第7讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

C.P( — 4, 4, 0)
D.P(3,— 3, 4)
解析 逐一验证法，对于选项 A , MP = （1, 4, 1）, ••MfP n = 6— 12 + 6 = 0,.・MP Jn,
• ••点P 在平面a 内，同理可验证其他三个点不在平面 a 内. 答案 A
4. （2017西安月考）如图，F 是正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱CD
的中点.E 是BB 1上一点，若D 1F 丄DE,则有（ ）
A.B 1E= EB
第7讲 立体几何中的向量方法（一）――证明平行与垂直
、选择题 1•若直线I 的方向向量为a = （1 , 0, 2）,平面a 的法向量为n = （— 2, 0,—
4）, A.I // a
B.l J a
C.l? a
D.I 与a 相交 解析 V n = — 2a,/a 与平面a 的法向量平行，.・.|丄a 答案 B 2若:CD + QE,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是（
A.相交
B.平行
C.在平面内
D.平行或在平面内 解析 ••• AB= CD +
Q E ,/A B , C D , CE
共面. 则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内. 答案 D 3.已知平面a 内有一点M （1,—1, 2）,平面a 的一个法向量为 则下列点P 中，在平面a 内的是（ ）
2 (6,— 3, 6),
A. P(2, 3, 3)
B.P(— 2, 0, 1)
6
a
B.B1E = 2EB
C.B i E = I E B
D.E与B重合
解析分别以DA, DC, DD i为X, y, z轴建立空间直角坐标系，设正方形的
边长为2,则D(0, 0, 0), F(0, 1, 0), D i(0, 0, 2),设 E(2, 2, z), D i F = (0, 1,- 2), Dl= (2, 2, Z),・.D1FDI=0X 2 + iX 2— 2z= 0, •'z= i ,「B i E
答案 A
5.如图所示，在平行六面体 ABCD — A i B i C i D i中，点M , P,
Q分别为棱AB, CD, BC的中点，若平行六面体的各棱长均相
等，则：
①A i M //
D i p；
③A i M //平面 DCC i D i；
④A i M //平面 D i PQB i.
以上说法正确的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 A i M = AA+A M=A i A+ 2AB, D7P= D i D + DP=A i A+ 2AB,/A1M /DP,
所以A i M D i P,由线面平行的判定定理可知，A i M //面DCC i D i,A i M //面D i PQB i.
①③④正确.
答案 C
、填空题
6.(20i7武汉调研)已知平面a内的三点A(0, 0, i), B(0, i, 0), C(i, 0, 0),
平面p的一个法向量n= （— i,— i,— i）,则不重合的两个平面 a与p的位
置关系是
解析设平面a的法向量为m=（X, y, z）,
由m AB = 0,得 X 0+ y— z= 0? y=z,
由m AC = 0,得 X— z= 0? x=z,取 x= 1,
.■m= (1, 1, 1), m= —n,/m ll n,^a//p.
答案all P
7.(2016 青岛模拟)已知A B= (1, 5,— 2), BC= (3, 1, z),若AB丄BC, BP= (x —1, y,— 3),且BP丄平面ABC,则实数x+ y=
「3+ 5 — 2z= 0, l3(X— 1)+ y — 3z= 0,
解析由条件得｛X— 1 + 5y+ 6= 0, 解得X=4°, y=-15, z= 4,
40 15 25 •x+ y= 7 —
7 = 7.
答案25
8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB= (2,— 1,— 4),
A D = (4, 2, 0), AP= (— 1, 2, — 1).对于结论：①AP丄AB;②AP丄AD;③AP 是平面ABCD的法向量；④APlI BD.其中正确的序号是
解析•••A B A P=0, A D A P=0,
••ABIAP, AD lAP,则①②正确.又AB与AD不平行,
••AP是平面ABCD的法向量，则③正确.
由于 BD = A D—AB= (2, 3, 4), AP= (— 1, 2,— 1),
••BD与AP不平行，故④错误.
答案①②③ 三、解答题
1
9.如图，四边形 ABCD为正方形，PD丄平面ABCD, PD ll QA, QA=AB = 2PD.
证明：平面PQC丄平面DCQ.
证明 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线 DA, DP , DC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D — xyz
则D Q =（1, 1, 0）, DC=（0, 0, 1）, PQ=（1,— 1, 0）. ••• PQ • D Q =0, PQ • DC=0. 即 PQ 丄 DQ , PQ 丄 DC,
又 DQ n DC = D ，二 PQ 丄平面 DCQ , 又PQ?平面PQC,.・.平面PQC 丄平面DCQ.
10. (2017郑州调研)如图所示，四棱锥P — ABCD 的底面是边长为1的正方形, PA 丄CD, FA= 1, PD =V 2, E 为 PD 上一点，PE= 2ED.
