第1部分 第二章 2.2 2.2.1 对数与对数运算

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2．loga1＝0，logaa＝1(a>0，且a≠1)在计算对 数值时经常用到．
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3．设 a>0，a≠1，x>y>0，n∈N*，给出下列各式： (1)(logax)n＝nlogax；(2)(logax)n＝logaxn； (3)logax＝－loga1x；(4)n logax＝n1logax； (5)longax＝logan x.
4356＝lg（lg91×9825）＝2llgg
9＋lg 5 18－lg 9
＝alg 2lg
18＋blg 18－alg
1188＝a2＋－ba.
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8．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0的两 根是α，β，求αβ的值．
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解：方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0 可以 看成关于 lg x 的二次方程．
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解：(1)24＝16； (2)( 3)6＝x； (3)x－6＝64； (4)log319＝－2； (5)logπ8＝x.
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[例 2] 计算下列各式的值： (1)lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18； (2)12lg3429－43lg 8＋lg 245； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 利用积、商、幂的对数的运算性质求解．
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[精解详析] (1)∵53＝125，∴log5125＝3. (2)∵(14)－2＝16，∴log1416＝－2. (3)∵log128＝－3，∴(12)－3＝8. (4)∵log3217＝－3，∴3－3＝217.
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[一点通] 1．在利用ax＝N⇔x＝logaN（a＞0且a≠1）进 行互化时，关键是弄清各个字母所在的位置． 2．对数式与指数式的关系如图：
2．应用对数的运算性质应注意的问题 (1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
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(3)在运算过程中避免出现以下错误：
loga(MN)＝logaM·logaN， logaMN ＝llooggaaMN ， logaNn＝(logaN)n， logaM±logaN＝loga(M±N)．
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问题1：若2x＝8，(13)x＝27，x的值分别为多少？ 提示：3 －3 问题2：若2x＝0，(13)x＝－1，这样的x存在吗？ 提示：不存在． 问题3：若2x＝3，(13)x＝4，如何求指数x? 提示：利用对数求解．
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1．对数的运算性质
若 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝ logaM＋logaN ， (2)logaMN＝ logaM－logaN ， (3)logaMn＝ nlogaM (n∈R)．
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2．换底公式 若c>0且c≠1，则logab＝ llooggccba(a>0，且 a≠1，b>0) ．
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3．对数的运算性质概括为：积的对数等于对 数的和；商的对数等于对数的差，幂的对数等于 幂的指数乘以幂底数的对数．
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[例 1] 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)(14)－2＝16； (3)log18＝－3；
2
(4)log3217＝－3. [思路点拨] 依据 ax＝N⇔x＝logaN(a>0 且 a≠1)进行转化．
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[例 3] 计算下列各式的值： (1)(log43＋log83)log32； (2)log 22＋log279. [思路点拨] 先用换底公式化为同底的对数，再运 用运算性质运算．
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[精解详析] (1)原式＝(log134＋log138)log32 ＝(2lo1g32＋3lo1g32)log32＝12＋13＝56. (2)原式＝lloogg222212＋lloogg333323＝112＋23＝2＋23＝83.
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[精解详析] (1)法一：lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 法二：lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg(73)2＋lg 7－lg 18＝lg（731）4×2×7 18 ＝lg 1＝0.
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其中，正确的有
()
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解析：由对数运算性质知(3)(5)正确．
答案：A
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4．计算下列各式的值： (1)log535－2log573＋log57－log51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋ （lg 2）2－lg 2＋1； (3)lg25＋lg 2＋lg 2·lg 5.
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法二：∵18b＝5，∴log185＝b. 于是 log3645＝log1l8o（g1981×9825）＝2lloogg118819＋8－lolgo1g81589＝a2＋－ba.
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法三：∵log189＝a，18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18.
∴log3645＝llgg
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解：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55 ＝2log55＝2.
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(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋ （lg 2－1）2 ＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. (3)原式＝lg 2＋lg 5·(lg 5＋lg 2)＝lg 2＋lg 5＝1.
问题1：我们知道am＋n＝am·an，那么loga （ M·N ） ＝logaM·logaN正确吗？举例说明．
提示：不正确，例如log24＝log22×2＝ log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2.
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问题2：你能推出loga （M·N ）(M>0，N>0)的表达式吗？ 提示：能． 令am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n. 由对数的定义知 logaM＝m，logaN＝n，logaMN＝m＋n， ∴logaMN＝logaM＋logaN.
