咸阳市二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

咸阳市二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（）
A．4320 B．2400 C．2160 D．1320
2．已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，且双曲线C过点P（﹣2，0），则双曲线C的渐近线方程是（）
A．y=±x B．y=±C．xy=±2x D．y=±x
3．已知等差数列{a n}中，a6+a8=16，a4=1，则a10的值是（）
A．15 B．30 C．31 D．64
4．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
5．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
6．设函数的集合，平面上点的集合
，则在同一直角坐标系中，P中函数的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是
A4
B6
C8
D10
7．设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
8． 已知集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9． 复数z=（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10．设a=60.5，b=0.56，c=log 0.56，则（ ） A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 11．由直线
与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）
A B1
C D
12．设a ＞0，b ＞0，若是5a 与5b
的等比中项，则+的最小值为（ ）
A ．8
B ．4
C ．1
D ．
二、填空题
13．向区域
内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．
14．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例
如：1=++，1=+++，1=++++，…依此方法可得：
1=++
+++
+
+
+
+
+
+
+
，其中m ，n ∈N *
，则m+n= ．
15．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是2，另一组数据1ax ，2ax ，3ax ，4ax ，5ax （0a >）
的标准差是a = ． 16．设()x
x
f x e =
，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机事件“0k <”的概率为_________.
17．过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则
椭圆的离心率为 ．
18．曲线
在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．
三、解答题
19．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=，DC=2AB=2BC=2
，以直线AD 为旋转轴旋转一周得到
如图所示的几何体σ． （1）求几何体σ的表面积；
（2）点M 时几何体σ的表面上的动点，当四面体MABD 的体积为
，试判断M 点的轨迹是否为2个菱形．
20．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知函数()()2ln 1.f x x mx m R =--∈ （1）当1m =时，求()f x 的单调区间；
（2）令()()g x xf x =，区间15
22,D e e -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，e 为自然对数的底数。

（ⅰ）若函数()g x 在区间D 上有两个极值，求实数m 的取值范围；
（ⅱ）设函数()g x 在区间D 上的两个极值分别为()1g x 和()2g x ， 求证：12x x e ⋅>.
21．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与x 的函数关系式，并求出函数的定义域．
22．已知向量=（x ，
y ），=（1，0），且（+
）•（﹣
）=0．
（1）求点Q （x ，y ）的轨迹C 的方程；
（2）设曲线C 与直线y=kx+m 相交于不同的两点M 、N ，又点A （0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m 的取值范围．
23．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()2
ln R f x x ax x a =-+-∈.
（1）若函数()f x 是单调递减函数，求实数a 的取值范围；
（2）若函数()f x 在区间()0,3上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.
24．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l1，l2是椭圆的任意两条切线，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
咸阳市二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有•=388，
第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（﹣）•=932
根据分类计数原理，可得388+932=1320种，
故选D．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．
2．【答案】A
【解析】解：抛物线y2
=8x的焦点（2，0），
双曲线C 的一个焦点与抛物线y2
=8x的焦点相同，c=2，
双曲线C过点P（﹣2，0），可得a=2，所以b=2．
双曲线C的渐近线方程是y=±x．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．
3．【答案】A
【解析】解：∵等差数列{a n}，
∴a6+a8=a4+a10，即16=1+a10，
∴a10=15，
故选：A．
4．【答案】D
【解析】解：∵f（x+2）为奇函数，
∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），
∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2），
即﹣f（x+4）=f（x），
则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），
即函数f（x）是周期为8的周期函数，
则f（89）=f（88+1）=f（1）=1，
f（90）=f（88+2）=f（2），
由﹣f（x+4）=f（x），
得当x=﹣2时，﹣f（2）=f（﹣2）=f（2），
则f（2）=0，
故f（89）+f（90）=0+1=1，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．5．【答案】A
【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，
故选A．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．
6．【答案】B
【解析】本题考查了对数的计算、列举思想
a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合；
a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；
a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个7．【答案】A
【解析】解：令f（x）=x3﹣，
∵f′（x）=3x2﹣ln=3x2+ln2＞0，
∴f（x）=x3﹣在R上单调递增；
又f（1）=1﹣=＞0，
f（0）=0﹣1=﹣1＜0，
∴f（x）=x3﹣的零点在（0，1），
∵函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），
∴x0所在的区间是（0，1）．
故答案为：A．
8．【答案】C
【解析】解：集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}={1，2}，P∩Q≠∅，
可得b的最小值为：2．
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．
9．【答案】C
【解析】解：z====+i，
当1+m＞0且1﹣m＞0时，有解：﹣1＜m＜1；
当1+m＞0且1﹣m＜0时，有解：m＞1；
当1+m＜0且1﹣m＞0时，有解：m＜﹣1；
当1+m＜0且1﹣m＜0时，无解；
故选：C．
【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．
10．【答案】A
【解析】解：∵a=60.5＞1，0＜b=0.56＜1，c=log0.56＜0，
∴c＜b＜a．
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】由定积分知识可得，故选D。

