1.2空间向量基本定理(1)课件高二上学期数学人教A版选择性
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空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，那么这个基底叫作正 交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个 基底为单位正交基底，通常用i，j，k表示，则任一向量 a，均可分解成 xi，yj，zk，使 a＝xi＋yj＋zk，像这样，把一个空间向量分解为三个两两 垂直的向量，叫作把空间向量进行正交分解． (3) 推论： 设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任意一点 P，都存在唯一 的有序实数组(x，y，z)，使得O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C.
(1) 化简12A→A′＋B→C＋23A→B，并在图形中标出其结果； (2) 设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面 BCC′B′的对角线 BC′上的点， 且 BN∶NC′＝3∶1，设M→N＝αA→B＋βA→D＋γA→A′，求 α，β，γ 的值．
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【解析】 (1) 如图，取线段 AA′的中点 E，取 D′F ＝23D′C′，
(2) 因为 N 是 BC 的中点，所以A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－A→A1＋A→B＋12 A→D＝－a＋b＋12c.
(3) 因为 M 是 AA1 的中点，所以M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P＝－12a＋ a＋c＋12b＝12a＋12b＋c.
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1. 若向量a，b，c是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，则
此方程组无解，
所以O→A，O→B，O→C不共面，
所以{O→A，O→B，O→C}可以作为空间的一个基底．
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例 2 如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 OM 上， 点 P 在线段 AN 上，且 MN＝12ON，AP＝34AN，用向量O→A，O→B，O→C表示O→P.
A. 12a＋32b＋12c C. 12a－32b＋12c
B. 12a－12b－12c D. 12a＋32b－12c
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【解析】 B→E＝12(B→P＋B→D)＝－12P→B＋12(B→A＋B→C)＝－12P→B＋12B→A＋12B→C ＝－12P→B＋12(P→A－P→B)＋12(P→C－P→B)＝－32P→B＋12P→A＋12P→C＝12a－32b＋12c.
1→ 4AD
＝B→A
＋14(B→D
－B→A
)＝34B→A
＋14B→D，所以G→E
＝B→E
－B→G
＝34B→A
＋14B→D －13(B→C ＋B→D )＝34B→A －13B→C －112B→D.
【答案】
3→ 4BA
－13B→C
－112B→D
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5. 如图，已知 ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．
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例 3 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设A→A1＝a，A→B＝b，
A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以 下各向量：
(1)
→ AP
；
(2)
→ A1N
；
→ (3) MP .
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【解析】(1) 因为 P 是 C1D1 的中点，所以A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝A→A1 ＋A→D＋12A→B＝a＋c＋12b.
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理 1.2.1 空间向量基本定理(1)
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学习目标 活动方案 检测反馈
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1. 了解空间向量基本定理及其意义，理解空间任意一个向量 可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的．
2. 在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量，发 展直观想象、数学运算、逻辑推理等素养．
【解析】 假设O→A，O→B，O→C共面，则存在实数 λ， μ 使得O→A＝λO→B ＋μO→C，
所以 e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.
因为 e1，e2，e3 不共面，
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－3λ＋μ＝1，
所以λ＋μ＝2， 2λ－μ＝－1，
【答案】 AC
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4. 在四面体 ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E 为 AD 上一点，且 DE ＝3AE，以B→A，B→C，B→D为基底，则G→E＝__________________.
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【解析】因为B→G ＝23B→M ＝13(B→C ＋B→D )，B→E ＝B→A ＋A→E ＝B→A ＋
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【解析】对于 A，若空间向量 a，b 与任意一个向量都不能构成基底， 则 a∥b，故 A 正确；对于 B，根据向量的可平移性可知，向量 a，b 一定 共面，故 B 错误；对于 C，若 a，a＋c，b＋c 共面，则一定存在实数 m， n 使得 b＋c＝ma＋n(a＋c)，即 a＝m＋1 nb＋m1－＋nnc，这与 a，b，c 不共面 相互矛盾，故 a，a＋c，b＋c 不共面，可做基底，故 C 正确；对于 D，若 2a－b，a＋b－c,3a＋2b＋c 共面，则一定存在实数 m，n，使得 3a＋2b＋ c＝m(2a－b)＋n(a＋b－c)，即 a＝3n－－2mm－－2nb－3－n2＋m1－nc，这与 a，b，c 不共面相互矛盾，故 2a－b，a＋b－c,3a＋2b＋c 不共面，故 D 错误．故 选 AC.
