题型复习08 相似三角形综合题(含解析)-2021年中考数学考前20天冲刺专题题型复习(江苏省专用)

题型复习08:相似三角形综合题
一．三角形综合题（共1小题）
1．（2021•宝应县一模）如图，在中，，，，点、分别在、上，且2
==．点从点
AM CN
出发沿折线MB BN
-匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持∠=∠．
APQ B
（1）求点在上运动时，点与点的最短距离；
（2）若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长；
（3）求整个运动过程点运动的路径长．
二．几何变换综合题（共1小题）
2．（2021•亭湖区一模）如图，已知和均为等腰三角形，，DE AE
=，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现：
如图①，当时，点、、在同一直线上，连接，则线段、之间的数量关系是，；（2）拓展探究：
如图①，当时，点、、不在同一直线上，连接，求出线段、之间的数量关系及、所在直线相交所成的锐角的大小（都用含的式子表示），并说明理由；
（3）解决问a题：
如图①，，，，连接、，在绕点旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长．
三．相似三角形的判定与性质（共2小题）
3．（2021•苏州模拟）已知点是四边形内一点，，OD OC
=，．
（1）如图1，，探究线段与的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，，探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段与的数量关系为（直接写出答案）
4．（2021•姑苏区一模）定义：如图①，若点在的边上，且满足，则称点为的“理想点”．
（1）如图①，若点是的边的中点，，，试判断点是不是的“理想点”，并说明理由．
（2）如图①，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，，，若点是的“理想点”，求的长．
四．相似形综合题（共15小题）
5．（2021•常州模拟）点是矩形边延长线上的一动点，在矩形外作Rt ECF ∆，其中，过点作FG BC ⊥，交的延长线于点，连接，交于点．
（1）发现
如图1，若AB AD =，，猜想线段与的数量关系是 ；
（2）探究
如图2，若AB nAD =，，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展
在（2）的基础上，若射线过的三等分点，，，则直接写出线段的长．
6．（2021•天宁区校级一模）如果三角形的两个内角与满足90αβ-=︒，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若是“准互余三角形”， 90A ∠>︒，20B ∠=︒，求的度数；
（2）如图①，在Rt ABC ∆中，，，，点是延长线上一点．若ABD ∆是“准互余三角形”，求的长；
（3）如图①，在四边形中，，是对角线，，，，2ACD ABC ∠=∠，且是“准互余三角形”，求的长．
7．（2021•苏州模拟）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为 ．
（1）在图①中，若20AC cm =，则的长为 ；
（2）如图①，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点；
（3）如图①，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点()E AE DE >，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时，、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
8．（2021•苏州模拟）如图所示，在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，交于点，连接交于点，2DG EF =．
（1）求证；
（2）探索与的数量关系，并说明理由；
（3）连接，，，求BFH ∆的周长．
9．（2021•宝应县一模）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这个三角形称为准黄金三角形．
（1）请判断：含角的直角三角形 （填“是”或“不是” 准黄金三角形；
（2）如图1，在中，为角平分线，40A ∠=︒，60B ∠=︒，求证：是准黄金三角形；
（3）如图2，是准黄金三角形，，，且是以为底边的等腰三角形，求的长．
10．（2020秋•武侯区期末）在中，5AB AC ==，，点为线段上一动点（点不与、重合），连接，分别以，为斜边向右侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接．
