小升初专项训练-找规律篇

测试卷6〔找规律篇〕
时间：15分钟总分值5分 _________ 测试成绩_________
1
如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，则分组的情况是什么？
2
观察1+3=4；4+5=9；9+7=16；16+9=25；25+11=36这五道算式，找出规律，
然后填写20012＋〔〕＝20022
3一串分数：12123412345612812 ,,,,,,,,,,,,.....,,,......,
33,55557777779991111
其中的第2000个分数是.
4
在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少" 2......7......5......8 (3)
5
请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的*些数字组成的无穷长的一串数当中，都有*两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。

为了到达这些目的。

(1)请你说明：11这个数必须选出来；
(2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个；
(3)你能选出55个数满足要求吗？
【附答案】
1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、143。

2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……，所以下
面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。

3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8…88=1980<2000，
这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。

4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，……
它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3。

它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。

5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9*个单一的数比方111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。

(2)，比方这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必须选出一个来。

(3)，同37的例子，
01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个
12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。

23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。

………
89和98必选其一，选出1个。

如果我们只选两个中的小数这样将会选出9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个。

再加上11~99这9个数就是54个。

小升初专项训练找规律篇
1 与周期相关的找规律问题 【例1】、〔**〕
7n 化小数后，小数点后假设干位数字和为1992，求n 为多少？ 【解】7
n 化小数后，循环数字和都为27，这样1992÷27=73…21,所以n=6。

【例2】、〔**〕有一数列1、2、4、7、11、16、22、29……则这个数列中第2006个数除以5的余数为多少？
【解】数列除以5的余数为1、2、4、2、1、1、2、4、2、1…这样就使5个数一周期，所以2003÷5=400…3，所以余4。

【例3】、〔***〕*人连续打工24天，赚得190元(日工资10元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无工资).他打工是从1月下旬的*一天开场的，这个月的1号恰好是星期日. 问：这人打工完毕的那一天是2月几日"
【来源】 第五届"华杯赛〞初赛第16题
【解】因为3×7<24<4×7，所以24天中星期六和星期日的个数，都只能是3或4.又，190是10的整数倍。

所以24天中的星期六的天数是偶数.再由240-190=50(元)，便可知道，这24天中恰有4个星期六、3个星期日.星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这人打工完毕的那一天必定是星期六.由此逆推回去，便可知道开场的那一天是星期四.因为1月1日是星期日，所以1月22日也是星期日，从而1月下旬唯一的一个星期四是1月26日.从1月26日往后算，可知第24天是2月18日，这就是打工完毕的日子. 2 图表中的找规律问题
【例4】、〔**〕图中，任意_--个连续的小圆圈三个数的连乘积郡是891，则
【来源】第十届<小数报>数学竞赛初赛填空题第5题
【解】根据"任意三个连续的小圆圈三个数的连乘积都是891”，2
个小圆圈的小圆圈中的数是一样的.于是，B=891÷(9×9)=11.
【例5】〔***〕自然数如下表的规则排列：求：〔1〕上起第10行，左起第13列的数；
〔2〕数127应排在上起第几行，左起第几列？
【解】：此题考察学生"观察—归纳—猜测〞的能力．此表排列特点：①第一列的每一个数都是完全平方数，
并且恰好等于所在行数的平方；②第一行第n 个数是〔n-1〕2+1，②第n 行中，以第一个数至第n 个数依次
递减1；④从第2列起该列中从第一个数至第n 个数依次递增1．
由此〔1〕〔〔13-1〕2+1〕+9=154；〔2〕127=112+6=〔〔12-1〕2
+1〕+5，即左起12列，上起第6行位置． 3 较复杂的数列找规律 【例6】、〔***〕设1，3，9，27，81，243是6个给定的数。

从这六个数中每次或者取1个，或者取几个不同的数求和〔每一个数只能取1次〕，可以得到一个新数，这样共得到63个新数。

把它们从小到大一次排列起来是1，3，4，9，10，12，…，第60个数是______。

【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第15题
【解】最大的〔即第63个数〕是
1+3+9+27+81+243=364
第60个数〔倒数第4个数〕是
364－1－3＝360。

