华东理工大学高数答案第2章

第2章 （之1）
第2次作业
教学内容: §2.1 导数概念
**1. 设x x x f 2)(3+=，试用导数定义求)(x f '.
解：lim ()()lim
()()∆∆∆∆∆∆∆x x f x x f x x x x x x x x
x →→+-=+++--003322 =+322x .
**2. 试用导数定义计算下列函数的导数：
（1）x
x f 1
)(=
， 求)1(f '； （2）()38t t g -=，求()2g '； （3）()t t t -=23ϕ，求()1-'ϕ.
解：（1）x f x f f x ∆-∆+='→∆)
1()1(lim )1(0
=+-→lim ∆∆∆x x
x
01
11
=-+=-→lim ∆∆x x 01
11.
（2） ()()()t
t g t t g t g t ∆-∆+='→∆0lim
()[][
]
()()
t
t t t t t t t t
t t t t t t t t t t ∆∆+∆+∆+-=∆∆+-=∆--∆+-=→∆→∆→∆3223303
3033033lim lim 88lim
()
220
33lim t t t t t ∆-∆--=→∆2
3t -=，
即 ()23t t g -='， ()122-='∴g .
（3） ()()()
t
t t t t t ∆-∆+='→∆ϕϕϕ0
lim
()()[][
]
t
t
t t t t t t ∆--∆+-∆+=→∆22
033lim
t
t
t t t t ∆∆-∆+∆=→∆2036lim
()16136lim 0-=-∆+=→∆t t t t ， ()16-='∴t t ϕ， ()71-=-'ϕ.
**3. 求曲线2
2x y = 在点 ()2,1=P 处的切线方程.
解：曲线在点P 处切线的斜率为 41
2
2lim 21=--→x x x ，
所以切线方程为 ()214+-=x y .
**4. 化学反应速率通常是以单位时间内反应物浓度的减少或生成物浓度的增加来表征。

设有一化学反应，反应物浓度C 与反应开始后的时间 t 之间有如下关系：()t f C =. ()1 试表出时刻 0t 到时刻 ()0t t t ≠ 这段时间内的平均反应速率； ()2 表出在时刻 0t 的瞬间化学反应速率。

解：()1 ()()0
0t t t f t f v --=
； ()2 ()()0
0000lim
lim t t t f t f v v t t t t --==→→.
**5. 已知沿直线运动物体的运动方程为：t
s 1
=，求物体在时刻20=t 的（瞬时）速度。

解：t t t s 1
1-∆+=
∆， ()()
t t t t t t t t
t s ∆+-
=∆∆+∆-=∆∆1
， ()2001
1lim lim t
t t t t s v t t -=∆+-=∆∆=∴→∆→∆，
∴ 物体在时刻 20=t 的（瞬时）速度 4
1
12
00-=-
=t v .
**6. 在作等速旋转时，角速度是旋转角度与所花时间之比，已知非匀速旋转时，旋转角θ与时间 t 有如下关系：()t θθ=。

试导出非匀速旋转时的（瞬时）角速度)(t ω表达式. 解： ()()t t t θθθ-∆+=∆，
()()t
t t t t ∆-∆+=∆∆θθθ，
()()()t t
t t t t t t t θθθθω'=∆-∆+=∆∆=∴→∆→∆00lim lim
)(.
**7.在时间段t ∆流经导线某个截面的电量为q ∆,则称
t
q
∆∆为时间段t ∆上的平均电流强度，记为I ,现已知时间段],0[t 内流经导线这个截面的电量为)(t q ,试求在时刻t 导线于该截面上的电流强度)(t I .
解: ()()t q t t q q -∆+=∆, ()()t
t q t t q t q I ∆-∆+=∆∆=, )()
()(lim lim lim 000t q t
t q t t q t q I I t t t '=∆-∆+=∆∆==→∆→∆→∆.
第2章 （之2） 第3次作业
教学内容:§2.2.1 函数极限的定义
**1. 试证：0cos cos lim 0
x x x x =→.
证明：0>∀ε，取x ∀=,εδ 满足条件ε<-<00x x ，有
ε<-≤-≤-+=-00
0002
sin 22sin 2sin
2cos cos x x x x x x x x x x ， 0cos cos lim 0
x x x x =∴→.
**2. 试证：(1)21
31lim 3=-+-→x x
x ； (2)2lim 4=→x x .
证明：(1) 0>∀ε，限定 1|3|<+x ，则有 24-<<-x ，315-<-<-x ,
3
3
132131+<
-+=--+x x x x x , 所以只要取)1,3min(εδ=,当δ<+<30x 时,就有ε<+<-+=--+3
3
132131x x x x x .
从而也就证明了21
31lim
3=-+-→x x
x .
(2)0>∀ε，限定 4|4|<-x ，则有 80<<x ，即 80<<
x ，若使
ε<-<
+-=
-42
1
2
|4|2x x x x ， 取{}4,2min εδ=. 于是0>∀ε，当 δ<-<40x 时，有 ε<-|2|
x .
2lim 4
=∴→x x .
**3 写出 A x f x =-∞
→)(lim 的定义，并用定义证明 02lim =-∞
→x
x 。

