《等差数列的概念》教案、导学案与同步练习

《4.2.1 等差数列的概念》教案
（第一课时）
【教材分析】
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的概念及其性质
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

【教学目标与核心素养】
【教学重点和难点】
重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用
难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定
【教学过程】
3.测量某地垂直地面方向上海拔
地面20米起每升高100米处的大气温度（单位25,24,23,22,21
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－2，d ＝3.
∴这个等差数列的首项a 1＝－2，公差d ＝3. (2) 法一：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
则由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1
＝64
15，d ＝4
15.
故a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×4
15
＝24.
法二：∵a 60＝a 15＋(60－15)d ，∴d ＝20－860－15＝4
15，
∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×4
15＝24.
法三：已知数列{a n }是等差数列，可设a n ＝kn ＋b.
由a 15＝8，a 60＝20得⎩⎪⎨
⎪⎧
15k ＋b ＝8，
60k ＋b ＝20，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝415
，
b ＝4.
∴a 75＝75×4
15
＋4＝24.
例2 (1)已知m 和2n 的等差中项是8，2m 和n 的等差中项是10，则m 和n 的等差中项是________．
(2)已知1a ，1b ，1c 是等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b
c 也是等差数列．
[思路探究] (1)列方程组―→求解m ，n ―→求m ，n 的等差中项 (2)
(1)6 [由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＋2n ＝8×2＝16，
2m ＋n ＝10×2＝20，
∴3(m ＋n)＝20＋16＝36，∴m ＋n ＝12，∴m ＋n
2
＝6.]
(2)[证明] ∵1a ，1b ，1
c 成等差数列，
∴2b ＝1a ＋1
c ，即2ac ＝b(a ＋c)． ∵
b ＋
c a ＋a ＋b c
＝c
b ＋
c ＋a a ＋b
ac
＝a 2
＋c 2
＋b a ＋c ac ＝a 2
＋c 2
＋2ac ac ＝
2a ＋c 2
b a ＋
c ＝
2
a ＋c
b
， ∴
b ＋
c a ，a ＋c b ，a ＋b c
成等差数列． 等差中项应用策略
1.求两个数x ，y 的等差中项，即根据等差中项的定义得A ＝x ＋y
2.
2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a ，b ，c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ；反之，若a ＋c ＝2b ，则a ，b ，c 成等差数列.
跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数 成等差数列，求此数列．
[解] ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72
＝3.
又a 是－1与3的等差中项， ∴a ＝－1＋32
＝1.
又c 是3与7的等差中项， ∴c ＝3＋72
＝5.
∴该数列为：－1，1，3，5，7.
2．等差数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24 C [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
则由a 2＝2，a 5＝8，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋d ＝2，
a 1＋4d ＝8，
解得a 1＝0，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝16.故选C.] 3．已知a ＝
13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为______．
3 [a ＋b
2＝
13＋2＋
13－2
2
＝
3－2＋3＋2
2＝ 3.]
4.在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，a 8＝5，则a 10＝____. 解析：(方法一)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a 5＝a 1＋(5－1)d ，
a 8＝a 1＋(8－1)d ，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
11＝a 1＋4d ，5＝a 1＋7d ，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝19，
d ＝－2.
∴a n ＝－2n ＋21(n ∈N *
)． ∴a 10＝－2×10＋21＝1. (方法二)设公差为d ， ∵a 8＝a 5＋(8－5)×d， ∴d ＝a 8－a 5
3＝－2，
∴a 10＝a 8＋(10－8)×d＝1. (方法三)设a n ＝An ＋B ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a 5＝5A ＋B ，a 8＝8A ＋B ，即⎩⎪⎨⎪⎧
11＝5A ＋B ，5＝8A ＋B ，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
A ＝－2，
B ＝21，
∴a n ＝－2n ＋21，∴a 10＝1.
5．若等差数列{a n }的公差d≠0且a 1，a 2是关于x 的方程 x 2
－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．
[解] 由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋a 2＝a 3，
a 1a 2＝a 4，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a 1＋d ＝a 1＋2d ，
a 1a 1＋d ＝a 1＋3d.
四、小结
【教学反思】
普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。

