2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上.) 1. （10年，4分） 极限2lim ()()x
x x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦
( ) (A ) 1. (B ) e . (C ) a b
e -. (D ) b a
e
-.
【考查分析】“1∞
”型极限的计算. 【详解】
本题属于未定式求极限,极限为1∞
型,故可以用“e 的抬起法”求解．
()()2
lim x
x x
x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦
()()
2
ln
lim x x x a x b x e ⋅-+→∞
=()()
2
lim ln
x x x x a x b e
→∞
⋅-+=,
其中又因为
()()2222()()
lim ln lim ln 1()()()()lim
()()()lim
()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abx
x a x b a b
→∞
→∞→∞→∞--+⋅=+
-+-+⎡⎤--+⎣⎦
=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦
故原式极限为a b
e
-,所以应该选择(C).
2. （10年，4分） 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z z
x
y x y
∂∂+=∂∂( ) (A ) x . (B ) z . (C ) x -. (D ) z -. 【考查分析】隐函数偏导数的计算. 【详解】
122212122221x z y z y z
F F F F F yF zF z x x x x x F F xF F x
⎛⎫⎛⎫
''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==
∂'
'''⋅, 11221
1y z F F F z x y F F F x
'⋅
''∂=-=-
=-∂'
''⋅, 1212222
yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''．选（B ）. 3. （10年，4分） 设,m n 是正整数,则反常积分
()
20
ln 1m
n
x dx x
-⎰
的收敛性 ( )
(A ) 仅与m 的取值有关. (B )仅与n 的取值有关.
(C ) 与,m n 取值都有关. (D ) 与,m n 取值都无关. 【考查分析】判断反常积分的敛散性. 【详解】
0x =与1x =都是瑕点.应分成
()
()
()
2221121
2
ln 1ln 1ln 1m
m m
n
n
n
x x x x
x
x
---=+⎰
⎰,
用比较判别法的极限形式,对于
()
2120
ln 1m n
x x
-,由于12
10
12[ln (1)]
lim 1m
n
x n m
x x
x
+
→--=.
显然,当12
01n m
<
-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1
210[ln (1)]lim m x n
x x
+
→-存在,此时()212
0ln 1m n x x -实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数,
dx 总收敛.
对于,取01δ<<,不论,m n 是
什么正整数,
12
112
1
1
[ln (1)]
lim lim ln (1)(1)01(1)m
n
m
x x x x
x x x δ
δ
-
-
→→-=--=-,
所以
收敛,故选(D).
【评注】(1)当21
0m m
-≥时，⎰是定积分.
(2) 0,0αβ∀>>,有
lim ln 00
x x x βα
+
=→. 4. （10年，4分） ()()
2211lim
n
n
n i j n
n i n j →∞
===++∑∑ ( ) (A )
()()
120
1
11x
dx dy x y ++⎰⎰
. (B ) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C )
()()
1
1
1
11dx dy x y ++⎰
⎰
. (D ) ()()
1
1
20
1
11dx dy x y ++⎰⎰
. 【考查分析】利用积分和式求极限. 【详解】
()()2222
1
1111()n
n
n
n i j i j n n
n i n j
n i n j =====++++∑
∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111
lim lim ,11()n
n n n j j n dy j n j
n y n
→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011
11
1lim lim ,11()
n
n n n i i n dx i n i n x n
→∞→∞====+++∑∑⎰
()()2222111111
lim lim()()n n
n n
n n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞
=====++++∑∑∑∑ 221(lim )n
n j n n j
→∞
==+∑1(lim )n
n i n
n i →∞=+∑ 1
12
0011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()
112001
11dx dy x y =++⎰⎰. 【评注】本题易认为是二重积分或误认为逐次极限.实际上,对i 求和时与j 无关,对j 求和时与i 无关,所以这是一道两个和得乘积的极限题.
5. （10年，4分） 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )
(A ) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B ) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C ) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D ) 秩()r A n =,秩()r B n =. 【详解】
由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故
(),()m r A m r B ≤≤ ①
由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故
(),()r A m r B m ≤≤ ②
由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A .