解：（１）εε<-⇒-<>∃>∀A x f X x X )(,,0,
0，
则 A x f x =-∞
→)(lim 。

（２）0>∀ε，若限制 1<ε，则可令)0(log 2>-=εX 。

当 X x -< 时，必有
ε=<=--X
x x 2
202， 即02lim =-∞
→x
x .
**4. 讨论函数 ()⎪⎩⎪⎨⎧<+>+=0
,10
,2
2x x x x x x f 在点 0=x 处的左、右极限.
解：()()
0lim lim 20
0=+=++→→x x x f x x ，
()()11lim lim 2
00=+=-
-
→→x x f x x .
**5. 讨论下列函数在所示点处的左右极限：
()1 ()[]x x x f -= 在 x 取整数值的点； ()2 符号函数 x sgn 在点 0=x 处. 解：()1 0x 为整数，
()[]()x x x f x x x x -=+
→+
→00lim lim
[]x x x x x x +
→+
→-=00lim lim 00x x -=0=，
()[]()x x x f x x x x -=-
→-
→00lim lim
[]x x x x x x -
→-
→-=00lim lim ()100--=x x 1=。

()2 11lim sgn lim 00==+
→+→x x x ， ()11lim sgn lim 00-=-=-
→-
→x x x .
**6. 从极限的定义出发，证明： )0(ln ln lim 000
>=→x x x x x .
证明：只需证明 e e x x x x εδδε<-⇒<-<>∃>∀00ln ln 0,0,0即可。

由于：e x x
x x ε<=-0
0ln ln ln ， 即：e e x x εε<<-0ln ， e e e x x
e εε<<-0
， )1()1(000-<-<-e e e x x x e x εε，
取 {
}
0000,min x e x x e
x e e
--=-εεδ，
则当 δ<-<00x x 时，有 e x x ε<-0ln ln 成立， 即：)0(ln ln lim 000
>=→x x x x x .
***7. 设 A x f x x =→)(lim 0
， 若存在0x 的某个去心邻域),(ˆ0δx N ，使当),(ˆ0
δx N x ∈时，成立0)(>x f ，试问是否必有0>A 成立，为什么？
解： 不一定。

如 2
)(x x f =在0=x 点.
第2章 （之3）
第4次作业
教学内容: §2.2.2极限的性质 §2.2.3无穷小与无穷大
1.填充题：
*（1） 用M-X 语言写出极限+∞=-∞
→)(lim x f x 的定义为：。

M x f X x X M >⇒-<∀>∃>∀)(,0,0
用M-δ语言写出极限-∞=+→)(lim 0
0x f x x 的定义为：。

M x f x x x M -<⇒+∈∀>∃>∀)(),(,0,000δδ
用ε-X 语言写出极限A x f x =+∞
→)(lim 的定义为：。

εε<-⇒>∀>∃>∀A x f X x X )(,0,0
**（2）设2
2)
1(1
)(+-=x x x f ，则当 →x __ 时)(x f 为无穷小； 当→x ___ 时, )(x f 为无穷大。

答案: .1,1-.
2. 选择题：
**（1）设x
x x f 1
cos 1)(=
，则0→x 时，)(x f （ ） （A ）是无界量，也是无穷大量；
（B ）是无界量，不是无穷大量； （C ）不是无界量，是无穷大量； （D ）不是无界量，也不是无穷大量.
答（B ）
***（2）)(
1
1)(11
1
2的极限时，当---=
→x e x x x f x
.
)( ; )(;
0)( ; 2)(不存在但不是无穷大 为等于 等于D C B A ∞
答：（D ）
**（3）)(1
arctan
tan lim 0
=⋅→x
x x
.2
)(;2
)
(;)(;0)(π
π
-
D C B A 不存在
答：A
***3. ．
用无穷大定义证明：+∞=-+→1
1
lim 0
1x x 解：M x M >->1
10，令
任给, 解得：0112
<-<
x M
M x M x M >-<-<=
1
1,110122恒有：时，则当取δ， 因此：lim x x →++=+∞101
1.
***4、，是无穷大，且时，当A x g x f x x x x =→→)(lim )(0
0从定义出发证明:
也为无穷大．
时，当)()(0x g x f x x +→ 证明：因为，A x g x x =→)(lim 0
所以由局部有界性定理可知
11011
)(,0,0,0M x g x x M <<-<>∃>∃有时当δδ .
又因为，∞=→)(lim 0
x f x x 所以
1202)(,0,0,
0M M x f x x M +><-<>∃>∀有时当δδ.
取),min(21δδδ=,当δ<-<00x x 时,有
M M M M x g x f x g x f =-+>-≥+11)()()()()(,
所以 是无穷大时，)()(0x g x f x x +→.
第2章 （之4）
第5次作业
教学内容：§2.2.4极限的运算法则 A-D
1． 选择题
*（1） 下列叙述不正确的是 （ ）
)
(B D C B A 答 的乘积是无穷大量。

．无穷大量与无穷大量乘积是无穷小量；．无穷小量与有界量的穷大量；
．无穷小量的倒数是无穷小量；．无穷大量的倒数是无
**（2） 下列叙述不正确的是 （ ）
　）
答（ 的积是无穷大量。

．无穷大量与无穷大量积是无穷大量；．无穷大量与有界量的积是无穷小量；．无穷小量与有界量的的商为无穷小量；．无穷小量与无穷大量C D C B A
**（3）)(
)(lim )(0
0＂的：是无穷小＂是＂时，＂当A x f A x f x x x x =-→→
要条件既非充分条件，亦非必充分必要条件
必要但非充分条件充分但非必要条件)()()()(D C B A
答：C
**（4），则　且 当　当设3)(lim 001
1)(0
=⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠-+=→x f x a x x bx x f x ( ) 可取任意实数。