他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。

但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

《4.2.1 等差数列的概念》导学案
（第一课时）
【学习目标】
1.理解等差数列的概念
2.掌握等差数列的通项公式及应用
3.掌握等差数列的判定方法
【重点和难点】
重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用
难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定
【知识梳理】
1．等差数列的概念
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是a＋b＝2A.
3.从函数角度认识等差数列{a n}
若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则a n＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d
1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．( )
(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．( )
(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．( )
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． ( )
(2)等差数列{a n}的单调性与公差d有关． ( )
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．( )
3．在等差数列{a n}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝( )
A．22 B．24 C．26 D．28
4．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为( )
A．－1 B．1 C．3 D．4
【学习过程】
一、学习导引
我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。

类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变
化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。

二、新知探究
1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆
形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从
内到外各圈的示板数依次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81 ①
2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码
分别是
38,40,42,44,46,48 ②
3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位℃）依次为
25,24,23,22,21 ③
4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方
)元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次式还款，他从某月开始，每月应还本金(b=a
12n
为
ar,ar−br,ar−2br,ar−3br…, ④
在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？
思考1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？
三、典例解析
例1.（1）已知等差数列{a n }的通项公式为a n =5−2n ，求{a n }公差和首项； （2）求等差数列8,5,2…的第20项。

求通项公式的方法
(1)通过解方程组求得a 1，d 的值，再利用a n ＝a 1＋(n －1)d 写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．
(2)已知等差数列中的两项，可用d ＝直接求得公差， 再利用a n ＝a m ＋(n －m)d 写出通项公式．
(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过a n 是关于n 的一次函数形式，列出方程组求解．
跟踪训练1．(1)在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公差d. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.
例2 (1)已知m 和2n 的等差中项是8，2m 和n 的等差中项是10，则m 和n 的等差中项是________． (2)已知1a ，1b ，1c 是等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也是等差数列．
等差中项应用策略
1.求两个数x ，y 的等差中项，即根据等差中项的定义得A ＝x ＋y
2
.
2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a ，b ，c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ；反之，若a ＋c ＝2b ，则a ，b ，c 成等差数列. 跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数 成等差数列，求此数列．
【达标检测】1．数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则此数列( )
A ．是公差为－3的等差数列
B ．是公差为5的等差数列
C ．是首项为5的等差数列
D ．是公差为n 的等差数列 2．等差数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24 3．已知a ＝
13＋2
，b ＝
13－2
，则a ，b 的等差中项为______．
4.在等差数列{a n}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.
5．若等差数列{a n}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程
x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{a n}的通项公式．
【课堂小结】
【参考答案】
知识梳理
1. ×; ×; √
2．解析： (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；
若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．
(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；
d<0时为递减数列．
(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，
故a，b，c为等差数列．
[答案] (1)×(2)√(3)√
3．D[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D.]
4．D[由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4.故应选D.]
学习过程
一、新知探究
思考1：设一个等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得a n+1−a n= d
所以a2−a1= d, a3−a2= d, a4−a3= d,…
于是a2=a1+ d,
a3=a2+ d=(a1+ d) + d=a1+ 2d,
a4=a3+ d=(a1+ 2d) + d=a1+ 3d,……
归纳可得a n =a 1+(n −1) d (n ≥2)
当n =1时，上式为a 1=a 1+(1−1) d =a 1，这就是说,上式当时也成立。