（1）当点在的外部时，求证：ACD ECF ∆∆∽；
（2）如图1，当，，三点共线时，求的面积；
（3）如图2，当点在的延长线上时，其它条件不变，连接，若//DE AC ，求的长．
11．（2021•武昌区模拟）【问题背景】如图1，在中，点在边上且满足BAD ACB ∠=∠，求证：2BA BD BC =⋅；
【尝试应用】如图2，在中，点在边上且满足BAD ACB ∠=∠，点在边上，点在的延长线上，延长交于点，若32AD AC =，BE ED =，，，求的长度；
【拓展创新】如图3，在中，点在边上且满足，DH AB ⊥垂足为，若，请直接写出的值 ．
12．（2021•解放区模拟）（1）问题发现
如图1，与都是等腰直角三角形，且，直线，交于点，直线，交于点．则线段和的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）类比探究
如图2，在和中，，ACB AED β∠=∠=，直线，交于点，与相交于点．若AB kAC =，试判断线段和的数量关系以及直线和相交所成的较小角的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．请直接写出线段长度的最小值及此时点的坐标．
13．（2021•泗洪县二模）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点为线段上的一个动点，分别以、为边在轴上方作正方形和正方形，连接交直线于点，设点坐标为．
（1）当运动到点时，求点坐标；
（2）当点从点运动到点的过程中（包含、两点），试求出点运动路径图象的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）连接、，在点的运动过程中，是否存在PDE ∆和相似，若存在，试求出点坐标，若不存在，请说明理由．
14．（2021•江岸区校级自主招生）已知在菱形中，120BAD ∠=︒，点为射线上的一个动点，与边交于点．
（1）如图1，连接对角线交于点，连接，若2AF CG CD =⋅，试求的度数；
（2）如图2，点为上一点，且ADF AED ∠=∠，若菱形的边长为2，则当DE BC ⊥时，求的面积；
（3）如图3，当点在射线上运动时，试求的最小值．
15．（2021•青羊区模拟）（1）如图1，四边形是正方形，点、分别是边、上的点，连接线段、、，45EAF ∠=︒，试判断、、之间的关系，并说明理由；
（2）如图2，四边形是菱形，点、分别是边、上的点，连接线段、，120B ∠=︒，30EAF ∠=︒，试说明3CE CF BE DF ⋅=⋅；
（3）如图3，若菱形的边长为，点在的延长线上，:1:3BF FC =，，30EAF ∠=︒，求线段的长．
16．（2021•成都模拟）如图1，在Rt ABC ∆中，，，分别为边，上的点，连接，过作DF DE ⊥交边于点不与点重合），点为射线上一点，连接，使．
（1）连接，求证：；
（2）当时，请探究，与三者满足的数量关系，并证明；
（3）如图2，点，分别为和的中点，连接．若，，，请直接写出的最小值．17．（2021•北仑区一模）如图1，已知中，，，点、在边上，45
∠=︒，过点作的垂
DCE
线交的延长线于点，连接．
（1）求证：2
=⋅；
CE BE DE
（2）当，2
AD BD
=时，求的长；
（3）如图2，过点作射线的垂线，垂足为点，设，，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
18．（2021•新吴区模拟）已知，分别为四边形和的对角线，点在内，．
（1）当四边形和均为正方形时，求证：CAE CBF
∽；
∆∆
（2）如图①，当四边形和均为正方形时，连接，若，，求的长．
（3）如图①，当四边形和均为矩形，且时，若，，，求的值．
19．（2020秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt ABC
==，点为边上一动点
∆中，，4
AC BC
（与点、不重合），点为上一点，，过点作EF AD
⊥，垂足为点，交射线于点．
（1）如果点为边的中点，求的正切值；
（2）当点在边上时，设，，求关于的函数解析式及的取值范围；
（3）联结，如果与相似，求线段的长．
题型复习08:相似三角形综合题
参考答案与试题解析
一．三角形综合题（共1小题）
1．（2021•宝应县一模）如图，在中，，，，点、分别在、上，且2
==．点从点
AM CN
出发沿折线MB BN
-匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持∠=∠．
APQ B
（1）求点在上运动时，点与点的最短距离；
（2）若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长；
（3）求整个运动过程点运动的路径长．
【分析】（1）点在上运动时，当时，点与点有最短距离，由锐角三角函数可求解；