6. （10年，4分） 设A 为4阶实对称矩阵,且2
A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )
(A ) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B ) 1110⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭. (C ) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D ) 1110-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭
. 【考查分析】对称矩阵相似于对角矩阵.
【详解】设λ为A 的特征值,由于2
A A O +=,所以2
0λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0.
由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫
⎪
- ⎪Λ= ⎪- ⎪
⎝⎭,即1110A -⎛⎫
⎪
- ⎪Λ= ⎪- ⎪
⎝⎭
. 【评注】看清题目,说清每个已知条件的作用.即可得出结论.
7. （10年，4分） 设随机变量X 的分布函数0,0
1(),
0121,
1
x x F x x e x -<⎧⎪⎪
=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A ) 0. (B )
12. (C ) 112
e --. (D ) 1
1e --. 【考查分析】本题主要考查分布函数的概念及随机事件概率的计算.已知分布函数,
【详解】
离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中
()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,
只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即
{}{}{}()()11
11111110122
P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--
=-,故本题选(C). 【评注】已知分布函数,求随机事件的概率是基本题,但需注意题中的随机变量既不是离散型也不是连续型.由于分布函数在1x =处不连续,故利用{1}(1)(10)P X F F ==--来计算.
8. （10年，4分） 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若
12(),0
()(),0
af x x f x bf x x ≤⎧=⎨
>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A ) 234a b +=. (B ) 324a b +=. (C ) 1a b +=. (D ) 2a b +=. 【详解】
根据题意知,()2
212x f x e π-=(x -∞<<+∞),()21,13
4
0,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它
利用概率密度的性质:
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
,故
()()()()0
31210
013
12424
a a f x dx af x dx bf x dx f x dx
b dx b +∞
+∞+∞-∞
-∞
-∞=+=+=+=⎰
⎰⎰
⎰⎰
所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).
二、填空题(9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上.) 9. （10年，4分） 设()2
0,ln 1,t t
x e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩
⎰ 求220t d y dx == . 【详解】
因为 ()()
2
2
ln 1ln 1t
t
t
dy t e dx e -+=
=-+-,
()()
()()22222ln 12ln 11t
t t t
d t
e d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以22
0t d y dx == 10. （10年，4分）
2
π=⎰
.
【考查分析】用变量变换与分部计算定积分.
【详解】
t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法,
原式220
cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t π
ππ
=
⋅==⎰
⎰⎰
20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ
⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t πππ
πππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦
⎰.
11. （10年，4分） 已知曲线L 的方程为[]{}
11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分
2L
xydx x dy +=⎰
.
【详解】
1
2
222L
L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰
⎰⎰
()()()01
2
210
11x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰
()()0
1
221
22x x dx x x dx -=++-⎰
⎰
1
322310223
223x x x x -⎛⎫⎛⎫
=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
211203223⎛⎫⎛⎫
=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12. （10年，4分） 设(){}
2
2,,1x y z x
y z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .
【详解】
()22
2
1
2
212
1
1
000
2
1
1
2120
2
1r r
r
z d rdr zdxdydz d rdr zdz
dxdydz d rdr dz
d r rdr
π
πθθθθΩ
Ω
⎛⎫
⎪⋅ ⎪⎝
⎭==
-⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
421
1222r d r dr
π
θπ
⎛⎫- ⎪⎝⎭=
⎰
⎰1
2620
4122
r r d π
θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=
⎰
20
112266322
d π
θπππ⋅=
==⎰
. 13. （10年，4分） 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,T
T
T
a ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = . 【详解】
因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：
1231
12112112211013013(,,)1010130060
2
02000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪
=→→ ⎪ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以6a =.
14. （10年，4分） 设随机变量X 的概率分布为{}!
C P X k k ==
,0,1,2,k = ,则()2
E X = . 【考查分析】随机变量的数学期望,方差.泊松分布的期望,方差. 【详解】
利用离散型随机变量概率分布的性质,知
{}0
01!
k k C
P X k Ce k ∞
∞
======∑∑
,整理得到1C e -=,即 {}11
1!!
k e P X k e k k --===.
