分式与分式的运用

分式的概念及运算
一、知识梳理
知识点1：. 分式：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么
式子A
B
叫做分式。

三个热点：①有意义；②无意义；③值为0
知识点2：1．分式的基本性质：
2．分式的变号法则：
知识点3：分式的运算1．确定最简公分母的方法：
①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；
②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.
二、例题
（一）、分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义
【例题1】、下列代数式中：y x y
x y x y x b
a b a y x x -++-+--1
,,,21,22π，是分式的有：
.
题型二：考查分式的三个热点
【例题2】、当x
有何值时，下列分式①有意义；②无意义；③值为0？
（1）4
2||2--x x
（2）2
32+x x （3）3
||6--x x
【例题3】、若
2||3
23
x x x ---的值为零，则x 的值是．
M
B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=b
a
b a b a b a =--=+--=--
题型三：考查分式的值为正、负的条件
【例题4】、（1）当x
为何值时，分式x
-84为正；
（2）当为何值时，分式为负；
（3）当为何值时，分式
为非负数.
（二）分式的基本性质及有关题型
题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例题5】、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1） （2）
题型二：分数的系数变号
【例题6】、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正
号.
（1）
y
x y
x --+-
（2）b
a a ---
（3）
题型三：化简求值题
【例题7】、已知：，求y xy x y
xy x +++-2232的值.
x 2
)1(35-+-x x x 3
2
+-x x y x y x 4
1
313
2
21+-b
a b
a +-04.003.02.0b
a ---
51
1=+y
x
【例题8】、已知：，求的值.
三）分式的运算
题型一：通分
【例题9、将下列各式分别通分.
（1）；（2）；
（3）；（4）
题型二：约分
【例题10】、约分：
（1）
；（3）；（3）
2
2
44
xy y
x x
-
-+
2
1
=
-
x
x
2
2
1
x
x+
c
b
a
c
a
b
ab
c
2
25
,
3
,
2-
-a
b
b
b
a
a
2
2
,
-
-
2
2
,
2
1
,
1
2
2
2-
-
+
-
-x
x
x
x
x
x
x a
a
-
+
2
1
,2 3
2
20
16
xy
y
x
-
n
m
m
n
-
-2
2
题型三：分式的混合运算化简求值题
【例题11】、计算：化简22424422x x x
x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪
-++-⎝⎭，其结果是（ ） A ．82x --
B ．
8
2
x - C ． D ．
题型四：【例题12】、先化简，再求值
4
421642++
-÷-x x x x ，其中 x = 3 ．
题型五：求待定字母的值
【例5】若1
1
1
312
-++=--x N x M x x ，试求
N
M ,的值.
三、课堂练习
1.要使分式有意义，则x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠
B ．1x ≠-
C ．0x ≠
D ．1x >
2.若分式
3
3
x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．3± D ．0
3.化简22
2a b a ab -+的结果为（ ）
A ．b a -
B ．a b a -
C ．a b a +
D ．
8
2
x -
+82
x +1
1x +b -
4.化简的结果是（ ） A ． B ． C ．2a b - D ．
2b a
+
5.计算2
2()ab a b
-的结果是（ ）
A ．a
B ．b
C ．1
D ．－b
6.学完分式运算后，老师出了一道题“化简：2
3224x x
x x +-++-”
小明的做法是：原式；小亮的做法是：原式；
小芳的做法是：原式． 其中正确的是（ ）
A ．小明
B ．小亮
C ．小芳
D ．没有正确的
7．化简的结果是（ ） A ．2a b -- B ．2b a - C ．2a b - D ．2b a +
二、填空题
1．当时，分式无意义．
2. a 、b 为实数，且ab =1，设P =
，Q =，则PQ （填“＞”、“＜”或“＝”）．
3．某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树a 棵。