，可取任意实数；
，；
，；，a b D a b C a b B a b A 6)(3)(36)(33)(======
答：D
2． 求下列极限： *()
131
3lim 11-+→x x x ； *()39lim 223--→x x x ； **()()121cos 12lim 32
1--→
x x x ；
**（4）352lim 4-+-→x x x ； **()5 1
111lim 2
0-++-+→x x x x ；
***()6 ．
2
22
222)1()1()2()2(lim -++--+∞→n n n n x x x x x 是正整数）（n
解：()1 ()()22
413lim 13lim 1313lim
1
1
1==-+=-+→→→x x x x x x x .
()2 ()63lim 39
lim
3
23=+=--→→x x x x x .
()3 ()012lim 2
1
=-→
x x ，1
21
cos -x 有界，
()01
21
cos
12lim 2
1=--∴→
x x x .
()4 ()()
)
2)(2(3
5)2(lim
9535)2(lim 352lim
444
+-++-=-+++-=-+-→→→x x x x x x x x x x x x 23
462
35lim 4
==+++=→x x x .
()5 )111
1111
1(lim 20-+-+--+-+=→x x x x x 原式 1
1)11(lim 120++++-=→x x x x 1=.
()6原式=+→∞lim ()x n n x x 82122 =+→∞
4111
2lim
x n
x
=4.
**3. ，
，的某去心邻域内，且在若A x g x f x g x x g x x x x =≠=→→)
()
(lim
0)(0)(lim 0
0 ，为什么？必等于则0)(lim 0
x f x x →
解：)(lim 0
x f x x →)()
()
(lim 0
x g x g x f x x ⋅⋅
=→=⋅=A 00.
***4.之值，，试确定设b a x b
x ax x x 31
lim
2231=-+++→. 解：31
lim 2231=-+++→x b
x ax x x 因, 022
1
)1(lim 2231=++=-+++⋅-→b a x b x ax x x x 故。

2--=a b 即，
)
1111(lim 1lim 22312231--++--=-+++→→x x a x x x b x ax x x x 则=++=+=321223a a ∴==-a b 13，.
***5.．处可导，求极限在设　0
000)
()(lim
)(0
x x x f x x xf x x x f x x --=→
解： ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--+--→0000)()()()(lim 0x x x f x x xf x x x xf x xf x x 原式＝ )(lim )
()(lim 000
0x f x x x f x f x x x x x →→+---=
)()(000x f x x f '-=.
第2章 （之5）
第6次作业
教学内容：§2.2.4极限的运算法则E §2.2.5无穷小的比较
**1．试求下列极限：
（1）x
x x 10211
lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→； （2）111)313(
lim -→++x x x x ； （3）x x x sin 2
0)31(lim +→。

解：（1） x
x x 10211lim ⎪⎭
⎫
⎝⎛+→=
22
210
1]
)21[(lim 1e
x x x =
+→ （2） 2
1321
32
)1(2311
1
1e lim 3221lim )
31
3(lim ==⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+=+++→+⋅
-+→-→x
x x
x x x x x e
x x x
x .
（3）x
x x sin 20
)
31(lim +→6e =.
**2．试求()x x f cos =的导数。

解：()()x
x x x x f x ∆-∆+='→∆cos cos lim 0x x x x x ∆∆⎪
⎭⎫ ⎝⎛
∆+-=→∆2sin 2sin 2lim 0
2
2sin 2sin lim 0x x x x x ∆∆⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆+-=→∆ 2
2sin
lim 2sin lim 00x x x x x x ∆∆⋅⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=→∆→∆x sin -=， ()()x
x x f sin cos -='='∴.
**3。

的存在性研究极限)0(cos 22lim
>-→a x
ax
x .
解：x
ax x 2
sin
2lim
→=原式
a x
ax
x ax
x x ==+
+
→→2sin 2lim 2sin
2lim 0
a x
ax
x ax x x -=-=-
-
→→2sin 2lim 2
sin
2lim 0
，所以原极限不存在由于左、右极限不相等.
4．选择题 **（1）时（ ），则当，设133)(11)(3→-=+-=
x x x x
x
x βα .
)()()(; )()()(; )()()(;
)()()(高阶的无穷小是比高阶的无穷小是比是等价无穷小与等价无穷小是同阶无穷小，但不是与x x D x x C x x B x x A αββαβαβα
答：A
**(2) 在点，则曲线为可导函数且满足设　)(12)
()(lim
)(0
x f y x x a f a f x f x =-=--→
处的切线斜率为， 2)(1)(1)(2)()
(
))((--D C B A a f a
分析：1)(21
)()(lim 212)()(lim
00-='=---=--→→a f x a f x a f x x a f a f x x ， 2)(-='∴a f .
)(D 答　
**(3)设x x x f sin )2()(+=，则)(x f 在0=x 处 ( ) （A ）2)0(='f （B ）0)0(='f
（C ）1)0(='f （D ）不可导
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+=-→→2)2(sin lim )0()(lim 00x x x x f x f x x )(A 答
***5．适当选取A 、k 的值，使下式成立：k
Ax x x ~sin 1tan 1+-+（当0→x ）.
解：x
x x x
x x x x x x x sin 1tan 1)
cos cos 1(
sin sin 1tan 1sin tan sin 1tan 1+++-=+++-=+-+ x
x x x
x cos )sin 1tan 1(2sin 2sin 2
⋅+++⋅=，
0→x 时，x x ~sin ， ∴ 上式等价于 4
11)2(232
x x x =+⋅⋅，
3,4
1
==∴k A .
6．当 0→x 时，试确定下列各无穷小对x 的阶数.
*（1）2310000x x +； **（2）
3
1)1(x
x x ++.
解：（1）1000010000lim 2
230=+→x x x x ， ∴ 阶数为2。