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1．根据对数的定义，对数logaN就是方程ax＝N的 解的一个记号．因此，alogaN＝N，此式称为对数恒 等式(其中a>0，且a≠1，N>0)．
2．在应用对数的运算性质时应注意保证每个对 数式都有意义，应避免出现类似log2(－7)2＝2log2(－7) 的错误．同时注意对数性质在解题中的逆用．
2×7 7×4
5
＝lg( 2· 5)＝lg 10＝12. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
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[一点通] 1．对于底数相同的对数式的化简或求值，常用的方法是 (1)“收”，将同底的对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)． 对数的化简或求值一般是正用或逆用公式，对真数进行 处理.选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便 于真数化简的原则进行．
则 x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k. 由 2x＝py，得 2log3k＝plog4k＝p·lloogg33k4. ∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(6 分)
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(2)1z－1x＝log16k－log13k＝logk6－logk3＝logk2
＝12logk4＝21y，
∴1z－1x＝21y.
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2．对数与指数的关系 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔ x＝logaN ．前 者叫指数式，后者叫对数式．
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3．对数的性质
性质1
负数 和零 没有对数
性质2 1的对数是 0 ，即loga1＝ 0 (a>0，且a≠1) 性质3 底数的对数是 1 ，即logaa＝ 1 (a>0，且a≠1)
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(12 分)
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[一点通] 对数式的证明和对数式的化简的基本 思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式 对对数式化简．
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7．已知log189＝a，18b＝5.求log3645. 解：法一：∵18b＝5，∴log185＝b. 于是 log3645＝lloogg11883465＝lloogg1188（（198××52）） ＝log11＋89＋loglo18g2185＝1＋al＋ogb18198＝a2＋－ba.
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1．下列指数式与对数式互化不．正确的一组是( ) A．e0＝1 与 ln 1＝0 B．8－13＝12与 log812＝－13
1
C．log39＝2 与 92＝3 D．log77＝1 与 71＝7
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解析：C不正确，因为log39＝2⇔32＝9. 答案：C
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2．将下列指数式化成对数式，将对数式化为指数式． (1)log216＝4；(2)log 3x＝6；(3)logx64＝－6； (4)3－2＝19；(5)πx＝8.
∵α，β 是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成
关于 lg x 的二次方程的两根．
由根与系数的关系，得 lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)
＝－lg 35＝lg315，
∴lg(αβ)＝lg α＋lg β＝lg315，即 αβ＝315.
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1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化. 该公式既可正用，又可逆用.使用时，关键是选择底数. 换底的目的是利用对数的运算性质对对数式进行化简．
＝－12log32·3log23＝－32.
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[例 4] (12 分)已知 x，y，z 为正数，3x＝4y＝6z，2x＝py. (1)求 p； (2)求证1z－1x＝21y. [思路点拨] 先求出 x，y，z 的表达式，即将已知指数式 化为对数式，然后求解和证明．
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[精解详析] (1)设 3x＝4y＝6z＝k(显然 k>0，且 k≠1)，
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[一点通] 利用对数的换底公式能够将不同 底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数， 即可用对数的运算性质来解决对数求值问题，同 时要注意换底公式的逆用．
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5.lloogg8293的值是
A.23
B.32
()
C．1
D．2
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解析：法一：利用换底公式将分子、分母转化为常用对数， lg 9
即lloogg8293＝llgg 83＝23llgg 32·llgg 23＝23. lg 2
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(2)法一：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12.
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法二：原式＝lg472－lg 4＋lg 7
5＝lg4
法二：利用换底公式将分子转化为以 2 为底的对数， log29
即lloogg8293＝lloogg2283＝23lloogg2233＝23.
答案：A
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6．计算 log5 2·log79的值． log513·log73 4
解：原式＝lologg55132·lologg73794
＝lwenku.baidu.comg1 3
2·log3 49＝－12log32·32log29
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1．对数的概念 (1)定义： 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数 x叫做以 a为 底 N 的对数，记作 x＝logaN ．其中， a 叫做对数 的底数， N 叫做真数．
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(2)常用对数与自然对数： 通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把 log10N记作 lg N ；以无理数e＝2.718 28…为底数的对 数称为自然对数，并且把logeN记为 ln N ．