因此，首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n −1) d
思考2： [提示] 还可以用累加法，过程如下： ∵a 2－a 1＝d ， a 3－a 2＝d ， a 4－a 3＝d ，… a n －a n －1＝d(n≥2)， 将上述(n －1)个式子相加得 a n －a 1＝(n －1)d(n≥2)， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d(n≥2)，
当n ＝1时，a 1＝a 1＋(1－1)d ，符合上式， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d(n ∈N *
)． 二、典例解析
例1. 分析（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由a n+1−a n = d ，即可求出公差d ，（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项
解：（1）当 n ≥2时，由{a n }的通项公式为a n =5−2n ， 可得a n−1 =5−2(n −1)=7−2n . 于是d =a n −a n−1=(5−2n )-(7−2n )=− 2. 把代入通项公式a n =5−2n ，可得a 1=3 （2）由已知条件，得d =5−8=−3 把a 1=8, d =−3代入a n =a 1+(n −1) d ,得 a n =8−3(n −1)=11 − 3n , 把n =20代入上式，得 a 20=11 − 3×20=−49 , 所以，这个数列的第20项是−49
跟踪训练1．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.
∵a 5＝10，a 12＝31，则⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋4d ＝10，
a 1＋11d ＝31，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－2，d ＝3.
∴这个等差数列的首项a 1＝－2，公差d ＝3. (2) 法一：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
则由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝6415
，
d ＝4
15
.
故a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×4
15
＝24.
法二：∵a 60＝a 15＋(60－15)d ，∴d ＝20－860－15＝4
15，
∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×4
15＝24.
法三：已知数列{a n }是等差数列，可设a n ＝kn ＋b.
由a 15＝8，a 60＝20得⎩
⎪⎨
⎪⎧
15k ＋b ＝8，
60k ＋b ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝415
，
b ＝4.
∴a 75＝75×4
15
＋4＝24.
例2[思路探究] (1)列方程组―→求解m ，n ―→求m ，n 的等差中项 (2)
(1)6 [由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＋2n ＝8×2＝16，
2m ＋n ＝10×2＝20，
∴3(m ＋n)＝20＋16＝36，∴m ＋n ＝12，∴m ＋n
2＝6.]
(2)[证明] ∵1a ，1b ，1
c 成等差数列，
∴2b ＝1a ＋1
c
，即2ac ＝b(a ＋c)．
∵b ＋c a ＋a ＋b c
＝
c b ＋c ＋a a ＋b
ac
＝a 2
＋c 2
＋b a ＋c ac ＝a 2
＋c 2
＋2ac ac ＝
2a ＋c 2
b a ＋
c ＝2a ＋c
b
，
∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b
c
成等差数列．
跟踪训练2[解] ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72
＝3.
又a 是－1与3的等差中项， ∴a ＝－1＋32
＝1.
又c 是3与7的等差中项， ∴c ＝3＋72
＝5.
∴该数列为：－1，1，3，5，7. 达标检测
1．数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则此数列( )
A ．是公差为－3的等差数列
B ．是公差为5的等差数列
C ．是首项为5的等差数列
D ．是公差为n 的等差数列
A [等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以化成a n ＝dn ＋(a 1－d)．对比a n ＝－3n ＋5.故公差为－3.故选A.]
2．等差数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24 C [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
则由a 2＝2，a 5＝8，得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋d ＝2，
a 1＋4d ＝8，
解得a 1＝0，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝16.故选C.] 3．已知a ＝
13＋2
，b ＝
13－2
，则a ，b 的等差中项为______．
3 [a ＋b 2＝1
3＋2＋13－22＝3－2＋3＋2
2＝ 3.]
4.在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，a 8＝5，则a 10＝____. 解析：(方法一)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
a 5＝a 1＋(5－1)d ，
a 8＝a 1＋(8－1)d ，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
11＝a 1＋4d ，5＝a 1＋7d ，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝19，
d ＝－2.
∴a n ＝－2n ＋21(n ∈N *
)． ∴a 10＝－2×10＋21＝1. (方法二)设公差为d ， ∵a 8＝a 5＋(8－5)×d， ∴d ＝a 8－a 5
3＝－2，
∴a 10＝a 8＋(10－8)×d＝1. (方法三)设a n ＝An ＋B ，
则⎩⎪⎨
⎪⎧ a 5＝5A ＋B ，a 8＝8A ＋B ，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
11＝5A ＋B ，5＝8A ＋B ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