（2）111
lim )1()1(lim 3030=++=⋅++→→x
x x x x x x x ， ∴ 阶数为1.
**7. )0.()(0001cos )()(→⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=x x x x x x
x x f 的高阶无穷小为其中， ，
，，　设αα，试证明函数)(x f 在0=x 点处可导.
证明：由于0→x 时，x
x )(α是无穷小量，x 1
cos 是有界量，所以
lim ()()lim ()cos x x f x f x x x x
→→-=0001α=0， 处可导在0)(=∴x x f .
***8. 之值，，试确定　设b a a x b x a x x )0(2
1)
cos (lim
222
>=
-+→. 解：因lim (cos )
x x a x b x →+-=0
2
2212， 则
lim (cos )x a x b x x →+-=0222
2，
则lim (cos )()x x a x b x x
a b →⋅+-=-=02
22210， 得b =1， 代回原式lim
(cos )x x a x x →+-0
2
221==212a
， 为所求，故知14==b a .
***9. 设x
x
x x f 5tan )()(⋅=
ϕ，其中)(x ϕ在0=x 处可导，且1)0(,0)0(='=ϕϕ，试证明
)0(,5~)(→x x x f .
证明：
2
00
5tan )(lim )(lim
x x x x x f x x ⋅=→→ϕ5)0(5)
0()(5tan lim 0='=-⋅=→ϕϕϕx x x x x ， )0(5)(时为同阶无穷小与→∴x x x f .
***10. ．
求处可导，且在，其中设　)(lim ,0)0(0)()e 1(sin )()(0
2x f x x x
x
x x f x x
→==-=
ϕϕϕ 解：x x x x
x x x f 200e 1sin )0()(lim )(lim -⋅-=→→ϕϕ='
⋅-=-'ϕϕ()()()012120.
***11.（1）若当 X x >（某个定数）时，恒有 ()()()x h x g x f ≤≤，且已知
()()A x h x f x x ==+∞
→+∞
→lim lim 。

证明：()A x g x =+∞
→lim .
（2）若对于一切正数x ，都有
()
x
x x x x 1
1
1
122≤
++≤
+ϕ，试求：()x x ϕ+∞→lim .
证明：（1）依题意，0,01>∃>∀X ε，使仅当1X x >时，)(x f A <-ε；同理，
02>∃X ，当2X x >时，有ε+<A x h )(，令),,max('21x x x X =则当'X x >时，同时成立
εε+<≤≤<-A x h x g x f A )()()(，即ε<-A x g )(，亦即A x g x =+∞
→)(lim 。

（2）依题意，有
x
x x x x x x 1
)(1
1222++≤≤+++ϕ，
∵211111lim 11lim
2
222
=+++=++++∞→+∞→x
x x x x x x ，及21111lim 1lim 22
=++=++∞→∞→x x x x x x ， 利用（１），知 2)(lim =∞
→x x ϕ.
第2章 （之6）
第7次作业
教学内容: §2.3.1函数连续的概念 §2.3.2连续函数的运算性质 §2.3.3初等函数的连续性
**1．从定义出发证明函数()x x f =
在任一点 ()00>x 处连续。

分析：
00
002
x x x x x x x x x x +-<
+-=
-，⎪⎭
⎫ ⎝
⎛<
-200x x x 当。

证明：0>∀ε，取⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=εδ0002
,2min x x x ，当δ<-0x x 时，
ε<+-<+-=-00
0002
x x x x x x x x x x ，0)(lim 0
x x f x x =∴→
∴ 函数()x x f =在任一点()00>x 处连续.
**2．讨论函数()⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=0,
00,1sin x x x
x x f 在 0=x 点的连续性. 解：()()001
sin lim lim 00f x
x x f x x ===→→，
∴ 函数()x f 在点0=x 连续.
**3. ___________0 , 001
e sin )(2==⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠-+=a x x a x x
x x f ax 处连续，则在 ，当，当. 答：1-
4．试利用极限四则运算的性质，重要极限，等价无穷小，基本初等函数连续性及变量变换与极限过程改写等各种已知结果，求下列极限：
**（1）x
x x x 1
)
1tan(lim 21--→；
解： 1)1cos()1()
1sin(lim 1
)1tan(lim
222121=-⋅--⋅=-
-→→x x x x x
x x x x . **（2）3
0)(arcsin sin tan lim x x
x x -→；
解：3
030)(arcsin )
cos 1(tan lim )(arcsin sin tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→，
0→x 时，有x x x x x x ~arcsin ,~tan ,2~cos 12
-， 所以 原式212lim
3
20=⋅
=→x x x x .
**（3）2cos 0e
e lim x
x x -→计算极限； 解：)1e (e e e 01cos cos -=-→-x x x 因当
)1(c o s e ~-x 22
e
~x -
2e
2e lim 22
0-=-=→x
x x 故原式.
**（4）)1ln()cos 1(1)1e (lim 22
4sin 0x x x x x +-+⋅-→计算极限. 解：因当时x →0
11
2
2-cos ~x x ， ln()~122+x x ， x x x ~sin ~1e sin -，
原式=+⋅→lim x x x x x 042
2
2112
=2.
**5. 的连续性．　试讨论，，设)(1
2cos 11)(x f x x
x x x f ⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>-=π 解：容易看出f x ()()()()在，，，及，内-∞--+∞1111均连续
,
02
cos
lim )(lim ,2)1(lim )(lim 10
10
10
10
1===-=-=+-→+-→--→--→x
x f x x f x x x x x π处，
在
f f f x x ()()()--≠-+=-10101故在处不连续
,
02
cos
)1(,02
cos
lim )01(,
0)1(lim )01(10
10
1====-=-=+=-→+→π
πf x
f x f x x x 处，在
f f f f x x ()()()()101101-==+=，故在处连续.
第2章 （之7） 第8次作业
教学内容：§2.3.4函数的间断点及其分类 §2.3.5闭区间上连续函数的性质 §2.4.1函数可导与连续的关系 §2.4.2函数的和差积商的求导法则
**1．型为（ ）
，则此函数间断点的类、的间断点为函数212
31
22=+--=x x x x y 是第一类．
是第二类，．是第二类；是第一类，．都是第二类；
，．都是第一类；，．21212121======x x D x x C x B x A
C 答：
***2. 设 x
x x x x f 1
sin
1
)(22--=
，则1-=x 是)(x f 的 ___ 间断点； 0=x 是)(x f 的 _____ 间断点；1=x 是)(x f 的 ____ 间断点. 答案:1、无穷；2、可去；3、跳跃.
***3．对怎样的 a 值，点 a x = 是函数 ()a
x x x f --=4
2 的可去间断点？
解：函数在可去间断点处a x =极限必存在。