12．【答案】B
【解析】解：∵是5a与5b的等比中项，
∴5a•5b=（）2=5，
即5a+b=5，
则a+b=1，
则+=（+）（a+b）=1+1++≥2+2=2+2=4，
当且仅当=，即a=b=时，取等号，
即+的最小值为4，
故选：B
【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：不等式组的可行域为：
由题意，A（1，1），∴区域的面积为
=（x3）=，
由，可得可行域的面积为：1=，
∴坐标原点与点（1，1）的连线的斜率大于1，坐标原点与
与坐标原点连线的斜率大于1的概率为：=
故答案为：．
【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型，考查定积分知识的运用，解题的关键是利用定积分求面积．14．【答案】33．
【解析】解：∵1=++++++++++++，
∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
∴1=++++++++++++=（1﹣）+++（﹣）+，
+==﹣+﹣=，
∴m=20，n=13，
∴m+n=33， 故答案为：33
【点评】本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于难题．
15．【答案】2 【解析】
试题分析：第一组数据平均数为2)()()()()(,2524232221=-+-+-+-+-∴x x x x x ，
22222212345()()()()()8,4,2ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax a a -+-+-+-+-=∴=∴=．
考点：方差；标准差． 16．【答案】
35
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
001()x x k f x e -'==
，由0()0f x '<得，0
1x >，∴随机事件“0k <”的概率为2
3．
17．【答案】 ．
【解析】解：由题意知点P 的坐标为（﹣c ，）或（﹣c ，﹣），
∵∠F 1PF 2=60°，
∴
=
， 即2ac=b 2
=
（a 2﹣c 2
）．
∴e 2+2e ﹣=0，
∴e=
或e=﹣
（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．
18．【答案】 （，0） ．
【解析】解：y ′=﹣，
∴斜率k=y ′|x=3=﹣2，
∴切线方程是：y ﹣3=﹣2（x ﹣3），
整理得：y=﹣2x+9， 令y=0，解得：
x=，
故答案为：
．
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得； 该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体， 其表面积为
S=×4π×
2
×
2=8π， 或
S=
×4π×
2
+×（4π×
2
﹣2π
×
）
+
×2π
×
=8
π；
（2）由已知S △ABD
=
×
×2×sin135°=1，
因而要使四面体MABD
的体积为
，只要M 点到平面ABCD 的距离为1，
因为在空间中有两个平面到平面ABCD 的距离为1，
它们与几何体σ的表面的交线构成2个曲边四边形，不是2个菱形．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
20．【答案】（1）增区间()0,2，减区间()2,+∞，（2）详见解析
【解析】试题分析：（1）求导写出单调区间；（2）（ⅰ）函数()g x 在区间D 上有两个极值，等价于
()2ln 21g x x mx -'=+在15
22,e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有两个不同的零点，令()0g x '=，得2ln 1
2x m x +=
，通过求导分析 得m 的范围为512231,e e ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
；（ⅱ）2ln 12x m x +=，得12122ln 12ln 1
2x x m x x ++==
，由分式恒等变换得
12121212
212ln 12ln 12ln 1
lnx x x x x x x x ++++--=
+-，得1
1212112112222
1
ln ln 1ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ++++=⋅=⋅--，要证明 12x x e >，只需证12ln ln 12x x ++>，即证1
2
112
2
1ln 21x x x
x x x +⋅>-， 令31
2
1x e t x -<
=<，()()21ln 1t p t t t -=-
+，通过求导得到()0p t <恒成立，得证。

