2015【考研数三】真题及解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析
一、选择题：1LI 8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）设｛x n｝是数列，下列命题中不正确的是（）
(A) 若lim X n = a ,贝U lim x2^ lim X2n+ = a n n^^ n_^ 下
(B) 若lim X2n =lim X2^^ =a,贝U lim x^a
n^^ n_^
(C) 若lim X n = a,贝U lim x3^ lim x3n= a
n_^ T
(D) 若lim X3n = lim Xg^^ = a ,贝U lim
x^ a
【答案】（D）
【解析】答案为D,本题考查数列极限与子列极限的关系
数列X n T a（n T处戶对任意的子列｛x n k ｝均有Xn^ a（k T处），所以A、B、C正
n k
确；D错（D选项缺少x3n半的敛散性），故选D
⑵ 设函数f（X肚（=，址）内连续，其2阶导函数f”（X ）的图形如
右图所示贝恤线y = f（X ）的拐点个数为（
(A) 0 (B) 1
【答案】(C)
(C) 2 (D) 3
【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是f"（X）不存在的点或
L（x） =0的点处产生.所以y = f（X）有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性
改
变的点；二阶导函数「'（X）符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2, 故选
C.
⑶ 设D ={(x, y j x2+y2< 2x,x2+ y2兰2y}，函数f (x,y )在D 上连续,则
JJ f (x,y dxdy =()
D
(A) 丑2COS0 - 2sin Q
J0 f (r cos日,r sin日ydr + J和日J o f (r cos日,r si^dr
4
(B)
丑2si^ 2cos 日
『d叫 f (rcos日,rsin日「dr + £d叫f (r co少，rsin日『dr
4
f (X, y )dy
1
J 2x _x
2
(D) 2
.t
dx
；X
f(x,y)dy
【答案】（B ）
【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域
—,0 <r <2sin 日 > D 2 = 4(r,0)— <日 <一，0 <r <2cos9 >
4 114 2 I
所以
故选B.
下列级数中发散的是
D i 詔(r,8) 0 <e JJ f (X, y)dxdy =『d
日 J 。

2sin Q
f (r cosgrsin 日)rdr + 监d £ [ - 2cos 0
f (rcos 日，rsin£)rdr ，
(A)
Z — ^；
(B)
(C) £ (-1)n
+1 n=2
In n
(D)
处n!
Z —
J n
【答案】 (C)
【解析】 A 为正项级数, 因为
n +1 Qn "1 lim 丄- F n 3"
= limU F 3n
1 =§<1
，所以根据正项级数的比值 判别法S 伴收敛；B
n A
3
为正项级数, 因为
，根据p 级数收敛准则，知 n 2
1
ln(1 +1)收敛; n
C ，z 4
心 ln n 臺四丄，根据莱布尼茨判别法知
nrn lnn 心 lnn
£ 收敛,
ni lnn
Z n£ ln
n
1
发散，所以根据级数收敛定义知， Z （T ）十1
发散；D 为正项级 心 ln n
(n +1)! 数 因为.(n +1)n + . (n+1)! n n
数，因为lim ---- 十—=lim ------------- 丙
Y 卫 Y n! (n +1)
n
I =丄c ,所以根据正项级数 I e
的比值判别法2牛收敛，所以选C.
心n
【答案】(D)
由 r(A) =r(A,b) <3，故 a =1 或 a = 2，同时 d =1 或 d = 2.故选(D )
⑹—设二次型f(X,,X 2,X 3 )在正交变换x = Py 下的标准形为2y 2
+ y 2
-y 2
，其中
P =(e 1, e 2,e 3)，若 Q= @1,73,e ?)则 f =(X 1,X 2,X 3)在正交变换 x = Qy 下的标准形为
【答案】(A)
所以 f =X T
A X =y T (Q T AQ)y =2y 12
-y ； +诟.选(A )
⑸设矩阵A =
I 1
多解的充分必要条件为
(C) a €O ,d 誌 O
,b = d
丿
I d 2」
(B)
(D)
a W ,d g
={1,2 }，则线性方程组 Ax = b 有无穷
【解析】(A,b)= n
I 1
I 1
a
a 2 n
T I 0
d 2 丿(0 0 1 a-1 (a-1)(a-2)
1 d -1 (d -1)(d -2)
c 2 2,2
(A) 271-72+73
(B)
c 2 . 2 2
2y 1 +y 2 -y 3
222
(C) 2yi -y 2 -y 3
(D)
c 2丄 2丄 2
2y 1 + y 2 + y 3
【解析】由X = Py ，故f =X T
A X
(p T AP)y =2y 12+y ；-y ；.