（2）由勾股定理可求，通过证明，可得，可求的长，即可求解；
（3）分点在上，点在上讨论，利用特殊位置求出的长，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，点在上运动时，当时，点与点有最短距离，
，，
，
，
，
点在上运动时，点与点的最短距离为3；
（2）如图1，，，
，
当点在上，如图2，
∠=∠，
APQ B
∴，
PQ BC
//
∽，
APQ ABC
∴∆∆
，
将的面积分成上下两部分，
，
，
；
（3）当点在上运动时，//
PQ BC，
∴==，
3
CQ BM
当点在上，且移动到中点时，如图3，
，4
==，
BP CP
，，
∠=∠，，
APQ B
CPQ BAP
∴∠=∠，
∴∆∆
∽，
ABP BCQ
，
，
当点从中点移动到点时，如图4，
同理可得ABP BCQ
∽，
∆∆
，
，
整个运动过程点运动的路径长．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用分类讨论思想和特殊位置求运动长度是本题的关键．二．几何变换综合题（共1小题）
2．（2021•亭湖区一模）如图，已知和均为等腰三角形，，DE AE
=，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现：
如图①，当时，点、、在同一直线上，连接，则线段、之间的数量关系是=，；
BD CE
（2）拓展探究：
如图①，当时，点、、不在同一直线上，连接，求出线段、之间的数量关系及、所在直线相交所成的锐角的大小（都用含的式子表示），并说明理由；
（3）解决问题：
如图①，，，，连接、，在绕点旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长．
【分析】（1）证明ACE ABD
=，，即可得出结论；
∆≅∆，得出CE BD
（2）证明ACE ABD
∽，即可得出结论；
∆∆
（3）先判断出BD，再求出，
①当点在点上方时，先判断出四边形是矩形，求出，再根据勾股定理求出，，得出；
①当点在点下方时，同①的方法得，，，进而得出，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图①中，
在为等腰三角形，，，
是等边三角形，
∠=︒，
CAB
AC AB
∴=，60
同理：AE AD
=，，
，
，
，
∴=，，
CE BD
点、、在同一直线上，
，
，
，
故答案为BD CE
=，60．
（2）如图①中，，、所在直线相交所成的锐角的大小为．
理由：延长交的延长线于，设交于点．
在等腰三角形中，，ACB α∠=，
，
同理，，
，DAE CAB ∠=∠，
，
，
，
，，
，
902CTO CAB α
∴∠=∠=︒-．
、所在直线相交所成的锐角的大小为．
（3）由（2）知，ACE ABD ∆∆∽，
BD ∴，
在Rt ABC ∆中，，
，
①当点在点上方时，如图①，
过点作AP BD ⊥交的延长线于，
当CE AD ⊥时，可证，
，
，
，
四边形是矩形，
AE DE =，
矩形是正方形，
AP DP AE ∴==
在Rt APB ∆中，根据勾股定理得，，
．
①当点在点下方时，如图①
同①的方法得，，，
，
综上所述，的长为或．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出ACE ABD ∆∆∽是解本题的关键．
三．相似三角形的判定与性质（共2小题）
3．（2021•苏州模拟）已知点是四边形内一点，，OD OC =，．
（1）如图1，，探究线段与的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，，探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段与的数量关系为 （直接写出答案）
【分析】（1）如图1，连接，根据已知条件得到与是等边三角形，求得，推出ACD BCO ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，连接，过作于，根据已知条件得到，推出ACD BCO ∆∆∽，根据相似三角形
的性质得到，由三角函数的定义得到22sin 60CF BC
=︒= （3）如图3，连接，过作于，根据已知条件得到，推出ACD BCO ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到，由三角函数的定义得到结论．
【解答】解：（1）AD OB =，
如图1，连接，
AB BC =，OD OC =，，
与是等边三角形，
，
，
在与中，
，
；
（2）AD =；
如图2，连接，
AB BC =，OC OD =，
，
，
，
，
过作于，
AB BC =，OD OC =，，
，
，
，
，
，
，
2
2sin 60CF BC
=︒
AD ∴；
（3）如图3，连接，过作于，
AB BC =，OD OC =，，