A ＝－2，
B ＝21，
∴a n ＝－2n ＋21，∴a 10＝1.
5．若等差数列{a n }的公差d≠0且a 1，a 2是关于x 的方程 x 2
－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．
[解] 由题意得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1a 1＋d ＝a 1＋3d.
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 1＝2，d ＝2，
∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.
《4.2.1 等差数列的概念（第一课时）》基础同步练习 一、选择题
1．已知等差数列{a n }中，，则公差d 的值为（ ） A ．
B ．1
C ．
D ． 2．等差数列中，已知，，当时，则序号等于（ ） A ．90 B ．96 C ．98 D ．100 3．等差数列的第项是（ ） A ． B ． C ． D ．
4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为：（ ）
A ．15.5尺
B ．12.5尺
C ．9.5尺
D ．6.5尺 5．（多选题）下列数列中，是等差数列的是（ ） A ．1，4，7，10 B ． C ． D ．10，8，6，4，2
6．（多选题）已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．（d 为常数） B ．数列是等差数列 C ．数列是等差数列 D ．是与的等差中项
二、填空题
7．已知数列是等差数列，若，，则公差_____. 8．在下面的数表中，已知每行､每列中的数都成等差数列.
399,3a a ==1
21-12
-{}n a 11a =3d =298n a =n 1
0,3,7,2
--⋅⋅⋅1n +7
2
n -
()712n -+712n -+()712n --lg2,lg4,lg8,lg1654322,2,2,2{}n a 1n n a a d +=+{}n a -1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
1n a +n a 2n a +{}n a 12a =342a a =d =
那么位于表中的第n 行第列的数是__________.
9．在数列中，，，则的值为__________.
10．在等差数列中，，（、），则的值为__________. 三、解答题
11．在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）求；
（3）2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？ 12．数列的通项公式是． （1）求证：是等差数列，并求出其公差；
（2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？
《4.2.1 等差数列的概念（第一课时）》答案解析 一、选择题
1．已知等差数列{a n }中，，则公差d 的值为（ ） A ．
B ．1
C ．
D ． 【答案】C
【详解】等差数列{a n }中，，则即3=9+6d,解得d=-1 2．等差数列中，已知，，当时，则序号等于（ ） A ．90 B ．96 C ．98 D ．100 【答案】D
(1)n +{}n a 12a =1221n n a a +-=101a {}n a m a n =n a m =m n *∈N m n a +{}n a 2524a a +=1766a ={}n a 2018a {}n a {}n a 54n a n =+{}n a 104110{}n a 399,3a a ==1
21-12
-399,3a a ==936,a a d =+{}n a 11a =3d =298n a =n
【详解】由题意，解得．故选：D ． 3．等差数列的第项是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】A
【详解】由题,等差数列,,, ，，故选A 4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为：（ ）
A ．15.5尺
B ．12.5尺
C ．9.5尺
D ．6.5尺 【答案】D
【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，
故可设该等差数列为，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别计为，，，
，，公差为，由题可得：
，即，解之得：， 所以立夏的日影子长为：（尺）.故选：D. 5．（多选题）下列数列中，是等差数列的是（ ） A ．1，4，7，10 B ． C ． D ．10，8，6，4，2 【答案】ABC
【详解】根据等差数列的定义，可得：A 中，满足（常数），所以是等差数列；
13(1)298n +-=100n =10,3,7,2
--⋅⋅⋅1n +7
2
n -
()712n -+712n -+()712n --{}n a 10a =2117
3
022
a a d -=--=-=()()177711222n a a n d n n ∴=+-=-
-=-+()1777
1222
n a n n +∴=-++=-{}n a 1a 2a 3a 12a d 1471237.54.5a a a a ++=⎧⎨=⎩11
3937.511 4.5a d a d +=⎧⎨+=⎩115.51a d =⎧⎨
=-⎩101915.59(1) 6.5a a d =+=+⨯-=lg2,lg4,lg8,lg1654322,2,2,213n n a a +-=
B 中，（常数），所以是等差数列；
C 中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；
D 中，满足（常数），所以是等差数列.
6．（多选题）已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．（d 为常数） B ．数列是等差数列 C ．数列是等差数列 D ．是与的等差中项 【答案】ABD
【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A 正确； B. 因为数列是等差数列，所以，那么
，所以数列是等差数列，故B 正确；C.
，不是常数，所以数列不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D 正确.故选：ABD 二、填空
题
7．已知数列是等差数列，若，，则公差_____. 【答案】
【详解】∵数列是等差数列设公差为，若， ，解得．
8．在下面的数表中，已知每行､每列中的数都成等差数列.
lg 4lg 2lg8lg 4lg16lg8lg 2---=-=453423222222-≠--≠12n n a a +-=-{}n a 1n n a a d +=+{}n a -1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