且 P T
A P = "2 0
0 1
.0 0 又因为Q = P 1 0 .0 0
-1 0" 1 0>
=PC
故有 Q T
AQ =C T
( P T
AP)C =
0 -0
1
.若集合O a 2
a
⑺ 若A, B 为任意两个随机事件，则:
【答案】（C ）
【解析】由于 AB u A, AB u B ，按概率的基本性质，我们有
P （AB ） < P （A ）且
__________ P(A) + P(B)
P (AB) < P(B)，从而 P( AB) < J P( A) ” P(B) < _ ，选(C).
（8）设总体X ~B （m,日），X 1,X 2，川，X n 为来自该总体的简单随机样本 ，X 为样本均
值,则—X :卜（）
(A) P(AB )兰 P (A )P (B ) (B) P (AB )> P (A )P (B )
(C) P (AB )< P (A )+P (B )
(D)
P(AB 徉 P (A )+ P (B )
(A) (m T)n T(1-T)
(B) m(n — 1 用(1 -0 )
(C)(m —H n —1 胃(1-0 )
【答案】（B ）
【解析】根据样本方差 S 2
n
Z (X j —X)2 的性质 E(S 2) = D(X)，而
n
D(X) =m T (1-0)，从而 E g (X j —X)2] = ( n — 1)E(S 2
) = m( n — 1)日(1—日)，选(B).
j
二、填空题：9LI14小题,每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上.
'・ ln( cos x)
(9) l
s^^
1
【答案】-丄
【解析】原极限=四 In (1 +cosx T)
cosx T =lim --- 2—
T x 2 2
x X 2
(10)设函数 f (x)连续，W (X)= J 。

xf (t)dt,若 W (1) = 1,W'(1)=5,则 f(1) =
x 2
【解析】因为f(x)连续，所以W (x)可导，所以cp '(x) = Jo f(t)dt + 2x 2f(x 2
)；
1
因为 W (1) = 1，所以 w (1)= Jo f (t)dt =1 又因为 ®(1)=5， 所以 cp (1)= J 0 f(t)dt +2f (1)=5
故 f(1)=2
(11)若函数z=z(x, y)由方程e x
唯
y *z
+xyz =1确定，则dz
1 2 I 答案】-3dx -3dy
【解析】当X = 0， y = 0时带入+xyz =1，得z = 0 . 对e 心皿+xyz=1求微分，得
d (e"皿 + xyz) =
e 心用d(X + 2 y + 3z) + d (xyz) = e Xty*Z (dx +2dy +3dz) + yzdx + xzdy + xydz = 0
把 x=0，y=0， z=0 代入上式，得 dx+2dy+ 3dz=0
(12)设函数y=y(x)是微分方程y"+y'-2y=0的解，且在x = 0处取得极值3,则 y(x)=
【答案】y(x) =r x
+2e x
【解析】y" + y'—2y=0的特征方程为A 2
+A -2= 0，特征根为几=-2，几=1，所
以该齐次微分方程的通解为 y(x) =C 1e2x+C 2e X ，因为y(x)可导，所以x = 0为驻点，即
y(0)=3， y'(0)=0，所以 G =1，C2=2，故 y(x) =e
2
(13)设3阶矩阵A 的特征值为2,-2,1，B=A — A + E ,其中E 为3阶单位矩阵，则
【答案】 21
【解析】A 的所有特征值为2,-2,1.B 的所有特征值为3,7,1. 所以 | B| = 3X7X1 =21.