实际每小时植树的棵数是原计划的1．2倍，那么实际比原计划提前了小时完成任务(用含a 的代数式表示)．
4.化简：＝_______ 22
422b a a b b a
+--2a b --2b a -22222
2(3)(2)2628
4444
x x x x x x x x x x x +--+----=-==----22
(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-323131
12(2)(2)222
x x x x x x x x x x +-++-=
-=-==++-+++22
422b a a b b a
+--x =1
2
x -11a b a b +++1111
a b +++22
22
1369x y x y x y x xy y +--÷--+
5.设，，则的值等于．
6．若分式的值为0，则的值等于．
三、解答题
1.计算：
2.先化简
中选取一个你认为合适．．的数作为x 的值代入求值．
3．先化简，再求值：，其中x ＝2－2．
0a b >>2260a b ab +-=a b
b a
+-222
21
x x x x --++x 2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭
211(
)1122
x x x x -÷-+-1-22424412
x x x
x x x x -+÷--++-
分式的运算练习
一、选择题 1. 化简
m
m -+-21
442
的结果是 ( ) A ．21+-
m B ．21
+m C ．4
62-+m m D ．21+-m 2. 计算
⎪⎭⎫
⎝
⎛-÷-a a a a 11的正确结果是 ( ) A ．
11+a B ． 1 C ． 1
1-a D ． －1 3. 计算
2
2
x
x -÷（1－x 2），所得正确结果是 ( ) A ．x B ．－x 1 C ．x 1 D ．－x
x 2
-
4. 计算：1
23
41311222+-++÷-+-+x x x x x x x 的结果是 ( ) A ．
()2
12
+x B ． ()2
12
+-
x C ．
()2
12+-x x
D ． 0
5. 下列运算中，正确的是 ( ) A ．2510a a a =÷ B ．7
4
3)(a a = C ．2
2
2
)(y x y x -=- D ．6
3312)3(4a
a a -=-⋅
6. 甲、乙承包一项工程，合作b 天能完成，甲单独做需a 天完成，则乙单独完成这项工程 所需天数是 ( )
A ．a －b
B ．
b a -1 C ． b a ab - D ．a
b 11- 7. 化简分式)4)(4(y
x xy
y x y x xy y x +-+-+
-的结果是 ( ) A ．2
2x y - B ．2
2
4y x - C ．2
2
y x - D ．2
2
4y x - 8. 若ab =1，则
2
2
1111b
a
++
+的值为 ( )
A ．－1
B ． 1
C ． 2
1
D ．2 二、填空题
9. 某种感冒病毒的直径是0.00000012米，用科学记数法表示为_____________ 米． 10.
x
x x 1
1-+＝____________． 11. 化简：
)9(32
2
-⋅-x x
x x ＝__________． 12. 计算：=⎪⎭⎫
⎝⎛-÷2
32214xy y x _____________．
13. 化简（a b －b 2
）÷b
a b a +-2
2的结果是_________．
14. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a 天用水m 吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用 3天，现在比原来每天节约用水_____________吨． 三、解答题 15. m m -+-32
9122
16. 2222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+
17.34422+--a a a ·2
332++-a a a 18. 2
22
24421b ab a b a b a b a ++-÷+--
19. x x x x x x -÷+--24)22( 20. 2222222222xy
y x y xy x xy y x y xy x -+--+++
21. )252(423--+÷--m m m m 22.（－y x 2）2·（－x y 2）3
÷（－x
y ）4
23. 112---x x x
24. 4
3222)()()(a b a b b a -÷-⋅
25.x x x x x x x --+⋅+÷+--36)3(446222
26.
)2(121y x x y
x y x x --++-
27.
1
211112+-+--x x x 28．已知a 2 -4a+9b 2
+6b+5=0，求−的值．
四．巩固训练（作业）
分式运算练习 一、填空题
1．计算：
．
2．计算：
． 3．计算：． 4．计算：
．
5．计算：________________)1x (11x 11x 12=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-++-．
6．若01x 4x 2=++则______________x
1
x 22=+
． 7．若x ＋y ＝－1，则
_______________xy 2y x 2
2=++． 8．________________b
a a
b a 2
=+-
-． 二、选择题
9．3x =时，代数式x
1x 21x x 1x x
-÷
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--的值是( ) A ．
2
1
3- B ． C ． D ．
10．化简的结果是( ) A ． B ． C ． D ．
11．下面的计算中，正确的是( ) A ．
B ．
C ．
__________x
2y y y x 2x 2=-+-____________1a 1
a a 2
=---______________1
x 1
x 2x x 11122=-+----
______________a 6a 53
2a 3a 32
2=---+-231-233-233+2
2
22a ab b ab ab b a ----a b b a 22+-b a b a -ab
b 2a 2
2+21
x x
1x 11x =-----2244222322a b b a b a b a b a b a =÷=⋅÷1b
a a
b b a b a b a m m
m m m m m 3m 3m 2m 2=⋅=⋅÷
D ． 12．化简分式的结果是( ) A ．10 B ． C ． D ． 13．计算的结果是( ) A ．1 B ．x ＋1 C ． D ． 三、解答题
14．化简：．
15．化简：．
16．已知，求的值．
17．先化简代数式，然后请你自取一组a 、b 的
值代入求值(所取a 、b 的值要保证原代数式有意义)．
0)1x (x )1x (x )x 1(x )1x (x 6
666=---=-+-ab
b a a b b a 2
2+--b a 2-a b 2-a
b 2⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1x 111x 112x 1x +1
x 1-4
x 24x 216x 42--++-x 1x 3x 2x 1x x 3x 1x 2222+÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----+23y 32x -=+=，y x y x )y x (2
24
4++÷-)n m ()n m (mn 2n m n m n m n m 22222-+÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+---+
18．观察下列关系式：，，，…
请你观察上列各式并归纳出一般结论．
19．已知实数x 、y 满足，求代数式的值．
20．已知，求．
212111+=613121+=1214131+=0
4y 2x 32|1y x 2|=+-++-222
2y 4xy 4x y x y 2x y x 1+--÷---122y 22x -=-=，2y xy 2x y x y x y x 222
2
-++-++-
第三讲：分式方程应用
一．知识梳理 1．分式方程:分母中含有的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：解分式方程的关键是（即方程两边都乘以最简公分母）,将
分式方程转化为整式方程；
3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条
件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