1802
ACB DCO α︒-∴∠=∠=， ，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及等腰三角形的性质，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
4．（2021•姑苏区一模）定义：如图①，若点在的边上，且满足，则称点为的“理想点”．（1）如图①，若点是的边的中点，，，试判断点是不是的“理想点”，并说明理由．
（2）如图①，在Rt ABC
∠=︒，，，若点是的“理想点”，求的长．
C
∆中，90
【分析】（1）由已知可得，从而ACD ABC
∠=∠，可证点是的“理想点”；
∽，ACD B
∆∆
（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，BDC ABC
∆∆
∽，对应边成比例即可求长度；不可能在上．
【解答】解：（1）点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，
，2
⋅=，
AD AB
，
，
2
∴=⋅，
AC AD AB
，
，
，
，
点是的“理想点”；
（2）①在上时，如图：
是的“理想点”，
或BCD A ∠=∠，
当ACD B ∠=∠时，
，
，
，即是边上的高，
当BCD A ∠=∠时，同理可证90CDB ∠=︒，即是边上的高，
在Rt ABC ∆中，，，，
3BC ∴=，
1122
ABC S AB CD AC BC ∆=⋅=⋅， ，
①，，
AC BC ∴>有，
“理想点” 不可能在边上，
①在边上时，如图：
是的“理想点”，
，
又，
BDC ABC ∴∆∆∽，
，即，
，
综上所述，点是的“理想点”， 的长为或．
【点评】本题考查相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
四．相似形综合题（共15小题）
5．（2021•常州模拟）点是矩形边延长线上的一动点，在矩形外作Rt ECF ∆，其中，过点作FG BC ⊥，交的延长线于点，连接，交于点．
（1）发现
如图1，若AB AD =，，猜想线段与的数量关系是 D H H F = ；
（2）探究
如图2，若AB nAD
=，，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展
在（2）的基础上，若射线过的三等分点，，，则直接写出线段的长．
【分析】（1）证，得，则CD GF
=即可；
=，则证，得出D H H F
（2）证FCG CEB
=；
∆∆
∽，则，由矩形的性质得出，证，即可得出D H H F
（3）根据矩形的性质和已知得，则，分两种情况，根据勾股定理和平行线的性质进行解答即可．
【解答】解：（1）D H H F
=；理由如下：
四边形是矩形，AB AD
=，
四边形是正方形，
，，
∴⊥，
CD BC
⊥，，
FG BC
CD GF
∴，，
//
，
，
，
在和中，，
，
，
CD GF
∴=，
CD GF，
//
，，
在和中，，
，
∴=，
D H H F
故答案为：D H H F
=；
（2）D H H F
=仍然成立；理由如下：
四边形是矩形，FG BC
⊥，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，AB nAD
=，
，
，
∴=，
GF CD
四边形是矩形，
CD BC
∴⊥，
⊥，
FG BC
∴，
CD GF
//
，，
在和中，，
，
∴=；
D H H F
（3）如图3所示：
四边形是矩形，
，3
∠=︒，//
RD CH，==，90
RDC
AD BC
=，，
AB nAD
，
，
分两种情况：
①当时，
，
，，
在Rt CDR ∆中，由勾股定理得：，
//RD CH ，D H D F =，
RC CF ∴==
，
由勾股定理得：；
①当时，同理可得：，，CF RC ==
由勾股定理得：；
综上所述，若射线过的三等分点，，，则线段的长为或．
【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2021•天宁区校级一模）如果三角形的两个内角与满足90αβ-=︒，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若是“准互余三角形”， 90A ∠>︒，20B ∠=︒，求的度数；
（2）如图①，在Rt ABC ∆中，，，，点是延长线上一点．若ABD ∆是“准互余三角形”，求的长；
（3）如图①，在四边形中，，是对角线，，，，2ACD ABC ∠=∠，且是“准互余三角形”，求的长．
【分析】（1）由“准互余三角形”定义可求解；
（2）由勾股定理可求，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和相似三角形的性质可求解；