(14)设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0)，则
P{XY —Y <0}=
【答案】
1
2
(0,0)=
所以dz 1月 2月
(0,0)— 3d x 「dy
-2x I • x
+ 2e
法二: 由已知可得得
2
a
由分母x m 3
© =0，得分子蝉仆一+网仏+恥咖=処(仆昕0
，求得
C ；
【解析】由题设知， X ~ N(1,1)Y ~ N(0,1)，而且X 、Y 相互独立，从而
P{XY -Y cO} =P{( X _1)Y <0} = P{X -1 >0,Y vO} + P{X -1 < 0, Y >0}
11111
-0}-咒 一 4 1 .= 2 2 2 2 2
三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说 =P{ X >1} P{Yc 0}+ P {Xc 1]P Y>
明、证明过程或演算步骤
(15)(本题满分10分)
设函数 f(X)= X + aln(1 +x) +bxsin x, g(x) = c = kx 3
若 f (x)与 g(x)在 X T 0 时是 等价无穷小，求a, b, k 的值.
-1 【答案】a = —1,b = —, k
_ -1
~~3~ 【解析】法
2 3
X X 3 .. 3
因为 ln(1 +x) =x-T +亍+0& ), sinx = x -瓦 +o(x ),
X 3
则有,
,f(x) 厂 x+aln (1 +x) + bxs inx
1 = lim --- = lim ----------- 3
--------- X -0 g(x) X T kx 3
(1 + a)x + (b-a )x 2 + — X 3
+o(x 3) lXm0
^x —
可得: 1 +a =0
b -旦=0，所以，
2 a L 3k
=1
a = -1 5 = -1
2 k 」 I
3
X +aln(1 +x) +bxsin x
=lim ----------- 3 -------- = lim X T k x 3 I 0 kx 3
1 + + bs in X + bx cosx 3kx 2
-2
2u ^t
=2
脚
2
『厂
Psin 2udu-2=--2 '0 5 4 5
X w 2si nt
1
中、 1 ----- +bsin x + bxcosx
于是1 = lim 竺=lim ——2 ------------
Tg(x) T 3kx 2 *
X + b(1 +x)sin X + bx(1 +x) cosx -四 3kx 2(1+x)
x + b(1 +x)sin< +bx(1+x)cos: =lim =lim
^^0
3kx 2
1 +bsin X +b(1 +x)cosx +b(1 + x)cosx +bxcosx -bx(1 + x)sin x 6kx 由分母lim 6kx =0，得分子
li.II +bsin X +2b(1 +x) cosx + bxcosx-bx(1 +x) sin x] = |^(1 +2bcosx) = 0 ,
求
得 b = -1 ； 2 进一步，b 值代入原式 1 =lim f(x
^
T g(x) 1 1 1 1 --si nx-(1+x)cosx —— xcosx + -x(1 +x)si nx = lim ——丄——2 ------------------ 丄上— T 6kx 1 = lim X T 1 111 11 -^cosx-cosx to+x)si nx-2cosx+-xsi nx + 2(1 + x )si n
x + -xs inx +-x 。

+ x)cosx 6k 6k ，求得k = -1
3
(16)(本题满分 计算二重积分 【答案】 【解析】
10分)
JJx(x + y)dxdy ，其中 D ={( x, y) x 2 + y 2 < 2, y > x 2
}.
D
_ 2 4 5
J J x(x + y)dxdy = J J x 2
dxdy
D
D
s x 2
dy X
1 -
=2 f dxf I ・
=2『X 2 (J 2 -x 2
'0 \ -x 2)dx
= 2J 0X 2
C x 2dx-2
5
(17) (本题满分10分)
为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设
(I)证明定价模型为P
(II)若该商品的成本函数为 C(Q)=1600 +Q 2
，需求函数为Q=40 — P ，试由(I )中
的定价模型确定此商品的价格
【答案】(I)略(II) P =30.
【解析】(I)由于利润函数L(Q) = R(Q)-C(Q) = PQ-C(Q),两边对Q 求导，得 匹十 +Q 竺—C(Q) = P +Q-dP
-MC . dQ dQ dQ
故当P = MC
时，利润最大.
n
型，得P - 2(4
^ P 1 ,从而解得P =30.