验根的方法是将所求的根代人或，若的值为零或的值为零，则该根就是增根。

4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要
稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。

6. 分式方程的解法有和。

二．例题
【例题1】解分式方程： 解：方程两边同乘，得
∴
检验：将代入
∴为原方程的增根.
【例题2】有一道题：
“先化简，再求值： 其中，x=—3”． 小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
11322x x x
-=---2x -()()
11321136x x x x =----=-+-+24x =2x =2x =2220x -=-=2x =22241()244
x x x x x -+÷+--
解：原式计算的结果等于，
所以不论x 的值是+3还是—3结果都为13
【例题3】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．
解：设前一小时的速度为xkm/小时，则一小时后的速度为1.5xkm/小时，
由题意得：， 解这个方程为，经检验，x=182是所列方程的根，即前前一小时的速度为182．
【例题4】．某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m³，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格． 解：设该市去年居民用气的价格为x 元/ m³，则今年的价格为(1+25%)x 元/ m³．
根据题意，得 ．解这个方程，得x ＝2.4． 经检验，x ＝2.4是所列方程的根． 2.4×(1+25%)＝3 (元)．
所以，该市今年居民用气的价格为3元/ m³．
三．课堂练习
一、选择题
1.若分式有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠1 B ．x>1 C ． x=1 D ．x<1
2．若的值为零，则的值是（ ） （A ）．B.1．C.．D.不存在．
24x +1801802(1)1.53
x x x ---=182x =10%)251(9096=+-x
x 21
x -2123
x x x -+-x 1±1-
3. 若
的值等于( ) A
B
C
D
或 4. 如果－3
＜n ＜－2，则︱n ＋2︱n ＋2－︱n ＋3︱3＋n ＋n ︱n ︱
的值是（ ） A. －3 B. 3
C. －1
D. 1
二、填空题（每题3分，共24分） 5.化简：． 6.已知a.b 为实数，且ab ＝1，a ≠1，设M ＝a a ＋1＋b b ＋1，N ＝1a ＋1＋1b ＋1，则M －N 的值等于________．
7.已知当x=2时分式x+a 2x-b
的值为0；当x=1时．分式无意义．则a-b=． 8.已知x 2－5x －2009＝0，则代数式（x －2）2－（x －1）2＋1x －2
的值为. 9.若分式的值是正整数，则整数的值是。