【例7】、〔***〕在两位数10，11，…，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加-个小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少"
【来源】 第五届"华杯赛〞初赛第15题
【解】原来的总和是10+11+…+98+99=290
)9910(⨯+=4905，被7除余2的两位数是
7×2+2=16，7×3+2=23，…，7×13十2=93.
共12个数.这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的101，因此这-手续使总和减少了
(16+23+…+93)×(1-101)=212
)9316(⨯+×109=588.6
所以，经过改变之后，所有数的和是4905—588.6=4316.4.
【例8】、〔***〕小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后，经过1分钟有-半破了，
经过2分钟还有201没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了·小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时
候，没有破的肥皂泡共有个.
【来源】 1990年小学数学奥林匹克决赛第8题
【解】小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，第17次之前(包括第17次)吹出的肥皂泡全破了.
此时没有破的肥皂泡共有 100+100×201+100×21
=155(个).
4 与斐波那契数列相关的找规律
【引言】
对兔子每个月可以生一对小兔子，现象，则，一对兔子一年能繁殖成多少对？
二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。

月月如此。

第1个月到第6个月兔子的对数是：
1，2，3，5，8，13。

我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。

假设继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

显然，第12个数就是一年兔子的总对数。

所以一年1对兔子能繁殖成233对。

在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。

人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项"1”后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做"斐波那契数列〞，这个数列的任意一项都叫做"斐波那契数〞。

【例9】〔**〕数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。

再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。

则，第1年它只有主干，第2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝〔假设没有任何死亡〕？
【解】 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584绝对是一棵大树。

【例10】〔**〕有一堆火柴共 10根，如果规定每次取 1～3根，则取完这堆火柴共有多少种不同取法？
【解】此题要注重思路，因为没方法直接考虑，这样我们发现这题同样用找规律的方法，我们可以先看只有1根的情况开场：
1根，有：1种；
2根，有1、1，2，共两种；
3根，可以有：1、1、1，1、2，2、1，3，共4种；
4根，有：1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共7=4+2+1种；
5根，有：1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共13=7+4+2种；
6根，得到24=13+7+4种；
即：n根，所有的取法种数是它的前三种取法的和。

由此得到，10根为274种。

[拓展]爬楼梯问题。

【例11】〔***〕对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加，如此进展直到得数为1操作停顿。

问经过9次操作变为1的数有多少个？
【来源】仁华考题
【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其次我们还得利用找规律来归纳出计算方法。

在复杂的或者步子比拟多的计数中，找规律是一种非常常用的方法。

归纳总结上述规律，从第三项起，每一项都是前两项之和。

5有趣的猫捉耗子规律
注：有一个很知名的游戏，猫捉耗子的游戏，一只猫让一群老鼠围成一圈报数，每次报单数的吃掉，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？因此我们称之为猫捉耗子的问题。

【例12】、〔***〕50只耗子排成一排，1到50报号，奇数号的出列，剩下的偶数号再报号，再奇数列出列…一直这样，问最后一只剩下的是原来的几号？
【解】第一次剩下的是：2、4、6、8、10、12……50都是2的倍数；
第二次剩下的是：4、8、12、16……48都是4=22的倍数；
第三次剩下的是：8、16、24……都是8=23的倍数，……这样每次剩下的都是2n的倍数，现在要剩下一只，这样就是看1～50中2n的最大数就是32号。

【拓展】123自然数列一直写到100，然后按数码编号，擦去奇数号，留下的数再编号，再擦去奇数号……这样请问最后留下的3个数字是＿＿＿。

【解】360
【例13】、〔***〕50枚棋子围成圆圈，编上1、2、3、4、……、50，每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留下的一枚棋子的是42号，则该从几号棋子开场取呢？
【来源】03年圆明杯数学竞赛试题
【解】：方法一：通过归纳我们知道，如果开场有A人，A＝2k+m(k是保证m为自然数的最大值)。