,40 —P 1 -------
P
(18) (本题满分10分)
设函数f(x)在定义域I 上的导数大于零，若对任意的
(X 0, f(X 0))处的切线与直线X =X 0及x 轴所围成区域的面积恒为
4,且f0 2=，求f (x)表
达式.
y-'UxoXfTxjXx-Xo )，切线与x 轴的交点为
X 0
P 为价格，MC 为边际成本,
n 为需求弹性(口 >■
0) •
Q 为该商品的需求量,
当且仅当 pl I
——=0时，利润L(Q)最大，又由于
dQ
P dQ
Q 齐，所以
dP dQ
P (II)由于 MC =C'(Q) =2Q =2(40 -卩),则* =--
dQ P
代入(I)中的定价模
dP 40-P
X 0引，曲线y = f(x)在点
【解析】曲线的切线方程为
2
故面积为：s=」一 ^4.
2 f '(Xo )
2
故f (X )满足的方程为f (X ) = 8f '(X ),此为可分离变量的微分方程,
解得f ，又由于f (0)=2，带入可得C=-4，从而f (x 2—8— t J x +C
h J 4—X
(19) (本题满分10分)
(I )设函数 u(x),v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]' =『(x)v(x)+u(x)v'(x);
(II )设函数 U 1(X),U 2(X),川，U n (x)可导，f(X)=U 1(X)U 2(X)川 U n (x)，写出
f (x)
的
求导公式.
f '(X)=[U i (X)U 2(X)川 U n (x)]'
= U i'(X)U 2(X)lilU n (X)+ U i (X)U 2'(X)lilU n (X)+il| + U i (X)U 2(X)||| u/(x)
=u(x)v '(X)+u '(x)v(x)
(II )由题意得
f(X)=[U i (X)U 2(X)川 U n (x)]'
= U i'(X)U 2(X)IHU n (X)+U i (X)U 2'(X)IHU n (X)+il| +U i (X)U 2(X)l|| U n \ X)
(20)(本题满分 设矩阵A = 11分) f a 1 -1 ，且 A = O . (I) 求a 的值； (II) 若矩阵X 满足X - XA 2 1 1 1 【答案】a=O,X =
<3 1 1
12
-AX + AXA 2
= E ，其中E 为3阶单位矩阵，求 X .
-1
T 丿
【答案】 【解析】
u(x +h)v(x + h) -u(x)v(x) (I ) [u(x)v(x)f = l i m o h u(x +h)v(x +h) -u(x + h)v(x) +u(x + h)v(x) -u(x)v(x) =lim h T
h
巳mu(x + h)Wx + h]") + ,im U(
x+h
)-u(
x)v(x)
.0
【解析】(I) A 3
=0= A =0= a 1 0
1 0 1 a -1 = 1 -a 2
a -1 0 1 a
-a
1 a
=a = 0= a = 0
(II)由题意知 2 2 -XA-AX +AXA 2
=E = 2 (E -A )X (E -A ) = E 二
2 二 X =(E -A 2 -A ) 2 2
X(E -A 2 )_AX (E - A 2
(E -A 2「= [(E -A 2)(E -A )『
)=E
= (E —A 「 (0
E - A 2 -A = !-1 I-1 -1 1 -1
1、
1
2>
「0 -1 1M 0 0〕 n -1 -1i\0 -1 0、 1-1 1 1MD 1 0 T 0 -1 1 M1 0 0 I-1 -1 2MD 0 b r 1 -1 2 M) 0 J 1 n -1 -1MI0 -1 0" f /l -1 -1M0 -1 0、 T 0 1 -1M1 0 0 T 1 0 1 -1M1 0 0
0 -2 1 M0 -1 b 0 -1M2 -1 b n -1 0憧 0 -1
'
『1 0 0MB 1 -2、 T I 0 1 1 0M1 1 -1 T 0 1 0M1 1 -1
1° 0 1l\2 1 -b 1° 0 1憧 1 -b f 3 1 —2
12 (21)(本题满分 "0 2 -3、
-2 0
、
-1 3 -3 相似于矩阵B = 0 b 0
J -2 a
丿 1
10 3 1丿
一1丿 分) 11 设矩阵A = (I) 求a,b 的值; (II )求可逆矩阵 使P d AP 为对角矩阵. 【答案】a=4,b=5 ,P =
2 1
-3 0 1 -r -1
1丿
【解析】(1) A~ B= tr(A) =tr(B)= 3+a =1+b+1
.0
2 —3
1 -
2 0
A =
B = -1 3 —3
=
0 b 0
1 -
2 a
0 3 1
A ：= 0时（0E — C ）x = 0的基
础解系为
A ：= 5时（4E — C ） X = 0的基
础解系为
A 的特征值X A =1中花：1,1,5
（I ）求丫的概率分布;
(II)求 E(Y).