10、解方程（5）
（1） （2）
三、解答题（共60分）
11.先化简，再求值：，其中．
2
20x x --=2222444m mn n m n
-+-=31
x -x 12152-=+x x 1
713722
22--+=--+x x x x x x 212)14(-÷-+-
a a a a a 3
1=a
12.求代数式的值：，其中．
13. 如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是-4，
，且点A.B 到原点的距离相等，求x 的值
14.已知a 2＋2a －1＝0，求（a －2a 2＋2a －a －1a 2＋4a ＋4）÷a －4a ＋2
的值． 15.福兴商场文具专柜以每枝a （a 为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每枝加价2元销售．由于这种品牌的钢笔价格优、质量好、外观美，很快就销售一空．结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为399a ＋805（元）．你能根据上面的信息求出文具专柜共购进多少枝钢笔及每枝钢笔的进价a 是多少元吗？
四．巩固训练（作业）
一、选择题。

1．解关于x 的方程
113-=--x m x x 时产生增根，则m 的值等于（） A ．－2 B ．－1
C ．1
D ．2 2．关于x 的方程
11=+a x 的解是负数，则a 的取值范围是（ ） A.a ＜1 B.a ＜1且a ≠0
22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝
⎭
2x =2235
x x +
-
C.a ≤1
D.a ≤1或a ≠0
3．甲、乙两名工人加工某种零件，已知甲每天比乙多加工5个零件，甲加工80个零件和乙加工70个零件所用的天数相同．设甲每天加工x 个零件，则根据题意列出方程是（ ）
A 、
57080+=x x B 、x x 70580=- C 、x x 70580=+ D 、5
7080-=x x 4．分式方程321+=x x 的解是（ ） A ．x ＝－2 B ．x ＝1 C ．x ＝2
D ．x ＝3 5．分式方程
131x x x x +=--的解为（）． A ．1x =
B ．1x =-
C ．无解
D ．3x =- 6．分式方程312x x 1
=-的解为（ ） A.x=1 B. x=2 C. x=4 D.x=3
7．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用 A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个，设B 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为( )
A ．121510801080+-=x x
B ．121510801080--=x x
C ．121510801080-+=x x
D ．1215
10801080++=x x 8．把分式方程12121=----x
x x 去分母，得（） A 、1-（1-x ）=1 B 、1+（1-x ）=1 C 、1-（1-x ）= x -2 D 、1+（1-x ）= x -2
9．若关于x 的方程3
233-=-k x 有正数解，则k 的取值为（ ） A 、k ＞1 B 、k ＞3 C 、k ≠3 D 、k ＞1且k ≠3
10．分式方程的解是（ ） Ａ．2 Ｂ．1 Ｃ．－1 Ｄ．－2
二、填空题。

11．已知关于x 的分式方程11
2=++x a 的解是非正数，则a 的取值范围是 ________________。

12．小明上周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶，若设他上周三买了x 袋牛奶，则根据题意列得方程为__________。

33122x x x
-+=--
13．分式方程2x 13x 11x
+=--的解是 ． 14．星期天小川和他爸爸到公园散步，小川身高是160cm ，在阳光下他的影长为80cm ，爸爸身高180cm ，则此时爸爸的影长为___________cm.
15．分式方程2+1
x x ＝1的解为. 16．某公司承担了制作10000件文化衫的任务，原计划x 天完成，实际平均每天多做了100个，因此提前5天完成任务.原计划天数是______________.
17．若关于x 的分式方程2
33
x m m x x -=--无解，则m 的值为． 18．杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x 千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为 ．
19．已知关于x 的方程
2x m 3x 2+=-的解是正数，则m 的取值范围是 。

三、解答题。

20.解下列分式方程
（1）
2231022x x x x
-=+- （2）2114232349x x x x -=+--
21．为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？
23．某饰品店店老板去批发市场购买新款手链，第一次购手链共用100元，按该手链的定价
2.8元现售，并很快售完．由于该手链深得年轻人喜爱十分畅销，第二次去购手链时，每条的批发价已比第一次高0.5元，共用去了150元，所购数量比第一次多10条．当这批手链售出54
时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的手链，试问该老板第二次售手链是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？，若赚钱，赚多少？
24．甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
（1）甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为▲元；
（2）乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？
（3）在（1）、（2）小题的条件下，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整． 甲商场：第一次提价的百分率是a ，第二次提价的百分率是b ； 乙商场：两次提价的百分率都是2
b a +(),0,0b a b a ≠>>． 请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．。