试题解析：
（2）（ⅰ）因为()2
2ln g x x x mx x =--，
所以()2ln 2212ln 21g x x mx x mx =+--=-+'，15
22,x e e -⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
若函数()g x 在区间D 上有两个极值，等价于()2ln 21g x x mx -'=+在15
22,e e -⎛⎫
⎪⎝⎭
上有两个不同的零点，
令()0g x '=，得2ln 1
2x m x
+=，
设()()2
2ln 112ln ,x x
t x t x
'+-==，令()0,t x x ='=
所以m 的范围为51
2231
,e e
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
（ⅱ）由（ⅰ）知，若函数()g x 在区间D 上有两个极值分别为()1g x 和()2g x ，不妨设12x x <，则
1212
2ln 12ln 1
2x x m x x ++=
=
， 所以12121212
212ln 12ln 12ln 1lnx x x x x x x x ++++--=
+- 即1
1
21211211222
2
1
ln ln 1ln ln 1x x x x x x
x x x x x x x x ++++=⋅=⋅--， 要证12x x e >，只需证12ln ln 12x x ++>，即证1
2112
2
1ln 21x x x
x x x +⋅>-， 令3121x
e t x -<=<，即证1ln 21t t t +⋅>-，即证1ln 21t t t -<⋅+， 令()()
21ln 1t p t t t -=-+，因为()()()()2
22
114
011t p t t t t t -=-
=+'>+， 所以()p t 在()
3
,1e -上单调增，(
)10p =，所以
()0p t <，
即()21ln 0,1
t t t --
<+所以1
ln 2
1
t t t -<+，得证。

21．【答案】
【解析】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm ，
在Rt △EOF 中，，
∴， ∴
依题意函数的定义域为{x|0＜x ＜10}
【点评】本题是一个函数模型的应用，这种题目解题的关键是看清题意，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围．
22．【答案】
【解析】解：（1）由题意向量=（x，y），=（1，0），且（+）•（﹣）=0，
∴，
化简得，
∴Q点的轨迹C的方程为．…
（2）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．①…
（i）当k≠0时，设弦MN的中点为P（x P，y P），x M、x N分别为点M、N的横坐标，则，
从而，，…
又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
则，即2m=3k2+1，②
将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得，解得，
故所求的m的取值范围是（，2）．…
（ii）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m2＜3k2+1，
解得﹣1＜m＜1．…
综上，当k≠0时，m的取值范围是（，2），
当k=0时，m的取值范围是（﹣1，1）．…
【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．
23．【答案】（1
）a ≤2
）193
a <<. 【解析】试题分析：
（1）原问题等价于()0f x '≤对()0,+∞恒成立，即1
2a x x
≤+对()0,+∞恒成立，结合均值不等式的结论可
得a ≤
（2）由题意可知()221
0x ax f x x
-+-'=
=在()0,3上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数a 的
取值范围是19
3
a <<.
试题解析：
（2）∵函数()f x 在()0,3上既有极大值又有极小值，
∴()221
0x ax f x x
-+-'=
=在()0,3上有两个相异实根， 即2
210x ax -+=在()0,3上有两个相异实根，
记()2
21g x x ax =-+，则()()0
03{ 4
0030a
g g ∆><<>>
，得{012 19
3
a a a a -<<<
，
即19
3
a <<.
24．【答案】
【解析】解：（1）∵
椭圆
的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），
P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为，
∴=，解得，
∴椭圆C的方程为．…
（2）①当l1，l2的斜率存在时，设l1：y=kx+m，l2：y=kx+n（m≠n）
，
△=0，m2=1+2k2，同理n2=1+2k2m2=n2，m=﹣n，
设存在，
又m2=1+2k2，则|k2（2﹣t2）+1|=1+k2，k2（1﹣t2）=0或k2（t2﹣3）=2（不恒成立，舍去）∴t2﹣1=0，t=±1，点B（±1，0），
②当l1，l2的斜率不存在时，
点B（±1，0）到l1，l2的距离之积为1．
综上，存在B（1，0）或（﹣1，0）．…。