1n a +n a 2n a +{}n a 1n n a a d +-=1n n a a d +=+{}n a 1n n a a d +-=()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-{}n a -1111
11n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
122n n n a a a ++=+1n a +n a 2n a +{}n a 12a =342a a =d =2-{}n a d 12a =342a a =()23222d d ∴+=+2d =-
那么位于表中的第n 行第列的数是__________. 【答案】
【详解】由题意可得，第行的第一个数是，第行的数构成以为首项，为公差的等差数列，其中第项为.所以题表中的第行第列的数是.
9．在数列中，，，则的值为__________. 【答案】52
【详解】由题意，数列满足，即，又由，所以数列首项为2，公差为的等差数列，所以．
10．在等差数列中，，（、），则的值为________. 【答案】0
【详解】由题, ,
三、解答题
11．在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）求；
（3）2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？ 【详解】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为， 由，，
(1)n +2n n +n n n n n 1n +（）2n n n n n +⋅=+n 1n +（）
2n n +{}n a 12a =1221n n a a +-=101a {}n a 1221n n a a +-=11
2
n n a a +-=
12a ={}n a 1210111
1002100522
a a d =+=+⨯={}n a m a n =n a m =m n *∈N m n a +()m n a a m n d n m -=-=-1d ∴=-∴()()10m n m a a n m m d n nd n n +=++-=+=+⨯-={}n a 2524a a +=1766a ={}n a 2018a {}n a {}n a 1a d 2524a a +=1766a =
即，解得，
所以，数列的通项公式为. （2）由（1）可得. （3）令，解得， 所以，是数列中的第项. 12．数列的通项公式是． （1）求证：是等差数列，并求出其公差；
（2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？ 【详解】（1）
，则，
，
所以，数列是等差数列，且公差为； （2）令，即，解得； 令，即，解得. 所以，是该数列的第项，不是该数列中的项.
《4.2.1 等差数列的概念（第一课时）》提高同步练习 一、选择题
1．在等差数列中，，则（ ） A ．0 B ．1 C ． D ．3
2．已知数列中，，，若为等差数列，则（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．2 111
4241666a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩124a d =⎧⎨=⎩{}n a 42n a n =-20184201828070a =⨯-=422022n a n =-=506n =2022{}n a 506{}n a 54n a n =+{}n a 104110{}n a 54n a n =+()151459n a n n +=++=+()()159545n n a a n n +∴-=+-+={}n a 5104n a =54104n +=20n =110n a =54110n +=106
5
n =
10420110{}n a 652a a =17a a +=2-{}n a 32a =71a =11n a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
19a =1
223
3．已知数列是等差数列，且.若，则数列是（ ）. A ．以3为首项，3为公差的等差数列 B ．以6为首项，3为公差的等差数列 C ．以3为首项，6为公差的等差数列 D ．以6为首项，6为公差的等差数列
4．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为（ ）
A ．11.5
B ．12.5
C ．13.5
D ．14.5 5．（多选题）给出下列命题,正确命题的是（ ） A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； B.数列是公差为的等差数列；
C.等差数列的通项公式一定能写成的形式(k ，b 为常数)；
D.数列是等差数列.
6. （多选题）设d 为正项等差数列的公差，若，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． {}n a 256,15a a ==2n n b a ={}n
b 1,23a a a a ---,,1-n a kn b =+{}(
)21n n N
*
+∈{}n a 0d >32a =244a a ⋅<2
24154a a +≥
15
111a a +
>1524a a a a ⋅>⋅
二、填空题
7．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为__________. 8．在到之间，末位数字是的自然数的个数有______.
9．在数列中，若，，
，则该数列的通项为__________.
10．已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d 的取值范围是 __________. 三、解答题
11．首项为，公差为的等差数列满足下列两个条件：
①；
②满足的的最小值是15. 试求公差和首项的值.
12．设数列{a n }满足当n ＞1时，a n ＝
，且a 1＝.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．
《4.2.1 等差数列的概念（第一课时）》答案解析 一、选择题
1．在等差数列中，，则（ ） A ．0 B ．1 C ． D ．3 【答案】A
【详解】设等差数列公差为,由得：，即
16503503{}n a 11a =212a =()
*12
211n n n n N a a a ++=+∈{}n a 11
25
a =1a (
)d d N *
∈{}n
a 35793a a a ++=100n a >n d 1a 1114n n a a --+1
5
1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
{}n a 652a a =17a a +=2-d 652a a =()11524a d a d +=+130a d +=40a ∴=
,故选：
2．已知数列中，，，若为等差数列，则（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．2 【答案】A
【详解】因为，，，故
