第一章 计数原理 本章小结 线上课程课件-北师大版高中数学选修2-3
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× □× □ ×□ ×□ ×□ ×□ ×
第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间即图中“”的位置这样
相当于7个“”选4个来排，一共有A74＝840种排法.
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序.
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，
根据分步乘法计数原理，
一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序.
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的
节目安排顺序？
插空法
解 第一步将6个演唱节目排成一行如图中的“ ”，一共有A66＝720(种)排法.
北师大版 高中数学 选修2—3 第一章 计数原理
本章小结
一、
知 识 网 络
两个原理
分类加法计算原理 分步乘法计数原理
排列与组合 简单计数问题
排列 组合
Anm 的意义及计算 Cnm 的意义及计算 组合数的性质
二项式定理
二项式定理 二项展开式的系数
二、 要点归纳
1.两个计数原理
有n类
完
办法
成
一
件 事
第三类：用2种颜色涂，对角区域各涂一色有A42＝4 3＝12(种). 共有24＋48＋12＝84(种).
(2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老 师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车 工修理一台机床，则有多少种选派方法？
分析
钳工 5
2
题型三 二项式定理及其应用
例3 已知 1 2xn展开式中只有第5项的二项式系数最大.
(1)求展开式中含 x2的项；
(2)设1 2xn a0 a1x a2x2 anxn ，求 a1 a2 a3 an 的值.
解 1因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以n 8. Tr1 C8r 2r xr ,r 0,1,2, ,8, 所以当r 2时，T21 C82 22 x2 112x2. 2令x 1,得a0 a1 a2 a3 a8 1,
A, B中有1人当钳工，有C21C53C54 100(种);
A, B中有2人当钳工，有C22C52C44 10(种); 所以共有75＋100＋10＝185(种).
钳工 5
2
车工 4
(2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老 师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车 工修理一台机床，则有多少种选派方法？
三、 例题讲解
题型一 两个计数原理的应用 例1 (1)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公
共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ D ）
A.144种 C.64种
B.72种 D.84种
②①
解析 根据所用颜色的种数分类：
③④
第一类：用4种颜色涂，有A44＝43 21＝24(种). 第二类：用3种颜色涂，必须有一条对角区域涂同色：有C21C41 A32＝48(种).
需要 m
个步骤
N m1 m2 mn
分类加法 计数原理
N m1 m2 mn
分步乘法 计数原理
运用两个基本原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分 步”，分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能 完成整个事件；而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一 种方法只能完成事件的某一部分.
解析 令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5， 令x＝3，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.
四、 课堂小结
（1）本节课我们复习了哪些知识点及公式？ （2）你有哪些收获和困惑？
五、 课后作业
1.2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和 2名护士.分配方法有________种. 2.求以下问题的排列数： （1）4男3女排成一排，3女相邻； （2）4男3女排成一排，3女不能相邻； （3）4男3女排成一排，女不能排在两端； （4）4男3女，男女相间排成一排. 3.（1） (x－2y)6的展开式中，x4y2的系数为________.
3. （1）60 ；
（2）1.
谢谢观看！
当m n时，Ann nn 1n 2 3 2 1. ②Anm n n!m!,其中Ann n!, 0! 1.
(3)组合数公式
Cnm
Anm Amm
nn 1n 2
m!
n m 1 n nm!!m!,规定Cn0 1
组合数性质：Cnm
C nm n
,
Cm n1
C m1 n
Cnm.
3.二项式定理
练习
（1）1
1 x2
பைடு நூலகம்
1
x 6展开式中
x2的系数为（
C
）
A.15
B.20
C.30
D.35
解
1 x6展开式的通项Tr1 C6r xr，所以
1
1 x2
1
x6
的展开式中
x2 的系数为 1 C62 1 C64 30.
(2A).3在项
x
1 3x
2B4的.4展项开式中，x
的幂指数是整数的项共有（
C.5项
D.6项
C
）
解
x
1 3x
24
的展开式的通项为
Tr 1
C2r4
x
24r
1
r
3 x
C x r
12 5 r 6
24
故当 r 0,6,12,18,24 时，幂指数为整数，共5项.
(3) 若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋ a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为___5___.
令x 0,得a0 1, 所以a1 a2 a3 a8 0.
方法小结 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而 可解得所要求的二项式中的有关元素. (2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数 为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项. (3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定 项数，然后代入通项公式求出此项的系数. (4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入. (5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质.
题型二 排列与组合的综合应用
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. 捆绑法 (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ 解 第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，
与6个演唱节目一起排，有A77＝5 040种排法； 第二步再松绑，给4个节目排序，有A44＝24 种 排法.