（3）如图，将沿翻折得到，可得，BCA BCE ∠=∠，CBA CBE ∠=∠，90E BAC ∠=∠=︒，通过证明，可求，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）是“准互余三角形”， 90A ∠>︒，20B ∠=︒，
若90A B ∠-∠=︒，则，
，
若90A C ∠-∠=︒，
180
∠+∠+∠=︒，
A B C
∴∠=︒；
35
C
（2），，，
，
∆是“准互余三角形”，
ABD
，或，
当，
，
∴∠=∠，
CAD ADB
∴==，
AC CD
3
当，
，
∴∠=∠，
B CAD
，
，
，
，
；
（3）如图，将沿翻折得到，
∠=∠，CBA CBE
∠=∠=︒，
E BAC
∠=∠，90
∴==，BCA BCE
4
CE AC
，
，
，
点，点，点三点共线，
，
，
是“准互余三角形”，
，
，
，
又，
，
，
即，
，
．
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解“准互余三角形”的定义并能运用是本题的关键．
7．（2021•苏州模拟）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为 ．
（1）在图①中，若20AC cm =，则的长为 ；
（2）如图①，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点；
（3）如图①，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点()E AE DE >，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时，、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【分析】（1）由黄金分割点的概定义可得出答案；
（2）延长，交于点，由折叠的性质可知，，得出EMC ECM ∠=∠，则EM EC =，根据勾股定理求出的长，由锐角三角函数的定义可出tan BCG ∠，则可得出答案；
（3）证明，由全等三角形的性质得出BF AE =，证明AEF BPF ∆∆∽，则可得出答案．
【解答】解：点把线段分成两部分，，
点是线段的黄金分割点，且，
它们的比值为，
故答案为为；
（1）点为线段的黄金分割点，20AC cm =，
2010)AB cm ∴==． 故答案为：．
（2）延长，交于点，
四边形为正方形，
//DM BC ∴，
，
由折叠的性质可知，，
，
EM EC ∴=，
10DE =，，
，
EM ∴=
10DM ∴=，
tan
DC DMC DM ∴∠=
== ，
即，
AB BC =， ，
是的黄金分割点；
（3）当时，满足题意．
理由如下：
四边形是正方形，
AB BC ∴=，，
BE CF ⊥，
，
又，
，
，
BF AE ∴=，
//
AD CP，
，
，
当、恰好分别是、的黄金分割点时，
AE DE
>，
，
=，，
BF AE
，
，
．
【点评】本题是相似形综合题，考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，黄金分割点的定义，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2021•苏州模拟）如图所示，在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，交于点，连接交于点，2
=．
DG EF
（1）求证；
（2）探索与的数量关系，并说明理由；
（3）连接，，，求BFH
∆的周长．
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出角相等，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质和矩形的判定和性质解答即可；
（3）根据三角函数和勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）四边形是矩形，
，
由折叠性质得：DG EF
⊥，
∴∠=∠=︒，
DAG EOD
90
∠=∠，
GDA EDO
，
，
；
（2）2BC AB =，理由如下：
过点作EN BC ⊥于，
由折叠性质得：DG EF ⊥，
，
90OEN DEO ∴∠+∠=︒，，
，
DGA EFN ∴∆∆∽，
，
，
四边形是矩形，
，
2AD EN =，
2AD AB ∴=，
2BC AB ∴=；
（3）作HQ AB ⊥交的延长线于，连接，如图2，
//AE BN ，//GE HF ，
，
3sin sin 5
BFH AEG ∠=∠=， 设，，，
2DG EF =，，
DG ∴=
222(3)(9)k k +=，
解得：或（舍去），
，，，，
，
90
AGE QGH
∴∠+∠=︒，，AEG QGH
∴∠=∠，
EAG GQH
∴∆∆
∽，
，
即
543 4.5GQ QH
==，
，，，，
BH
∴=，
BFH
∴∆的周长．