【答案】 C
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3. (多选)(2022·烟台期中)下列命题中，正确的有( ) A. 若空间向量a，b与任意一个向量都不能构成基底，则a∥b B. 若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面 C. 若{a，b，c}构成空间的一组基底，则{a，a＋c，b＋c}也是空间 的一组基底 D. 若{a，b，c}构成空间的一组基底，则2a－b，a＋b－c,3a＋2b＋c 共面
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活动一 探究空间向量基本定理
1. 知识回顾 (1) 平面向量基本定理： 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内 的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝_______λ_1e_1_＋__λ_2e_2______.
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(2) 特例： 回顾O→P＝12(O→A＋O→B)，O→P＝λO→A＋(1－λ)O→B的几何意义． 解析：a【解析】 P为AB的中点；P，A，B三点共线．
【解析】 p＝xi＋yj＋zk
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(3) 若以上的i，j，k是空间中的不共面向量，不一定两两垂直，则任 一向量可以用它们来表示吗？
【解析】 可以 (4) 将你探究的结论分别用文字语言、符号语言、图形语言表示出 来． 【解析】 略
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结论： (1) 空间向量基本定理： 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯 一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. (2) 概念： 由此定理可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么空间的任一向量 都可由a，b，c线性表示，我们把{a，b，c}叫作空间的一个基底，a， b，c叫作基向量．
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2. 探究空间向量基本定理 (1) 如果平面内任一向量都可以用该平面内的两个不共线的向量来线 性表示，猜测一下空间中的任一向量应该用空间中的几个向量来表示？ 这几个向量之间存在什么关系？
【解析】 3个，不共面． (2) 若i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段 有公共起点O.对于任意一个空间向量p，则p如何用i，j，k这三个向量表 示？
C. 3个
D. 0个
【解析】 作为空间向量的基底原则是不共面，而①中x＝a＋b，说 明向量x与a，b共面，因而不能作为基底．②③均可以作为空间的基底．
【答案】 B
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已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且O→A＝e1＋2e2 －e3，O→B＝－3e1＋e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能 否作为空间的一个基底．
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活动二 空间向量基本定理的应用
例1 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基
底 ， 给 出 下 列 向 量 ： ① {a ， b ， x} ； ② {b ， c ， z} ； ③ {x ， y ， a ＋ b ＋
c}．其中可以作为空间的基底的有( )
A. 1个
B. 2个
可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是( )
A. a
B. b
C. c
D. 2a
【解析】 不共面的向量可以作为基底，向量a，b,2a与向量m，n都 是共面向量，不能构成空间的另一个基底．向量c与向量m，n，不是共 面向量，所以可以与m，n构成空间的另一个基底．
【答案】 C
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2. (2022·厦门湖滨中学高二期中)在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，E 为 PD 的中点，若P→A＝a，P→B＝b，P→C＝c，则B→E等于( )
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如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设A→B＝a， A→D＝b，A→A1＝c，E，F 分别是 AD1，BD 的中点．
(1) 用向量 a，b，c 表示D→1B，E→F； (2) 若D→1F＝xa＋yb＋zc，求实数 x，y，z 的值.
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【解析】 (1) D→1B＝D→1D＋D→B＝－A→A1＋A→B－A→D＝a－b－c. E→F＝E→A＋A→F＝12D→1A＋12A→C＝－12(A→A1＋A→D)＋12(A→B＋A→D)＝12(a－c)． (2) D→1F＝12(D→1D＋D→1B)＝12(－A→A1＋D→1B)＝12(－c＋a－b－c)＝12a－12b －c， 所以 x＝12，y＝－12，z＝－1.
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【解析】 O→P＝O→A＋A→P＝O→A＋34A→N ＝O→A＋34(O→N－O→A) ＝O→A＋34O→N－34O→A ＝14O→A＋3413O→B＋13O→C ＝14O→A＋14O→B＋14O→C.
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先把空间向量O→P放在平面 OAN 中，利用平面向量的基本定理，用O→A 与O→N表示，O→N再利用平面向量的基本定理用O→B和O→C表示，体现了空间 问题平面化．
则E→A′＝12A→A′，B→C＝A→D＝A→′D′. 因为 AB＝D′C′， 所以23A→B＝23D→′C′＝D→′F， 则12A→A′＋B→C＋23A→B＝E→A′＋A→′D′＋D→′F＝E→F.
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(2) 因为M→N＝M→B＋B→N ＝12D→B＋34BC→′＝12(D→A＋A→B)＋34(B→C＋C→ C′) ＝12A→B＋14A→D＋34AA→′＝αA→B＋βA→D＋γAA→′， 所以 α＝12，β＝14，γ＝34.