(1)求证：PA 丄平面ABCD;
(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF //平面AEC?若存在，指出F 点的 位置，并证明；若不存在，说明理由. (1)证明 ••• PA=AD = 1, PD = V 2, ••• PA 2
+ AD 2
= PD 2
,g 卩 PA 丄AD. 又 PA 丄CD , ADn CD = D, ••• PA 丄平面 ABCD.
⑵解 以A 为原点，AB, AD, AP 所在直线分别为x 轴，y 总
p
依题意有Q （1, 1,
轴,
z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0, 0, 0), B(1 , 0, 0), C(1, 1, 0), P(0, 0, 1),
E ^0 , 3， 3) AC=(1 , 1 , 0),
AE — (0 , 2 ,号设平面AEC 的法向量为n — (x , y , z), 则!n 心0,即严汁0,
[n A I= 0 ,即+ z — 0
，
令 y= 1,贝U n= (- 1, 1,— 2).
假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF = ?CP （0＜疋1）, 使得 BF //平面 AEC ，贝U BF • n = 0.
又••• B F = BC+C F = (0, 1, 0)+(―入一入入)=(—人 1—入 •/ BF • n — + 1 — — 2 — 0，•/ 入-1 , •••存在点F ，使得BF //平面AEC,且F 为PC 的中点.
又O 是正方形ABCD 对角线交点, ••M 为线段EF 的中点. 在空间坐标系中，E(0 , 0 , 1) , F (V 2 , 72 , 1).
11.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB= 迈，
AF= 1, M 在EF 上，且AM//平面BDE.则M 点的坐标为
A.(1 , 1, 1)
B. D. W 2 13， u ，
解析 设AC 与BD 相交于O 点，连接OE,由AM //平面BDE, 且 AM?平面 ACEF,平面 ACEFn 平面 BDE= OE, /AM /EO,
由中点坐标公式，知点 M 的坐标f gg, ¥，i ]
答案 C 12.（2017成都调研）如图所示，在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中, 棱长为a, M , N 分别为A i B 和AC 上的点，A i M = AN^^, 则MN 与平面BB i C i C 的位置关系是（
） A.相交 B.平行 C.垂直 解析 分别以C i B i , C i D i , C i C 所在直线为X, 建立空间直角坐标系，如图，• A i M = AN =老a,
…（2 a 、 /2a 2a 、 则 M p 3a
，3
丿，N （J ，E ，弓 俪-3,0,3a )
又 C i (0，0，0)，D i (0, a ，0),
••c7b i = (0, a, 0),.・MiN C i D i = 0,/M N xTb i .
••C i D i 是平面BB i C i C 的法向量，且 MN?平面BB i C i C ••MN //平面BB i C i C. 答案 B i3.如图，正方体ABCD — A i B i C i D i 的棱长为i ，E ，F 分别是 棱BC, DD i 上的点，如果B i E 丄平面ABF,则CE 与DF 的 和的值为 ______________
.
争— 1
/
A 解析 以D i A i , D i C i , D i D 分别为X, y, z 轴建立空间直 角坐标系，设CE = X ，DF = y ， 则易知 E(x ，i ，i)，
B i (i, i ，0)，F(0, 0, i — y)，B(i, i, i)
， ••BE= (X— i, 0, i),-FB= (i, i, y), 由于B i E 丄平面ABF,
所以 FB B1E= (1, 1, y) (•- 1, 0, 1)= 0?x+ y= 1.
答案1 14.(2014湖北卷改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD — A1B1C1D1中，E, F,
M , N分别是棱AB, AD, A1B1, A1D1的中点，点P, Q分别在棱DD1, BB1 上移动，且DP = BQ= X0< &2).
冲,
(1)当后1时，证明：直线 BC1//平面EFPQ;
(2)是否存在入使平面EFPQ丄平面PQMN ?若存在，求出实数入的值；若不存在，说明理由.
(1)证明以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B(2, 2, 0), C1(0, 2, 2), E(2, 1, 0), F(1, 0, 0), P(0, 0,入),M(2, 1, 2), N(1, 0, 2), BC1= (—2, 0, 2), F P = (—1, 0,入),F E = (1, 1, 0), M N = (—1,
—1, 0), NP= (— 1, 0,入—2).
当 A 1 时，FP= (— 1, 0, 1),
因为北1 = (— 2, 0, 2),
所以紀仟2FP ,
即 BC1 // FP.
而FP?平面EFPQ,
且BC1?平面EFPQ,
故直线BC1 //平面EFPQ
⑵解设平面EFPQ的一个法向量为n = (x, y, z),
!F E - n= 0, 仅+ y= 0,
则由i 可得5 于是可取n=(入一入1).
占n 0I—X+入缶0.
L FP - n= 0,
同理可得平面PQMN的一个法向量为m=(入一2, 2—入1). 则m n=(入一2, 2-入 1)(入一入 1) = 0,
即 X— 2)- )(2- ?) + 1 = 0,解得后1±22.
故存在 =1普，使平面EFPQ丄平面PQMN.。