【点评】本题考查了相似综合题，综合运用了相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．（2021•宝应县一模）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这个三角形称为准黄金三角形．（1）请判断：含角的直角三角形是（填“是”或“不是” 准黄金三角形；
（2）如图1，在中，为角平分线，40
A
∠=︒，60
B
∠=︒，求证：是准黄金三角形；
（3）如图2，是准黄金三角形，，，且是以为底边的等腰三角形，求的长．
【分析】（1）根据三角形内角和和准黄金三角形的概念解答即可；
（2）根据三角形内角和得出，进而利用等腰三角形的判定和性质得出为等腰三角形，进而利用准黄金三角形概念证明即可；
（3）根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）含角的直角三角形是准黄金三角形，若要分割成一个等腰三角形和一个与原三角形相似的三角形，则作角的角平分线即可；
故答案为：是；
（2）由三角形内角和为，得，，
为的角平分线，
，
，
，
为等腰三角形，
，
，
为准黄金三角形；
（3）是等腰三角形，
∴==，
AC AD
3
为准黄金三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及准黄金三角形的概念解答．
10．（2020秋•武侯区期末）在中，5
==，，点为线段上一动点（点不与、重
AB AC
合），连接，分别以，为斜边向右侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接．
（1）当点在的外部时，求证：ACD ECF
∆∆
∽；
（2）如图1，当，，三点共线时，求的面积；
（3）如图2，当点在的延长线上时，其它条件不变，连接，若//
DE AC，求的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；
（2）根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理解答即可；
（3）过作CN AB
⊥于点，根据相似三角形的性质和三角函数以及勾⊥于点，过作AM D E
股定理解答即可．
【解答】证明：（1）和是等腰直角三角形，
，，
，
即，
在Rt AEC ∆中，cos CE ACE AC ∠=
=，
在Rt DFC ∆中，cos CF DCF CD ∠=
= ，
；
（2），，三点共线，
，
，
，
过点作AM BC ⊥于点，如图1，
，，
，
在Rt ABM ∆中，，
在Rt BDC ∆中，3cos 5BD B BC ∠=
=， ，
187555AD AB BD ∴=-=-=， 在Rt ADC ∆中，由勾股定理得：，
，
，
，
142225
ECF ADC S S ∆∆=⨯=； （3）过作CN AB ⊥于点，过作AM D E ⊥于点，如图2，
由（2）可得：，
在Rt ANC ∆中，，
，，，
在Rt ACE ∆中，sin 5AE AC ACE =⋅∠==， //DE AC ， ，
AN DE ⊥，
，
在Rt AME ∆中，5sin 2
AM AE AEM =⋅∠=
=， //DE AC ， ，
24sin sin 25
CAN MDA ∴∠=∠=， ，
．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质的综合运用，通过辅助线构造相似形和直角三角形的三角函数是解决问题的关键．
11．（2021•武昌区模拟）【问题背景】如图1，在中，点在边上且满足BAD ACB ∠=∠，求证：2BA BD BC =⋅；
【尝试应用】如图2，在中，点在边上且满足BAD ACB ∠=∠，点在边上，点在的延长线上，延长交于点，若32AD AC =，BE ED =，，，求的长度；
【拓展创新】如图3，在中，点在边上且满足，DH AB ⊥垂足为，若，请直接写出的值 ．
【分析】【问题背景】根据题意得出ABC DBA ∆∆∽，然后根据相似三角形对应边成比例的性质即可得出结论；
【尝试应用】根据相似三角形的性质解答即可；
【拓展创新】根据相似三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：【问题背景】在与D BA ∆中，
B B ∠=∠，BAD
C ∠=∠，
，
，
2AB BD BC ∴=⋅；
【尝试应用】如图，作//BH DF ，交于点，
由问题背景得，ABC DBA ∆∆∽，32AD AC =，
，
设，则，则，
95222
CD m m m ∴=-=， //DF BH ，
，，
，，
，解得，
BE DE =，
，
解得，
的长度为8；
【拓展创新】如图，延长到点，使，连接，作CN AG ⊥，
AC CG =，
12
CAG CGA ACB ∴∠=∠=∠， ，
，
D H AB ⊥，CN AG ⊥，
AHD ACN ∴∆∽，
，
设，则，，
AC CG =，CN AG ⊥，
，
，