故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有
()()()2
22
112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦
. 【评注】22
()EX DX EX =+,所以应求X 的期望与方差,而X 的分布{},0,1,2,!
C
P X k k k ==
= 的C 是待定常数.不难看出这是一个泊松分布. 三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. （10年，10分）(本题满分10分)
求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． 【考查分析】求常系数线性非齐次微分方程的通解. 【详解】
对应齐次方程的特征方程为2
320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为
212x x c y C e C e =+．
设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+,则
()()*
2
2x y ax
ax bx b e '=+++,
()()*
2
422x y ax
ax bx a b e ''=++++,
代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*
(2)x
y x x e =--． 故方程的通解为*212(2)x x x c y y y C e C e x x e =+=+-+． 16. （10年，10分）(本题满分10分)
求函数()()2
2
21
x t f x x t e dt -=
-⎰
的单调区间与极值.
【考查分析】对变限求导数,划分单调区间,求极值. 【详解】 因为2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
()()x x x t t t f x x t e dt x e dt te dt ---=
-=-⎰
⎰
⎰,
所以2
2
2
4
4
2
331
1
()2222x x t x x t f x x e dt x e
x e
x e dt ----'=+-=⎰
⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.
又2
2
4
21
()2
4x t x f x e dt x e
--''=+⎰
,则2
1
(0)2
0t f e dt -''=<⎰
,所以
2
21
11
11
(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰
是极大值.
而1
(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.
又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .
【评注】(1)求()f x 的单调性区间就是求()f x '的正负号区间.增减或增减区间的分界点就是极值点.上述方法就是求出()f x ',然后分出()f x '的正负号区间,从而得到()f x 的增减区间,相应地得到()f x 的极值点.这里就不必
去求驻点处得()f x ''.
(2)若题目只要求()f x 的极值,我们也可以2
2
1()2x t f x x e dt -'=⎰后,解得驻点0x =,1x =±,然后再求驻点处的
二阶导数.
由于2
01(0)20t f e dt -''=<⎰,⇒11(0)(1)2
f e -=-为极大值.
由于1(1)40f e -''±=>,⇒(1)0f ±=为极小值.
17. （10年，10分）(本题满分10分)
(I)比较
()1
ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰
与1
0ln n
t t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；
(II)记()1
ln ln 1n
n u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰
()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞
. 【详解】
(I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)n
n
t t +<,所以
[]ln ln(1)ln n
n t t t t +<,
则
[]1
1
ln ln(1)ln n
n t t dt t t dt +<⎰
⎰()1,2,n = .
(II)
()1
1
11
001ln ln ln 1n
n
n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰
⎰⎰ ()
211n =+,故由 ()
1
2
1
0ln 1n n u t t dt n <<=
+⎰,
根据夹逼定理得()
2
1
0lim lim
01n n n u n →∞
→∞
≤≤=+,所以lim 0n n u →∞
=.
18. （10年，10分）(本题满分10分)
求幂级数
()
1
21
121
n n n x n -∞
=--∑
的收敛域及和函数.
【考查分析】求幂级数的收敛域及和函数. 【详解】
(I) (1)122
2(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121
n n n n n n n n n n
x x n n x
x n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--2
22(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++,
所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当2
1x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.
当1x =±时,11
211(1)(1)2121
n n n n n x n n --∞
∞==--⋅=--∑∑
,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-. (II) 设1122111(1)(1)()2121n n n
n n n S x x x x n n --∞
∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭
∑∑,其中令
121
11(1)()21
n n n S x x n -∞
-=-=⋅-∑()1,1x ∈-,
所以有 1
22
2111
1
()(1)
()n n n n n S x x
x ∞
∞
---=='=
-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-,
从而有 122
11
()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-,
故 11201
()(0)arctan 1x
S x dx S x x =
+=+⎰,()1,1x ∈-.
1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以
()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.