由极限基本定理，设A a
x x a x =--→4
lim
2，则必有()()()a x x a x A x -+-=-α42，其中()x α是a x →时的无穷小。

而()
44lim 2
2-=-→a x a
x ，
另一方面，()()()[]0lim =-+-→a x x a x A a
x α。

所以由042
=-a 得2±=a 。

经验证，当
2±=a 时，a
x x a x --→4
lim 2存在，故 2±=a 为所求.
**4. 指出的间断点，并判定其类型．f x x x
x x
()sin =
--21 解： ,,210πππn x x x ±±±===，，，，，都是的间断点f x ()，
∞==∈≠=→)(lim 0sin ,)0(x f n z n n n x n x π
ππ，处，　在，
的第二类间断点是，，，故)(32x f x πππ±±±=；
，无意义处在1sin 1)
1(lim )(lim ,)0(,000-=--==→→x x x x x f f x x x
∴=x f x 0是的可去间断点()；
,1
sin 1
)01(1sin 1)01(1=+-=-=f f x ，处在)
01()01(+≠-f f 的跳跃间断点是　)(1x f x =∴.
***5 、指出下面函数的无穷间断点：x
x x
x f sin cos 1)(-=
.
解：依题意，0=x 及),2,1( ±±==k k x π 是)(x f 的间断点. 而
x x x x x x x f x x x ⋅=-=→→→2lim sin cos 1lim )(lim 2
0002
1
=. 故0=x 不是无穷间断点. 又)0(0)
2()2(lim )2sin()
2cos(1lim sin cos 1lim 221
222≠=---=----=-→→→k x k x x k x k x x k x x x k x k x k x πππππππ， 而)2,1,0(sin cos 1lim
2 ±±=∞=-+→k x
x x
k x ππ，
∴ 函数)(x f 的无穷间断点为 ,5,3,πππ±±±=x .
**6．设()x f y =在[]1,0上连续，且()10≤≤x f 。

试证：存在[]1,0∈ξ使()ξξ=f 成立.
证：构造函数()()x x f x F -=，则()x F 在[]1,0上连续。

且()()0000≥-=f F ，
()()0111≤-=f F 。

则由闭区间上连续函数的零值定理知，必存在一个[]1,0∈ξ使0)(=ξF ,即()ξξ=f 成立. 证毕.
***7. 证明方程()0,0sin >>+=b a b
x a x 至少有一个不超过b a +的正数根.
证：令()b x a x x F --=sin ，则()x F 必在[]b a +,0上连续。

且有()00<-=b F ，()()[]0sin 1≥+-=+b a a b a F ，故由闭区间上连续函数的零值定理知必存在一个],0(b a +∈ξ，使得()0=ξF ，即b a +=ξξsin . 证毕.
***8. 如果()x f 在区间()b a ,内连续，n x x x <<< 21是该区间内任意n 个点，试证明在
()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()()n
x f x f x f f n +++= 21ξ.
证：因为函数()x f 在[]()()b a x x n ,,1⊂上连续。

由闭区间上连续函数最值定理有
()()x f M x f m n
n
x x x x x x ≤≤≤≤==1
1
max ,min .
所以， ()()()M n
x f x f x f m n ≤+++≤
21. 再由闭区间上连续函数的介值定理，知命题得证。

证毕.
**9. 证明方程至少有一个根介于和之间．x x 5
3112-=
13)(5--=x x x f 解：设，
[]
f x f f ()()(),在，上连续，且，由121302250=-<=> 0)()21(=∈ξξf ，使，点零值定理知至少存在一
至少有即方程135=-x x 一之间和个根介于21.
****10. 若()x f 在()+∞∞-,上连续，且()A x f x =∞
→lim ，试证明()x f 在()+∞∞-,上有界.
证明：依题意，取0,1>∃=X ε，当X x >时，有1)(<-A x f ，于是
A A A x f x f +<+-≤1)()(.
又当X x ≤时，利用闭区间上连续函数的有界性定理，
[]X X x M ,,01-∈∀>∃，有1)(M x f ≤，取)1,max(1A M M +=，则在
),(+∞-∞上有M x f ≤)(成立.
**11. 讨论x x x f cos )2
()(π
-
=，在2
π
=
x 处的可导性。

