 2
＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应的复数为实数；③是假命题，因为没有强调a ，b ∈R .
6．下列命题正确的是( ) A ．若z ∈C ，则z 2＞0
B ．若z 1，z 2∈
C 且z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2 C ．若a ＞b ，则2a ＋i ＞2b ＋i
D ．虚数的共轭复数一定是虚数
解析：选D.对A ，当z ＝0或z 为虚数时不成立，两复数不能比较大小，B 、C 不成立，故选D.
7．若复数2－b i
1＋2i
(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )
A. 2
B.2
3
C ．－23
D ．2
解析：选C.因为2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b 5－4＋b 5i ，又复数2－b i
1＋2i (b ∈R )的实部与虚部
互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－2
3
.
8．若z ＝cos θ－isin θ，则使z 2＝－1的θ值可能是( )
A ．0 B.π
2
C ．π
D ．2π
解析：选B.因为
z 2＝(cos θ－isin θ)2＝cos 2θ－isin 2θ，又z 2＝－1，所以
⎩⎪⎨⎪⎧
cos 2θ＝－1，
sin 2θ＝0，
再由选择项验证得θ＝π
2.
9．已知复数a i
1＋i
(a ∈R )对应的点都在以原点为圆心，半径为2的圆内(不包括边界)，则a
的取值范围是( )
A ．(－2,2)
B ．(0,2)
C ．(－7，7)
D ．(－2,0)∪(0,2) 解析：选A.因为a i 1＋i ＝a i (1－i )2＝a 2＋a i 2，所以复数a i
1＋i
(a ∈R )对应的点为Z ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2.又复数a i
1＋i (a ∈R )对应的点都在以原点为圆心，半径为2的圆内(不包括边界)，则⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫a 22＜2，即－2＜a ＜2.
10．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )对应向量的模为3，则y
x
的最大值是( )
A.32
B.33
C. 3
D.1
2
解析：选C.由(x －2)2＋y 2＝3，得(x －2)2＋y 2＝3.∴y
x
可理解为圆上的点(x ，y )与原点(0,0)
连线的斜率，可知相切时最大，如图∠COP ＝π3，∴y
x
＝k ＝ 3.
二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在题中横线上)
11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ，则y ＝________. 解析：依题意，y ＝4i(x ＋i)－2x i ＝4i 2＋2x i ＝－4＋
(1－i )2i
1＋i
＝－4＋2＋2i
1＋i
＝－4＋2＝－2.
答案：－2
12．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是________． 解析：
设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，
以1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝
(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)间的距
离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.
答案：3 13．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹为________．
解析：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， |x ＋1＋y i|＝
(x ＋1)2＋y 2，
|1＋i z |＝|1＋i(x ＋y i)|＝(y －1)2＋x 2， 则
(x ＋1)2＋y 2＝
(y －1)2＋x 2.
∴复数z ＝x ＋y i 对应点(x ，y )的轨迹为到点(－1,0)和(0,1)距离相等的直线． 答案：直线
14．已知z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z
2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝________.
解析：由题意设(1＋3i)z ＝k i(k ≠0且k ∈R )，
则ω＝k i
(2＋i )(1＋3i ).
∵|ω|＝52，
∴k ＝±50，故ω＝±(7－i)． 答案：±(7－i)
15．在复数集C 内，方程2x 2－(5－i)x ＋6＝0的解为________．
解析：设x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，代入原方程整理得(2a 2－2b 2－5a ＋6－b )＋(4ab ＋a －5b )i
＝0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2
－2b 2
－5a ＋6－b ＝0，4ab ＋a －5b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝1或⎩⎨⎧
a ＝3
2
，
b ＝－32，
所以x ＝1＋i 或x ＝3
2
－
32
i. 答案：x ＝1＋i 或x ＝32－3
2
i
三、解答题(本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．已知x 、y ∈R ，且x 1＋i ＋y 1＋2i ＝5
1＋3i ，求x 、y 的值．
解：x 1＋i ＋y 1＋2i ＝5
1＋3i 可写成x (1－i )2＋y (1－2i )5＝5(1－3i )10.
5x (1－i)＋2y (1－2i)＝5－15i ， (5x ＋2y )－(5x ＋4y )i ＝5－15i.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15.∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝5. 17．已知函数f (x )＝x 21＋x 2
，求f (1)＋f (2i)＋f ⎝⎛⎭⎫12i ＋f (3i)＋f ⎝⎛⎭⎫13i ＋f (4i)＋f ⎝⎛⎭⎫14i 的值． 解：f (1)＝121＋12＝12，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋1
x 21＋1x
2
＝1.f (1)＋f (2i)＋f ⎝⎛⎭⎫12i ＋f (3i)＋f ⎝⎛⎭⎫13i ＋f (4i)＋f ⎝⎛⎭⎫14i ＝12＋1＋1＋1＝72
. 18．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；
(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．
解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.
(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.
19．已知z ＝1＋i ，
(1)设ω＝z 2＋3z －4，求ω；
(2)如果z 2＋az ＋b
z 2－z ＋1
＝1－i ，求实数a ，b 的值．
解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝1＋2i －1＋3－3i －4＝－1－i. (2)由(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ，
得(2＋a )i ＋a ＋b ＝1＋i ，
⎩⎪⎨
⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝2.
20．设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→
分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5
－(10－a 2)i ，
z 2＝21－a
＋(2a －5)i ，a ∈R ，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．
解：依题意得z 1＋z 2为实数，
∵z 1＋z 2＝3a ＋5＋2
1－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
＋2a －15＝0，a ＋5≠0，1－a ≠0.
∴a ＝3.
此时z 1＝3
8－i ，z 2＝－1＋i ，
即OZ 1→＝⎝⎛⎭
⎫38，－1，OZ 2→
＝(－1,1)． ∴OZ 1→·OZ 2→＝3
8×(－1)＋(－1)×1＝－118
.。