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空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，那么这个基底叫作正 交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个 基底为单位正交基底，通常用i，j，k表示，则任一向量 a，均可分解成 xi，yj，zk，使 a＝xi＋yj＋zk，像这样，把一个空间向量分解为三个两两 垂直的向量，叫作把空间向量进行正交分解． (3) 推论： 设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任意一点 P，都存在唯一 的有序实数组(x，y，z)，使得O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C.
(1) 化简12A→A′＋B→C＋23A→B，并在图形中标出其结果； (2) 设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面 BCC′B′的对角线 BC′上的点， 且 BN∶NC′＝3∶1，设M→N＝αA→B＋βA→D＋γA→A′，求 α，β，γ 的值．
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【解析】 (1) 如图，取线段 AA′的中点 E，取 D′F ＝23D′C′，
(2) 因为 N 是 BC 的中点，所以A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－A→A1＋A→B＋12 A→D＝－a＋b＋12c.
(3) 因为 M 是 AA1 的中点，所以M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P＝－12a＋ a＋c＋12b＝12a＋12b＋c.
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1. 若向量a，b，c是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，则
此方程组无解，
所以O→A，O→B，O→C不共面，
所以{O→A，O→B，O→C}可以作为空间的一个基底．
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例 2 如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 OM 上， 点 P 在线段 AN 上，且 MN＝12ON，AP＝34AN，用向量O→A，O→B，O→C表示O→P.
A. 12a＋32b＋12c C. 12a－32b＋12c
B. 12a－12b－12c D. 12a＋32b－12c
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【解析】 B→E＝12(B→P＋B→D)＝－12P→B＋12(B→A＋B→C)＝－12P→B＋12B→A＋12B→C ＝－12P→B＋12(P→A－P→B)＋12(P→C－P→B)＝－32P→B＋12P→A＋12P→C＝12a－32b＋12c.
1→ 4AD
＝B→A
＋14(B→D
－B→A
)＝34B→A
＋14B→D，所以G→E
＝B→E
－B→G
＝34B→A
＋14B→D －13(B→C ＋B→D )＝34B→A －13B→C －112B→D.
【答案】
3→ 4BA
－13B→C
－112B→D
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5. 如图，已知 ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．
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例 3 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设A→A1＝a，A→B＝b，
A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以 下各向量：
(1)
→ AP
；
(2)
→ A1N
；
→ (3) MP .
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【解析】(1) 因为 P 是 C1D1 的中点，所以A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝A→A1 ＋A→D＋12A→B＝a＋c＋12b.
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理 1.2.1 空间向量基本定理(1)
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1. 了解空间向量基本定理及其意义，理解空间任意一个向量 可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的．
2. 在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量，发 展直观想象、数学运算、逻辑推理等素养．
【解析】 假设O→A，O→B，O→C共面，则存在实数 λ， μ 使得O→A＝λO→B ＋μO→C，
所以 e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.
因为 e1，e2，e3 不共面，
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－3λ＋μ＝1，
所以λ＋μ＝2， 2λ－μ＝－1，
【答案】 AC
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4. 在四面体 ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E 为 AD 上一点，且 DE ＝3AE，以B→A，B→C，B→D为基底，则G→E＝__________________.
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【解析】因为B→G ＝23B→M ＝13(B→C ＋B→D )，B→E ＝B→A ＋A→E ＝B→A ＋
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【解析】对于 A，若空间向量 a，b 与任意一个向量都不能构成基底， 则 a∥b，故 A 正确；对于 B，根据向量的可平移性可知，向量 a，b 一定 共面，故 B 错误；对于 C，若 a，a＋c，b＋c 共面，则一定存在实数 m， n 使得 b＋c＝ma＋n(a＋c)，即 a＝m＋1 nb＋m1－＋nnc，这与 a，b，c 不共面 相互矛盾，故 a，a＋c，b＋c 不共面，可做基底，故 C 正确；对于 D，若 2a－b，a＋b－c,3a＋2b＋c 共面，则一定存在实数 m，n，使得 3a＋2b＋ c＝m(2a－b)＋n(a＋b－c)，即 a＝3n－－2mm－－2nb－3－n2＋m1－nc，这与 a，b，c 不共面相互矛盾，故 2a－b，a＋b－c,3a＋2b＋c 不共面，故 D 错误．故 选 AC.