则从1号开场取，每个1个取1个，则最后剩下的为2m号。

现在有50枚棋子，如果从1号开场取，有50＝25+18，所以最后剩下的为18×2＝36号。

现在剩下的是42号，所以开场取的为1+(42－36)＝7号。

方法二：找出规律，假设开场从2号开场取，则假设有2枚、4枚、8枚、16枚、32枚…则最后剩下的均为1号。

比方如果9枚，取掉1号后即剩下8枚剩下的将是8枚的首位，即3号，
而50枚先取50－32＝18枚后，剩32枚，取走了2、4、6、8、…、36，则37为剩下的32枚重排列后的1号，38为2号。

故最后剩下的为37号，即假设开场取2号，剩下37号，现剩下的为42号，故开场从7号开场取的。

【例14】、〔***〕把1～1993这1993个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图12—1，从1开场沿顺时针方向，保存1，擦去2；保存3，擦去4；……〔每隔一个数，擦去一个数〕，转圈擦下去。

求最后剩的是哪个数？
【解】分析：如果依照题意进展操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难。

我们先从简单情况研究，归纳出解决问题的规律，再应用规律解题。

如果是2个数1、2，最后剩下1；如果是3个数1、2、3，最后剩3；如果是4个数1、2、3、4，最后剩1；如果是5个数1、2、3、4、5，最后剩的是3；如果是6个数1、2、3、4、5、6，最后剩的是5；如果是7个数1、2、3、4、5、6、7，最后剩的是7；如果是8个数1～8，最后剩的是1。

我们发现当数的个数是2，4，8时，最后剩的都是1〔操作的起始数〕。

这是为什么呢？以8个数为例，数一圈，擦掉2，4，6，8，就相当于从1开场，还有4个数的情况，4个数时，从1开场，数一圈，又擦掉2个，还剩从1开场的两个数，擦掉1以外的数，最后剩1。

这样，数的个数是16，32，64，……，2n时，最后剩的都是起始数1。

当数的个数是3时，擦去2，就剩2个数，最后应剩下一步的起始数3；数的个数是5时，擦去2，剩4个数，最后也应剩下一步的起始数3。

根据以上规律，如果有18个数，擦去2、4，剩下16个数，再擦下去，最后还应剩下一步的起始数5。

就是说，擦去假设干个数后，当剩的数的个数是2n时，下一步起始数就是最后剩下的数。

解：因为1024=210，2048=211，
2110＜1993＜211，
1993-1024=969，
就是说，要剩210个数，需要擦去969个数，按题意，每两个数擦去一个数，当擦第969个数时，最后擦的是：969×2=1938下一个起始数是1939，则最后剩的就应该是1939。

练习按照例1的操作规则
〔1〕如果是1～900这900个自然数，最后剩的是哪个数？
〔2〕如果是1～1949这1949个自然数，最后剩的是哪个数？
说明：这道例题的解题思路是：
特殊→一般→特殊
〔简单情况〕〔一般规律〕〔较复杂情况〕
一般规律：
把1～n这n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开场，顺时针方向，隔过1，擦去2，隔过3，擦去4，……〔每隔一个数，擦去一个数〕。

最后剩下的数*是哪个数？
解：设2k≤n≤2k+1，k是自然数。

*=〔n-2k〕×2+1
【拓展】：如果还是上面例题，但改为保存1，擦去2；保存3，擦去4；……〔每隔一个数，擦去一个数〕，转圈擦下去。

求最后剩的是哪个数？
【解】剩下的规律是剩下2n时，都是最后一号留下，所以答案是1938。

【例15】、〔***〕100个小朋友围成一圈，并依次标号为1至100号。

从第1号开场1至2报数，但凡报到1的小朋友退出圈子，这样循环进展到剩下一个小朋友为止。

问这个小朋友是多少号？
【解】与上题不同１００＝２6
＋３６３６×２＝７２
小结
本讲主要接触到以下几种典型题型：
1〕与周期相关的找规律问题参见例1，2，3
2〕图表中的找规律问题参见例4，5
3〕较复杂的数列找规律参见例6，7，8
4〕与斐波那契数列相关的找规律参见例，9，10，11
5〕有趣的猫捉耗子规律参见例12，13，14，15
【课外知识】
珍妮是个总爱低着头的小女孩，她一直觉得自己长得不够漂亮。