【评注】幂函数在收敛域上可以逐项积分,但逐项求导只能先在收敛区间进行.在逐项求导后，在另行讨论端点处是否成立。

展开式在逐项积分后得到新的展开式成立范围是否可扩大到收敛区间的端点？要检查两点：（1）若在端点处级数收敛；（2）并且被展开的函数在该端点处（左端点处右连续，右端点处左连续）.只要(1)(2)两点至少有一点不成立,就不能扩大到端点.在具体解题时,只要说清楚这两点(而不一定要具体写出来)就可以了.直接在[]1,1-上做()∆的一系列运算上不允许的.
19. （10年，10分）(本题满分10分)
设P 为椭球面2
2
2
:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直,求点P 的轨迹C ,
并计算曲面积分2
2
3244x y z
I dS y z yz
∑
+-=
++-,其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.
【考查分析】求曲面上满足某些条件的点的轨迹方程,第一型曲面积分的计算. 【详解】
( I )令()2
2
2
,,1F x y z x y z yz =++--,故动点(),,P x y z 的切平面的法向量为()2,2,2x y z z y --,由切
平面垂直xOy ,故所求曲线C 的方程为2221
20
x y z yz z y ⎧++-=⎨-=⎩.
( II ) 由⎩
⎨⎧=-=-++,02,
1222y z yz z y x 消去z ,可得曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围成的xOy 上的区域
223:{(,)|1}4
D x y x y +≤,由()()x x yz z y x '
='-++1222,由
dxdy z
y yz
z y dxdy y z x z dS 2441222
2
--++=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=,
故
(2
2
323344D
D
D
x y z
I dS x dxdy xdxdy dxdy y z yz
∑
-==+=+++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
33123
D
dxdy ππ==⋅=. 【评注】本题为空间解析几何,多元函数微分学与多元函数积分学的综合题,有一定的计算量和难度.有的考生不去求P 在S 上的轨迹方程,而去求S 在P 点处于xOy 平面垂直的切平面方程,这是无法求的,因为P 并不固定而可以在S 上运动的.这说明审题十分重要.又有的考生由于计算错误, I 的积分式弄的很复杂,自己增添了不少麻烦,读者可以看到,本题实际上是计算
(3)D
x d σ⎰⎰的一个变形题.
20. （10年，11分）(本题满分11分)
设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭
，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.
( I ) 求λ,a ；
( II ) 求方程组Ax b =的通解.
【考查分析】线性方程组的解得性质有解条件极其通解. 【详解】
因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.
方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得
11111010
1010
111111a A a λλ
λλλλ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
221
11111
0101010
10110
011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭
当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．
当1λ=-时,1111020
10002A a -⎛⎫ ⎪
→- ⎪ ⎪+⎝⎭
,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即
211
010(1)(1)011A λλλλλ
=-=-+=,
知1λ=或-1.
当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-. ( II ) 对增广矩阵做初等行变换
31012111211121020102010102111100000000A ⎛
⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭
可知原方程组等价为13232
1
2x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝⎭.
因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫
⎪⎛⎫ ⎪
⎪
⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝⎭
,其中k 为任意常数.
【评注】AX b =有两个不同的解,设为12,ηη,则由解得性质知121()k ηηη-+也是AX b =的解,其中k 是任意常数,(注意不一定是通解)故有()(|)2r A r A b =≤.由此可确定参数,a λ,在求出方程组的通解.
21. （10年，11分）(本题满分11 分)
已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为22
12
y y +,且Q 的第三列
为T . ( I ) 求矩阵A ；
( II ) 证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵.
【详解】 ( I )由于二次型在正交变换x Qy =下的标准形为22
12
y y +,所以A 的特征值为1231,0λλλ===. 由于Q 的第3列为22T ⎝⎭,所以A 对应于30λ=的特征向量为22T
⎝⎭,记为3α. 由于A 是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于121λλ==的特征向量为()123,,T
x x x α=,则30T αα=,即
1322022
x x +=. 求得该方程组的基础解系为()()120,1,0,1,0,1T T
αα==-,因此12,αα为属于特征值1λ=的两个线性无关的特征向量.