【答案】 C
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3. (多选)(2022·烟台期中)下列命题中，正确的有( ) A. 若空间向量a，b与任意一个向量都不能构成基底，则a∥b B. 若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面 C. 若{a，b，c}构成空间的一组基底，则{a，a＋c，b＋c}也是空间 的一组基底 D. 若{a，b，c}构成空间的一组基底，则2a－b，a＋b－c,3a＋2b＋c 共面
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活动一 探究空间向量基本定理
1. 知识回顾 (1) 平面向量基本定理： 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内 的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝_______λ_1e_1_＋__λ_2e_2______.
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(2) 特例： 回顾O→P＝12(O→A＋O→B)，O→P＝λO→A＋(1－λ)O→B的几何意义． 解析：a【解析】 P为AB的中点；P，A，B三点共线．
【解析】 p＝xi＋yj＋zk
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(3) 若以上的i，j，k是空间中的不共面向量，不一定两两垂直，则任 一向量可以用它们来表示吗？
【解析】 可以 (4) 将你探究的结论分别用文字语言、符号语言、图形语言表示出 来． 【解析】 略
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结论： (1) 空间向量基本定理： 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯 一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. (2) 概念： 由此定理可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么空间的任一向量 都可由a，b，c线性表示，我们把{a，b，c}叫作空间的一个基底，a， b，c叫作基向量．
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2. 探究空间向量基本定理 (1) 如果平面内任一向量都可以用该平面内的两个不共线的向量来线 性表示，猜测一下空间中的任一向量应该用空间中的几个向量来表示？ 这几个向量之间存在什么关系？
【解析】 3个，不共面． (2) 若i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段 有公共起点O.对于任意一个空间向量p，则p如何用i，j，k这三个向量表 示？
C. 3个
D. 0个
【解析】 作为空间向量的基底原则是不共面，而①中x＝a＋b，说 明向量x与a，b共面，因而不能作为基底．②③均可以作为空间的基底．
【答案】 B
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已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且O→A＝e1＋2e2 －e3，O→B＝－3e1＋e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能 否作为空间的一个基底．
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活动二 空间向量基本定理的应用
例1 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基
底 ， 给 出 下 列 向 量 ： ① {a ， b ， x} ； ② {b ， c ， z} ； ③ {x ， y ， a ＋ b ＋
c}．其中可以作为空间的基底的有( )
A. 1个
B. 2个
可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是( )
A. a
B. b
C. c
D. 2a
【解析】 不共面的向量可以作为基底，向量a，b,2a与向量m，n都 是共面向量，不能构成空间的另一个基底．向量c与向量m，n，不是共 面向量，所以可以与m，n构成空间的另一个基底．
【答案】 C
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2. (2022·厦门湖滨中学高二期中)在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，E 为 PD 的中点，若P→A＝a，P→B＝b，P→C＝c，则B→E等于( )
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如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设A→B＝a， A→D＝b，A→A1＝c，E，F 分别是 AD1，BD 的中点．
(1) 用向量 a，b，c 表示D→1B，E→F； (2) 若D→1F＝xa＋yb＋zc，求实数 x，y，z 的值.
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【解析】 (1) D→1B＝D→1D＋D→B＝－A→A1＋A→B－A→D＝a－b－c. E→F＝E→A＋A→F＝12D→1A＋12A→C＝－12(A→A1＋A→D)＋12(A→B＋A→D)＝12(a－c)． (2) D→1F＝12(D→1D＋D→1B)＝12(－A→A1＋D→1B)＝12(－c＋a－b－c)＝12a－12b －c， 所以 x＝12，y＝－12，z＝－1.
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【解析】 O→P＝O→A＋A→P＝O→A＋34A→N ＝O→A＋34(O→N－O→A) ＝O→A＋34O→N－34O→A ＝14O→A＋3413O→B＋13O→C ＝14O→A＋14O→B＋14O→C.
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先把空间向量O→P放在平面 OAN 中，利用平面向量的基本定理，用O→A 与O→N表示，O→N再利用平面向量的基本定理用O→B和O→C表示，体现了空间 问题平面化．
则E→A′＝12A→A′，B→C＝A→D＝A→′D′. 因为 AB＝D′C′， 所以23A→B＝23D→′C′＝D→′F， 则12A→A′＋B→C＋23A→B＝E→A′＋A→′D′＋D→′F＝E→F.
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(2) 因为M→N＝M→B＋B→N ＝12D→B＋34BC→′＝12(D→A＋A→B)＋34(B→C＋C→ C′) ＝12A→B＋14A→D＋34AA→′＝αA→B＋βA→D＋γAA→′， 所以 α＝12，β＝14，γ＝34.