解： lim ()()lim ()cos x x f x f x x x
x →→
--=--=πππππ
π22
2222
0，
∴=f x x ()在处可导π
2
.
**12. 试问曲线 ⎩⎨⎧<-≥=1
,21
,2x x x x y 在点()1,1 处是否有切线，为什么？试简单说明之.
解：没有。

2
11
lim 21=--+→x x x ， ()1112lim 1-=---=-→x x x ， ()112lim
11
lim 121---≠--∴-+→→x x x x x x ， 即曲线在点 ()1,1 处没有切线.
***13. ),(2)1(,),()(x f x f x f =++∞-∞在此定义域上恒有上有定义在设
处的可导性．在．讨论上有，且在0)()1()(]10[=-=x x f x x x f
解：-≤<=+=+-101211
2
1x f x f x x x 时()()()()
,1)
1(lim )0()(lim )0(00=-=-='+
+
→→+x
x x x f x f f x x
2
1
)
1(21
lim )0()(lim )0(00-=+-=-='--→→-x x x x f x f f x x
∴=f x x ()在处不可导．0
***14. 试确定式中 b a ,之值，使)(x f 处处可导：
⎩⎨
⎧≥+<=.
0,,
0,)(x b ax x e x f x 解：)(x f 在0点处可微，所以必连续。

1lim )(lim 000
===--
-→→x
x x e x f f ）（， b b ax x f f x x =+==++
+→→)(lim )(lim )00(0
， 1=∴b 。

11
lim lim )0(00/=-=-=--→→-
x
e x b e
f x x x x ，
a x
b b ax f x =-+=+→+0/
lim )0(，
1=∴a .
***15. )(0)()()()(x f a g a x x g x g a x x f ，讨论处连续且在，其中设　==-=
处的连续性与可导性．在a x =
解：lim ()lim ()()x a
x a
f x x a
g x f a →→=-==0
∴=f x x a ()在处连续
　lim
()()
lim ()x a x a f x f a x a x a x a g x →→--=--=0
　在处可导．∴=f x x a ()
*16. 设 )(),(),(x w x v x u 在点 x 处可导。