有一天，她到饰物店去买了只绿色蝴蝶结，店主不断赞美她戴上蝴蝶结挺漂亮，珍妮虽不信，但是挺快乐，不由昂起了头，急于让大家看看，出门与人撞了一下都没在意。

珍妮走进教室，迎面碰上了她的教师，"珍妮，你昂起头来真美！〞教师爱抚地拍拍她的肩说。

那一天，她得到了许多人的赞美。

她想一定是蝴蝶结的功绩，可往镜前一照，头上根本就没有蝴蝶结，一定是出饰物店时与人一碰弄丢了。

自信原本就是一种美丽，而很多人却因为太在意外表而失去很多快乐。

温馨提示：无论是贫穷还是富有，无论是貌假设天仙，还是相貌平平，只要你昂起头来，快乐会使你变得得意——人人都喜欢的那种得意。

作业题
〔注：作业题--例题类型对照表，供参考〕
题1—类型3；题2，3，4—类型5；题5，6，7—类型2，
１、〔*〕一串有规律的数：1，2/3，5/8，13/21，34/55，…。

则，在这串数中，从左往右数，第10个数是________。

【解】找规律，前面分子分母和就是后一个数分子，分母等于分子和前一个分数分母的和，这样第10个数就是4181/6765。

２、〔***〕在一个圆圈上，逆时针标上1、2、3、…、19，从*个数起取走该数，然后沿逆时针方向每隔一个数取走一个数，如果最后剩下数1。

求从哪个数起？【解】先取走15
３. 〔***〕把1～1992为1992个数，按逆时针方向排在一个圆圈上，从1开场逆时针方向，保存1，涂掉2；保存3，涂掉4，……。

〔每隔一个数涂去一个数〕，求最后剩下哪个数？【解】〔1992-1024〕×2+1=1937
４. 〔***〕把1～1987这1987个数，均匀排成一个大圆圈。

从1开场数，隔过1，划掉2，3；隔过4，划掉5，6；……，〔每隔一个数，划掉两个数〕一直划下去，问最后剩下哪个数？【解】
５.〔**〕如下列图，小方和小进展跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳1步或2步；小从C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。

规定：谁跳到目标处的不同跳法最多，谁就获胜。

问获胜方的跳法比另一方多
A C
B D
【解】同例题可知A到B共11格，共144种跳法；C到D共9格，共149种，所以多5种。

6、〔**〕如下列图，从A处穿过房间到达B处，如果要求只能从小房间走向大房间，则共有多少种不同的走法？
【解】到1号房间有1种走法，到2号房间有2种方法，到3号房间有3种方法…所以到8号房间总共有34种房间。

7、〔***〕如数表：
第1行 1 2 3 … 14 15
第2行 30 29 28 … 17 16
第3行 31 32 33 … 44 45
……………………
第n行…………A………………
第n＋1行…………B………………
第n行有一个数A，它的下一行〔第n＋1行〕有一个数B，且A和B在同一竖列。

如果
A+B＝391，则n=_______。

【来源】1995年小学数学奥林匹克初赛A卷第7题、B卷第9题
【解】相邻两行，同一列的两个数的和都等于第一列的两个数的和，而从第1行开场，相邻两行第一列的两个数的和依次是
31，61，91，121，…。

〔*〕
每项比前一项多30，因此391是〔*〕中的第(391—31)÷30＋1＝13个数，即n＝13.。