所以，故.故选：A. 3．已知数列是等差数列，且.若，则数列是（ ）. A ．以3为首项，3为公差的等差数列 B ．以6为首项，3为公差的等差数列 C ．以3为首项，6为公差的等差数列 D ．以6为首项，6为公差的等差数列 【答案】D
【详解】因为数列是等差数列，，设公差为，所以有，
解得，所以，因此，而，所以
数列是以6为首项，6为公差的等差数，故本题选D.
4．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为（ ）
17420a a a ∴+==A {}n a 32a =71a =11n a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
19a =1
223
32a =71a =371111
,,1312
a a ==++319111
1122316111433
a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯=+=++190a ={}n a 256,15a a ==2n n
b a ={}n b {}n a 256,15a a ==d 11
+6+415a d a d =⎧⎨=⎩1=3,3a d =3n a n =26n n b a n ==()
162,n n b b n n *
--=∈N {}n b
A ．11.5
B ．12.5
C ．13.5
D ．14.5 【答案】C
【详解】由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为，公差为， 则，，两式相减得，解得， 所以，解得，故选：C 5．（多选题）给出下列命题,正确命题的是（ ） A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； B.数列是公差为的等差数列；
C.等差数列的通项公式一定能写成的形式(k ，b 为常数)；
D.数列是等差数列.
【答案】BCD
【详解】根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为，A 错误；
对于②，由等差数列的定义可知，数列是公差为的等差数列，所以B 正确；
对于③，由等差数列的通项公式，得，令
，则，所以C 正确；对于D ，因为
，所以数列是等差数列
.
1a d 14731.5a a a ++=36925.5a a a ++=66d -=1d =-14713931.5a a a a d ++=+=113.5a =1,23a a a a ---,,1-n a kn b =+{}(
)21n n N *
+∈2-1,23a a a a ---,,1-1(1)n a a n d =+-1()n a dn a d =+-1,k d b a d ==-n a kn b =+12(1)1(21)2n n a a n n +-=++-+={}()21n n N *+∈
6. （多选题）设d 为正项等差数列的公差，若，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】ABC
【详解】由题知，只需，，A 正确；，B 正确； ，C 正确；
，所以，D
错误. 二、填空题
7．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为__________. 【答案】
【详解】由等差数列可设三数依次为，其中为公差.由题意得
，可得，则.
8．在到之间，末位数字是的自然数的个数有______. 【答案】30
【详解】在到之间，末位数字是的自然数有，构成以为首项，为末项，为公差的等差数列，由，可得项数
. 9．在数列中，若，，
，则该数列的通项为__________. 【答案】 {}n a 0d >32a =244a a ⋅<2
24154a a +≥
15
111a a +>1524a a a a ⋅>⋅1220
010
a d d d =->⎧⇒<<⎨
>⎩()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<()()2
2
2
2415
223644
a a d d d d +=-++=-+>≥
21511111122221a a d d d
+=+=>-+-()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<1524a a a a ⋅<⋅164±,,a d a a d -+d 2()()16a d a d a -+=-216d =±4d =50350350350353,63343，，53343
101(1)n a a n d =+-134353
113010
n a a n d --=
+=+={}n a 11a =212a =()
*12
211n n n n N a a a ++=+∈1n a n
=
【详解】∵，∴数列是等差数列， 又
，∴，∴．
10．已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d 的取值范围是 __________. 【答案】 【详解】在等差数列中，因为从第10项起开始大于1，
所以有. 三、解答题
11．首项为，公差为的等差数列满足下列两个条件：
①；
②满足的的最小值是15. 试求公差和首项的值. 【详解】
，
，
由，即， ∵满足的的最小值是15，
， ， 又.
()
*
12
211n n n n N a a a ++=+∈1{}n a 2111211a a -=-=1
1(1)n n n a =+-=1n a n
={}n a 11
25
a =83,7525⎛⎤
⎥⎝
⎦{}n a 910
11a a ≤⎧⎨>⎩118183
+917525a d a d +≤⎧⇒⇒<≤⎨>⎩1a (
)d d N *
∈{}n
a 35793a a a ++=100n a >n d 1a 35793a a a ++=55393,31a a ∴=∴=100n a >55100n a a n d =+
->（）695n d
∴>
+100n a >n 69
14515d ∴≤
+<6923103d ∴<≤15,7,43d N d a a d *
∈∴=∴=-=
12．设数列{a n }满足当n ＞1时，a n ＝，且a 1＝.
(1)求证：数列为等差数列； (2)a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．
【详解】(1)证明：根据题意a 1＝及递推关系a n ≠0.因为a n ＝.取倒数得＋4，
即＝4(n ＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列． (2)解：由(1)，得
＝5＋4(n －1)＝4n ＋1，. 又，解得n ＝11. 所以a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．
《4.2.1 等差数列的概念》教案 （第二课时） 【教材分析】
本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的概念及其性质
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