由于12,αα是相互正交的,所以只需单位化：
())1212120,1,0,1,0,12
T T
ααββαα=
===-. 取()1232022,,1002022Q ββα⎛
⎪
⎪==
⎝
⎭
,则110T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭,且1T
Q Q -=, 故 1
10220101102
2T
A Q Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪
- ⎪
⎝⎭.
( II )A E +也是实对称矩阵,A 的特征值为1,1,0,所以A E +的特征值为2,2,1,由于A E +的特征值全大
于零,故A E +是正定矩阵.
【评注】本题也可把12,αα单位化处理(它们已经正交!)构造出正交矩阵Q ,即
2
100
2
Q
⎛
⎪
⎪
=
⎝⎭
,则
1
1
1
T
Q AQ Q AQ
-
⎛⎫
⎪
== ⎪
⎪
⎝⎭
.于是有T
A Q Q
=Λ=
22.（10年，11分）(本题满分11分)
设二维随机变量(,)
X Y的概率密度为
22
22
(,)x xy y
f x y Ae-+-
=,x
-∞<<+∞,y
-∞<<+∞,
求常数A及条件概率密度
|
(|)
Y X
f y x．
【考查分析】二维正态随机变量的概率密度,边缘概率密度和条件概率.
【详解】
当给出二维正态随机变量的的概率密度()
,
f x y后,要求条件概率密度
|
(|)
Y X
f y x,可以根据条件概率公式
|
(,)
(|)
()
Y X
X
f x y
f y x
f x
=来进行计算.本题中还有待定参数,A要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.
()()222222
22()()
,x xy y y x x x y x
X
f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy
+∞+∞+∞+∞
-+-------
-∞-∞-∞-∞
====
⎰⎰⎰⎰
2,x
A e x
π-
=-∞<<+∞.
根据概率密度性质有
()2
1x
X
f x dx A e dx A
ππ
+∞+∞-
-∞-∞
===
⎰⎰,即1
Aπ-
=,
故()2x
X
f x
π
-
=,x
-∞<<+∞.
当x
-∞<<+∞时,有条件概率密度
()()
()
22
222
2
22
2()
,
,,
x xy y
x xy y x y
Y X x
X
f x y
f y x x y
f x A eππ
π
-+-
-+---
-
==-∞<<+∞-∞<<+∞.
【评注】当给出二维密度(,)
f x y后,要求条件概率密度
|
(|)
Y X
f y x时,可用公式
|
(,)
(|)
()
Y X
X
f x y
f y x
f x
=,当
()0
X
f x>,而()(,)
X
f x f x y dy
+∞
-∞
=⎰.本题还有待定常数A.用(,)1
f x y dxdy
+∞+∞
-∞-∞
=
⎰⎰来定常数A.还不如用
()1
X
f x dx
+∞
-∞
=
⎰来求A.
23. （10年，11分） (本题满分11分)
设总体X 的概率分布为
其中参数()0,1θ∈未知,以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ,使3
1
i
i
i T a N ==
∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.
【考查分析】本题主要考查统计量的数字特征,包括数学期望,方差及其性质. 【详解】
()()()22123~,1,~,,~,N B n N B n N B n θθθθ--
()()()()31122331i i i E T E a N a E N a E N a E N =⎛⎫
==++ ⎪⎝⎭
∑
()()221231a n a n a n θθθθ=-+-+()()212132na n a a n a a θθ=+-+-.
因为T 是θ的无偏估计量,所以()E T θ=,即得()()121320
10
na n a a n a a =⎧⎪
-=⎨⎪-=⎩
,整理得到10a =,21,a n = 31a n =.所以
统计量
()()1232311111
0T N N N N N n N n n n n
=⨯+⨯+⨯=⨯+=⨯-.
注意到1(,1)N B n θ- ,故
()()()11211
D T D n N D N n n
⎡⎤=⨯-=⨯⎢⎥⎣⎦()11n θθ=-.
【评注】此题需要判断(1,2,3)i N i =服从二项分布,这是一道较难的综合题.。