1 7
I 答案】⑴ P {Y 呵=dMT j （n T ）（8）2
（8）： n = 2,3,川；
(II) E (丫)= 16.
2 3
n 0 0^
M
2 -3、 A = -1
3
-3 = 0 1 0 + -1 2 -3
J
-2 3」
0 0 b
1 -
2 3」
=E + C
"-1 2 七、
C =
-1 2 七 = -1
J -2 3,
J 丿
-2 C 的特征值打=/2 =0,打=4
(1
3)
<2 令 P =(q ，J&3)』1
I
1
°
-3 0 -1
-1， 1
丿 「
1
V-
（22）（本题
满分
11分)
[2「n2,x>0
f （X ） = {
，对X 进行独立重复的观测，直到
10,
第2个大于3的观测值出现时停止，记 丫为观测次数
设随机变量X 的概率密度为 x<0
fa-b = -1
'2a-b=3=
iQ =4
(b =5
匕1 =(2,1,0)T ;上2 =(-3,0,1)T
匕 3 = (-1,
一1,1
)^
【解析】(I)记p 为观测值大于3的概率，则P = P ( X > 3) = In 2dx =1 ,
1 7
从而 P {Y=n}= C ：」p (1- p )n - p= (n —1)(—)2(—)n
-，n=2,3,||| 为Y 的概率分布;
8 8
(II)法一汾解法：
将随机变量Y 分解成Y=M + N 两个过程,其中M 表示从1到n(n c k)次试验观测值大 于3首次发生，N 表示从n+1次到第k 试验观测值大于3首次发生.
则 M - Ge ( n , p ), N L Ge (k- n , p )(注：Ge 表示几何分布)
所以 E (Y )= E (M +N )= E (M ) + E (N }= 112 2“ —+ — =
— = — =16 ppp]
8
法二:直接计算
□C
oC
1 7
E (Y)=2 n P {Y=n }=送 n (n -1)H)2 *
(打‘
n3 n z2 8 8 =Z n (n —1)[(2)2 n/
8
-2( 2) n r (I)n
]
□c
记 S 1 (X )=送 n (n —1)x2 —1 <x <1，则
n=2 □C
OC
S,(X )=£ n (n-1)x n
^ =(送 n nz2 n z2
x n
^ y = (z x n
)7， 心 (1-X )3
oC
S2(X )=送 n (n- 1)x n
°=x 2 n
n 三
nrn
E 宀 xS 1
(x "总?
□C
CC
S 3(x )=送 n (n T)x n
=x 2
S n
n=2 n4 2
(n -1)x n ^ = x 2
S 1( x)=——^-3 (1 —
2-4x+2x 2 =
设总体X 的概率密度为f (x f )詔1 -
所以日=min{X i ,X 2,lil,X n }为日的最大似然估计量.
=2 J 04 2sin 2 t2cos 2
tdt
2 4x 2x
2
所以
S ( x
“
S ( x
)-
2S 2
( x
) +
S 3
(x 2 〒:.二
从而 E (丫)=
S(7
“
16
.
(23)(本题满分11分)
1
—日＜ X 兰1
0' X ''其中8为未知参数,
[0,
其他’
X 1,X 2^| ,X n 为来自该总体的简单随机样本
(I) 求日的矩估计量； (II)
求0的最大似然估计量.
【答案】(I) 0 =2X -1, X =丄2 X i n y
(II) 9 =min{X i ,X 2,IH,X n }.
【解析】(I) E (X )= f xf (x ;0)dx
，-oC
1 +0 1
1
r X -- dx = 蛆 1—0 2
—— 1 +'0
令 E (X )= X ，即 1一 2
=X ，解得0 =2X —1, X X i 为e 的矩估计量；
n 7
（II ）似然函数L （&）=n f （X ；叭 詔l 1-0丿用兰X i 兰1
0,
其他
当9 <Xi 兰1
时，L （日）=n
1
=(_^)n ，贝u ln L(0)= -n ln(1-0). 1_9 1 _9
从而
d ln L
何n
，关于0单调增加,
d 日 1-0。