【教学目标与核心素养】
1114n n a a --+1
5
1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
15
1114n n a a --+111n n a a -=1
11n n a a --1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
1n a 141
n a n =+121111594541
a a n =
⨯==+
【教学重点和难点】
重点：等差数列的性质及其应用难点：等差数列的性质的推导【教学过程】
二、典例解析
分析：该设备使用n年后的价值构成数列
通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能
则当n≤8时a n >0；当n≥9时a n <0.
又a 8＝3，a 9＝－1.故绝对值最小的项为a 9＝－1.]
5．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.
【答案】法一：设这三个数为a ，b ，c(a<b<c)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪
⎧
2b ＝a ＋c a ＋b ＋c ＝18a 2＋b 2＋c 2＝116
，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝4，
b ＝6，
c ＝8.
法二：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ， 由已知得
⎩⎪⎨⎪
⎧
(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18， ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116， ②
由①得a ＝6，代入②得d ＝±2， ∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去， ∴这三个数为4,6,8.
【教学反思】
普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。

他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。

但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

《4.2.1 等差数列的概念》导学案 （第二课时） 【学习目标】1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质. 2.能用等差数列的性质解决一些相关问题. 3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题. 【重点和难点】
重点：等差数列的性质及其应用 难点：等差数列的性质的推导 【知识梳理】 1．等差数列的概念
2(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式是a ＋b ＝2A.
3.等差数列的通项公式；a
n ＝a 1＋(n －1)d ，n ∈N *
； 4.通项公式的应用；
【学习过程】 一、典例解析
例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d 为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d 的范围.
等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程.
跟踪训练1. 孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（）年新建住房的面积开始大于820万平方米？
A.2026
B. 2027
C. 2028
D.2029
例4. 已知等差数列{a n} 的首项a1＝2，d=8,在{a n} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}.
(1)求数列{b n} 的通项公式.
(2) b29是不是数列{a n} 的项？若是，它是{a n} 的第几项？若不是，请说明理由.
对于第（2）小题，你还有其他解法吗？
等差数列的性质
如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入k(k∈N∗)个合适的数，
仍然可以构成一个新的等差数列.
例5. 已知数列{a n}是等差数列，p,q,s,t∈N∗,且p+q=s+t
求证:a p+a q=a s+a t
例5 是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？
【达标检测】
1．在等差数列{a n}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．
3．已知数列{a n}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且a k＝13，则k＝________.
4．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.
5．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.
【课堂小结】
1) 应用等差数列解决生活中实际问题的方法.
2) 等差数列的每相邻两项之间都插入k(k∈N∗)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列.
3) 等差数列{a n}，p,q,s,t∈N∗, 若p+q=s+t，则a p+a q=a s+a t
【参考答案】
知识梳理
学习过程
一、典例解析
例3.分析：该设备使用n年后的价值构成数列{a n}，由题意可知，a n＝a n－1－d (n≥2). 即：a n－a n－1＝－d.所以{a n}为公差为－d的等差数列.10年之内（含10年），该设备的价值不小。