试证明：
)()()()()()()()()(])()()([x w x v x u x w x v x u x w x v x u x w x v x u '+'+'='.
证明：左式=w uv w v u vw u w uv w uv w uv '+'+'='+'=')()()(])[(=右式.
第2章 （之8） 第9次作业
教学内容：§2.4.3反函数的求导法则 §2.4.4复合函数求导法则 §2.4.5基本求导公式
*1. 求下列各函数的导数: x x y csc cot )1(-=； 2
sec )2(x x
y =
； x
x y ln )3(=
； )ln ()4(x e x y x
-=； x xe y x ln )
5(=； ；
)sin (cos )6(x x e y x +=.
；e x
x y 33log 3
2)7(-+= ．
）（x x y x sec tan 28+= 解：x x x 2csc csc cot )1(+； )2tan (sec )2(3
-x x x
x
； )ln 1(1)3(2
x x -； 1ln )1()4(--+x e x x
；
)1ln ln ()5(++x x x e x ； x e x cos 2)6(；
223
6)7(x
x -； x x x x x x tan sec sec 2tan 2ln 2)8(2++⋅.
2. 求下列函数的导数： **(1))13sin(2+=x e y ；
解：23)13cos('22⋅⋅⋅+=x x e e y x x e e 22)13cos(6⋅+=.
**(2) 4
312⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-=x x y ；
解：2
3
)3(1
)12()3(23124'+⋅--+⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=x x x x x y 5
3
53)3()12(28]1262[)3()12(4+-=
+-++-=x x x x x x .
**(3) )]1sin(2ln[+=x y ；
解：)1cot()1sin(2)
1cos(2'+=++=
x x x y .
**(4) ；2
11
x y -= 解：='y ；2
3
2)1(x x
-
**(5) x
x y +=；
解：='y ；
)211(21x
x
x +
+
**(6) ；)1ln(2x x y ++= 解：=
'y ；2
11x
+
**(7) )sin(sin 2
2
x x y ⋅= ；
解：='y ；)cos(sin 2)sin(2sin 222x x x x ⋅+⋅ **(8) x
y 1
arccos =； 解：=
'y ；
1
2
2
-x x
x **(9) 3sin
2x e y x -=； 解：='y ；)3cos 313sin 2(2x
x e x +--
**(10) 11
arctan -+=x x y .
解：='y 1
1
2+-x .
3. 求下列函数在指定点处的导数值：
（1）x
y 532
+=
，求 )0(y '；
（2）x e y arctan =，求 )0(y '
（3）x y 2ln 2+=
，求 )(e y '
（4）x y cos log 3= ，求 )4(π
y '
（5）3)(arcsin x y =，求 )2
1
(y '
（6）x e y arctan =，求 )1(y '
解答: (1).910-； (2).21 ；(3).e
31
；(4).3ln 1- ；(5).2183π(6).441π
e .
4.**(1) ．求为可导函数设　)(,3)(sin ,)()(cos 3x y e f y u f x f x '-= 解：'=⋅'y x e e f e x x x ()cos (sin )3333
+⋅'⋅⋅sin ()()ln cos ()f x f x f x 33.
***(2) ．求为可导函数，其中设　)(,)()()),(tan sec()(sec x y u u f x x f y '⋅=φφ 解：))(tan sec()(sec tan sec )(x x f x x x y φ⋅'='
)(sec )(tan sec ))(tan tan())(tan sec(2
x f x x x x ⋅'⋅⋅+φφφ .
***5. {
}
,)(),(max )(2
的可导性试讨论，，，设　x f x x x x f ∞+-∞∈=并在可导点处求出)(x f '.
解：由于f x x x x x x x ()=≤<≤>⎧⎨⎪
⎩
⎪220011，，，， 所以不存在不存在)1(,)0(f f ''，
当1,0≠≠x x 时，⎪⎩
⎪⎨⎧><<<='.12,101
,02)(x x x x x x f ，，　，
***6. 有定义，在，其中设　)()()()()(∞+-∞--+=x bx a bx a x f ϕϕϕ
的值．求可导且在)0(,f a x '=
解：x
bx a bx a x f x f x x 0
)()(lim
)0()(lim 00---+=-→→ϕϕ
)(2)()()
()(lim 0a b bx a bx a b bx a bx a b x ϕϕϕϕϕ'=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---+-+=→.
7．**(1) ．求反函数的导数　设　)()1(11ln y x x x
x
y '<+-= 解：,1
1
2-=
'x y
2)(x y x ='.
**(2) ，
，已知具有连续的一阶导数设e f f x f y ='==)2(1)2(,)( []＿＿＿＿　则='
=-1
1)
(x x f
.
解：1
e
.
第2章 （之9） 第10次作业
教学内容：§2.4.6隐函数的导数及对数求导法 §2.4.7由参数方程确定的函数的导数 §2.4.8极坐标系下曲线的切线问题
1.**(1) )(1ln x y y y xy ==-所确定的隐函数验证由方程
0)1(2='-+y xy y 满足方程 .
证明：y xy y y
+'-'
=0，0)1(2='-+y xy y y ，得两边同乘. **(2))0(,)sin(e )(y y xy x y y xy
'=+=求确定由方程设.
解：y xy y x y y x y xy '='++'+)cos()()(e ，
,1,0==y x 时当 代入上式有 2)0(='y .
***(3) 设由方程所确定求．y y x x y y y x =+='(),()21 解：0)(ln )ln (
='++'+y y
x
y y x y x y x x y ， ,1,1==y x 时当 代入上式有 '=-y ()11.
**2. 及该方程所表示求所确定的隐函数是由方程已知y y x y y '=+,1e cos
.)0,0(处的切线方程　的曲线在点
解：0e sin cos ='+'⋅-y y y x y y ，得 y
y x y
y e sin cos -=
'，
'=-=-y y x ()(,)0100，点切线方程为.
3.*(1) ．求确定了函数设dx dy x y y t
y t
x t
t ),(sin e cos e 22
=⎪⎩⎪⎨⎧== )sin 2(cos e )cos sin 2(e d d 222t t t t t x y t t -+=解： )
sin 2(cos )
cos sin 2(e 2
2t t t t t t -+=.
*(2) 2
23
,e
1)(=⎪⎩⎪⎨⎧=+==x t
dx dy y t
x x y y 试求所确定由方程设　.
解：31,2,31
2=====t dt dx t x t dt dx ，时当， 21
2e 2e 2===t t dt dy dt dy ，，
3
e 22
2
==x dx dy .
4.**(1) 处的法线在则曲线的参数方程为已知曲线22sin cos π=⎪⎩
⎪
⎨⎧==t L t y t
x L
_____________________方程为.
0124=+-y x 答　.
***(2) 0)(1
cos e 2
==⎪⎩⎪⎨⎧+=--=x x y y t
t y t x x t
在所确定的曲线试求由处的切线方程.
0001cos e 2
===⎪⎩⎪⎨⎧+=--=y t x t
t y t x x t
，时，知当解：由，
t x t dt dx dt dx t sin cos e +-=且
，12+=t dt dy
， 2,2110
00===∴===t t t dx dy dt dx dt dy ， ，
故所求切线方程为:y x =2.
5.**(1) 设　，求．y x
x x y =
+--'1152
3
23
() 解：25ln 31
1ln 21ln 31ln ----+=x x x y
)
25(35
12)1(31--
--+='x x x y y ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡----+--+=
')25(35
12)1(3125)1(1
3
23
x x x x x x y .
**(2) ．求设　y x x x y x
'<<+=),0(,sin )1(e
21π
解：ln (ln()ln sin )y x x x =
+++⎡⎣⎢⎤⎦
⎥121121122
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+++-='x x x x y y cot 41112122 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-++='x x x x x x y x cot 4111sin )1(e 212221
.
***6. 设函数 )(x y y = 由方程 223)(1-+=++y x y x x 所确定，试求 )
2,0(),(d d =y x x
y
.
解：两边取对数 )223ln()ln()1(-+=++y x y x x ，
两边求导：2
23'
23'1)1()ln(-++=
+++++y x y y x y x y x ， 将（0，2）点代入上式： 2
'
232'12ln y y +=++
， 可解得 22ln 2')2,0(),(-==y x y . ***7. 证明曲线3
23
23
2a y x =+)0(>a 上任意点)0,0)(,(00000≠≠=y x y x P 处的切线在两坐标轴之间的线段为定长. 证明：对曲线方程求导有： 0'32
3
23
1
3
1=+--y y x
， 3
13
1'⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-x y y x y ，
所以知曲线在0P 点的切线斜率为3100⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y ，切线方程为：()03
1000x x x y y y -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-， 令0=y ， 得3
2310
0320310a x x y x x =+=， 切线与x 轴的交点为)0,(3
2310
a x M =， 令0=x ， 得3
2310
0320310a y y x y y =+=， 切线与y 轴的交点为),0(3
2310
a y N =， 所以切线在两坐标轴间的线段长为：a a y a x =+2
3
2310
2
3
231
)()(.
***8. 求三叶玫瑰线 )0()3sin(>=a a θρ上对应于 4
π
θ=
的点处的切线方程(直角坐标
形式).
解: 三叶玫瑰线方程可写为 ⎩
⎨⎧==θθθ
θsin )3sin(cos )3sin(a y a x 。