ABD GBA ∴∆∽，
设，
设，则，37BH b a =-，
根据勾股定理，22222DH BD BH AD AH =-=-，
22222(37)97b b a a a ∴--=-，
解得（舍去）或，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判断、相似三角形对应边比例关系的性质、角平分线的性质，比较综合，难度适中．
12．（2021•解放区模拟）（1）问题发现
如图1，与都是等腰直角三角形，且，直线，交于点，直线，交于点．则线段和的数量关系是 BD CE = ，位置关系是 ；
（2）类比探究
如图2，在和中，，ACB AED β∠=∠=，直线，交于点，与相交于点．若AB kAC =，试判断线段和的数量关系以及直线和相交所成的较小角的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．请直接写出线段长度的最小值及此时点的坐标．
【分析】（1）判定与的关系，可以根据角的大小来判定．由可得BAD CAE ∠=∠，进而得BAD CAE ∆≅∆，所以．所以BD CE ⊥．
（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可；
（3）根据旋转的性质和最值解答即可．
【解答】解：（1）BD CE =，BD CE ⊥，
、是等腰直角三角形，
，AD AE =，
90BAD DAC ∠+∠=︒，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即BD CE ⊥，
故答案为：BD CE =，BD CE ⊥；
（2），ACB AED β∠=∠=，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
即为最小度数角，，
（3）由旋转得，MN MP =，90NMP ∠=︒，
MNP ∴∆是等腰直角三角形，
，
将绕点顺时针旋转得①(O P M N '''与重合），
连接，
①，
MO MO '∴=，OP O P ''=，
45O MO '∴∠=︒，
当有最小，即最小，即垂线段最短，当轴时，最小，
由45O OP ''∠=︒，90O P O ''∠=︒，
3O P OM ''∴==，，(0,3)N ，
(0,3)N ∴，最小值为3．
【点评】此题考查了相似三角形的综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及角之间的关系解答．
13．（2021•泗洪县二模）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点为线段上的一个动点，分别以、为边在轴上方作正方形和正方形，连接交直线于点，设点坐标为．
（1）当运动到点时，求点坐标；
（2）当点从点运动到点的过程中（包含、两点），试求出点运动路径图象的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）连接、，在点的运动过程中，是否存在PDE ∆和相似，若存在，试求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据坐标可得点和的坐标，根据待定系数法可得直线的解析式，根据点的横坐标为，可得点的坐标；
（2）设，，确定直线的解析式：，将代入可得结论；
（3）由（2）知：设，分两种情况：①当EDP ECF ∆∆∽时，①当EDP FCE ∆∆∽时，列比例式可得结论．
【解答】解：（1）点坐标为，点坐标为，点的坐标为，
422AC ∴=-=，426BC =+=，
四边形和四边形都是正方形，
，6BF BC ==，
(4,2)E ∴-，，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
(2,3)P ∴-；
（2）设，，
，4BC BF a ==-，
(4,4)E a ∴-+，(4,4)F a -，
同理得：，
当时，；
（3）由（2）知：设，
四边形和四边形都是正方形，
，
，
，
，
当PDE ∆和相似时，有两种情况：
①当EDP ECF ∆∆∽时，，
即，
，
，
此方程无解；
①当EDP FCE ∆∆∽时，，
214(4)a a -+-+= 解得：（舍，，
，．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，三角形相似的性质和判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等综合应用，正确求得直线的解析式是关键．
14．（2021•江岸区校级自主招生）已知在菱形中，120BAD ∠=︒，点为射线上的一个动点，与边交于点．
（1）如图1，连接对角线交于点，连接，若2AF CG CD =⋅，试求的度数；
（2）如图2，点为上一点，且ADF AED ∠=∠，若菱形的边长为2，则当DE BC ⊥时，求的面积；
（3）如图3，当点在射线上运动时，试求的最小值．。