[][]2
1sin )3sin(cos )3cos(3cos )3sin(sin )3cos(3cos )3sin(sin )3sin(4
4
4
=
-+=
''
=
==
==
πθθ
θθθθ
θθθθθθθπ
θπθa a a a a a dx dy k 切， 由于对应于4
π
θ=
的点的坐标为)2,2(a a P =， 所以切线方程为)2
(212a x a y -=-
， 即 042=+-a y x .
第2章 （之10） 第11次作业
教学内容：§2.5 高阶导数
**1. 设　，求．y x x y =++''ln()12 解: '=
+++
+=
+y x x
x x
x
1111112
2
2
()
''=-+⋅=-+-y x x x x 121212
3
2232()()
.
**2. 设 ()()x u u f y ϕ==, 均存在 2 阶导数试推导公式
2
22
2222dx u
d du dy dx du du y d dx y d ⋅
+⎪⎭⎫ ⎝⎛=。

解：由
dx
du du dy dx dy ⋅=，得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx du du dy dx d dx dy dx d dx
y d 2
2 ⎪⎭⎫
⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=du dy dx d dx du dx du dx d du dy
2
222222⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅+⋅=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=dx du du y d dx u d du dy dx du du du dy d dx du dx u d du dy .
**3. ．
求二阶可导，其中设　y u f x f y x ''=,)()e (
解: []
x x x x e x f y e )e (+⋅'='
[]
[]
x x x x
x x x x f x x f y e e 2)e (e e )e (2
+⋅'++⋅''=''
**4. 求由方程 3
23
23
2a y x =+ 所确定的隐函数 ()x y 的二阶导数。

解：两边同时对 x 求导数，得 03
2323
1
31='⋅+--y y x ， ()*
两边同时再对x 求导数，得 ()031329231
2
3434=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡''⋅+'⋅-+----y y y y x ，
整理得 3
1
34
32
3
1--=''y x a y .
**5.设 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t
y t
x 11，试证 3222d d y x y -=.
证：t
t t t t x t y x y -+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
=11121121d d d d d d ，
()(
)()
()
32
22
22112
12112112
1121d d d d d d d d y
t
t t t t t t t t
x t x y x y -=
---=
-⋅
--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⋅
+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
.
***6.设()y x ϕ=是()x f y =的反函数，()0≠'x f ，且()x f '''存在，证明：
(1) ()()()[]3x f x f y '''-=''ϕ； (2) ()()[]()()()[]
5
2
3x f x f x f x f y ''''⋅'-''='''ϕ. 证：（1）由反函数与直接函数导数的关系，知有 ()()
x f y '='1
ϕ。

于是
()()()()()[]()()()[]3
21x f x f y x f x f dy dx dx x f d dy y d y '''-='⋅'''-=⋅⎥⎦⎤⎢
⎣⎡'=
'=''ϕϕϕ.
（2） ()()()()[]dy
dx dx x f x f d dy y d y ⋅⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧'''-=''='''3ϕϕ
()()[]()()[]()()[]
()y x f x f x f x f x f x f ϕ'⋅'''⋅'⋅''-''''-=6
2
3
3 ()[]()()()[]
5
2
3x f x f x f x f '''''-''=.
**7. 设 求．y x y n =cos ()23 解: y x y x =
+'=⋅+121612662(cos )cos() π， ''=⋅+y x 126622
2cos()π，
)2
6cos(621,)(π
n x y n n += .
**8. 设　，求与y x x x x x n y y n n =----+()()()()()()1231 . 解: x n x n n x
y n n
n !)1(2
)1(1
-++-
=+ ， y n x n n n n ()()!()
!=+-+112
，
y n n ()()!+=+11.
***9.设()()x v v x u u ==,都是n 次可微函数，证明莱布尼兹公式
()
()()∑
=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
n
k k k n n v u k n uv 0)
(. 证：()1 当1=n 时，命题显然成立. 假设当m n =时，命题成立，即()
()()∑
=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
m
k k k m m v u k m uv 0)
(，那么当1+=m n 时， [
]()()
'⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='
=∑
=-+m
k k k m m m v u
k m uv uv 0)(1)()( ()()()()[]++⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+1010v u v u m m m ()()()()[]
+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 2111v u v u m m m ()()
()()[]
m m v u v u m m 1121+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
()()
()()[]
101++⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+m m v u v u m m ， （利用⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111n m n m n m 及 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11,
010m m m m m m ） ()()
∑+=-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=1
011m k k k m v u
k m ，
由归纳假设，知命题得证。

证毕.
**10. 利用莱布尼兹公式，求函数x x y e 3=的 5 阶导数.
解：由于当4≥n 时，0)()(3≡n x 。

所以，利用莱布尼兹公式可求得
()
()()()
()
∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5
0535e 5k k x k x
k y
x x
x x x x x e 55e 345e 635e 62532⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= )606015(23+++=x x x e x .。