但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
定序问题用除法
解
若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有
A12 12
种排法；
但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出顺序有
A12 12
A10 10
A122
13（2 种）.
方法小结 解答排列、组合综合问题的思路及注意点 ①解排列组合的综合问题，首先要认真审题，分清是排列还是组合 问题，再注意结合分类与分步两个原理，要按元素的性质确立分类 的标准，按事情的发生过程确定分步的顺序. ②解排列组合综合问题应遵循三大原则：先特殊后一般，先分组后 排序，先分类后分步.
（2）若 2x 3 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 ，则
a0 a2 a4 2 a1 a3 2 的值为________.
六、 课后答案
1. 12.
2. （1） A55 A33 720 ； （2）A44 A53 1440 ； （3）A42 A55 1440 ； （4）A44 A33 144 .
2.排列与组合
(1)定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，若按照一定的顺序 排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列； 若合成一组，则叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.即排 列与顺序有关，组合与顺序无关.
(2)排列数公式
①Anm nn 1n 2 n m 1,规定An0 1
解法二 以车工为主线 A, B中有0人当车工，有C44C74 35(种); A, B中有1人当车工，有C21C43C64 120(种); A, B中有2人当车工，有C22C42C54 30(种); 所以共有35＋120＋30＝185(种).
钳工 5
2
车工 4
方法小结
利用两个计数原理解题，搞清两个原理的含义及区别，解题时， 通过数学逻辑推理，知道是利用哪个原理去解题，关键是分类还是分 步，进而通过正确的数学运算求解.
(1)二项式定理 a b n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 二项式系数 Cnr n 0,1,2, ,n
二项式通项 Tr1 Cnranrbr
Cnra b nr r
Cnnbn ,
(2)二项式系数性质
①Cnm
C nm n
;
②Cnr1
C r1 n
Cnr ;
③Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n.
车工 4
怎样完成事件
选择操作对象
（人物或目标位置）
分类或分步
(2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老 师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车 工修理一台机床，则有多少种选派方法？
解法一 以钳工为主线
设A，B代表2位老师傅.
A, B中有0人当钳工，有C54C64 75(种);
第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间即图中“”的位置这样
相当于7个“”选4个来排，一共有A74＝840种排法.
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序.
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，
根据分步乘法计数原理，
一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序.
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的
节目安排顺序？
插空法
解 第一步将6个演唱节目排成一行如图中的“ ”，一共有A66＝720(种)排法.
北师大版 高中数学 选修2—3 第一章 计数原理
本章小结
一、
知 识 网 络
两个原理
分类加法计算原理 分步乘法计数原理
排列与组合 简单计数问题
排列 组合
Anm 的意义及计算 Cnm 的意义及计算 组合数的性质
二项式定理
二项式定理 二项展开式的系数
二、 要点归纳
1.两个计数原理
有n类
完
办法
成
一
件 事
第三类：用2种颜色涂，对角区域各涂一色有A42＝4 3＝12(种). 共有24＋48＋12＝84(种).
(2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老 师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车 工修理一台机床，则有多少种选派方法？
分析
钳工 5
2
题型三 二项式定理及其应用
例3 已知 1 2xn展开式中只有第5项的二项式系数最大.
(1)求展开式中含 x2的项；
(2)设1 2xn a0 a1x a2x2 anxn ，求 a1 a2 a3 an 的值.
解 1因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以n 8. Tr1 C8r 2r xr ,r 0,1,2, ,8, 所以当r 2时，T21 C82 22 x2 112x2. 2令x 1,得a0 a1 a2 a3 a8 1,
A, B中有1人当钳工，有C21C53C54 100(种);
A, B中有2人当钳工，有C22C52C44 10(种); 所以共有75＋100＋10＝185(种).
钳工 5
2
车工 4
(2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老 师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车 工修理一台机床，则有多少种选派方法？
三、 例题讲解
题型一 两个计数原理的应用 例1 (1)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公
共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ D ）
A.144种 C.64种
B.72种 D.84种
②①
解析 根据所用颜色的种数分类：
③④
第一类：用4种颜色涂，有A44＝43 21＝24(种). 第二类：用3种颜色涂，必须有一条对角区域涂同色：有C21C41 A32＝48(种).
需要 m
个步骤
N m1 m2 mn
分类加法 计数原理
N m1 m2 mn
分步乘法 计数原理
运用两个基本原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分 步”，分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能 完成整个事件；而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一 种方法只能完成事件的某一部分.
解析 令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5， 令x＝3，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.
四、 课堂小结
（1）本节课我们复习了哪些知识点及公式？ （2）你有哪些收获和困惑？
五、 课后作业
1.2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和 2名护士.分配方法有________种. 2.求以下问题的排列数： （1）4男3女排成一排，3女相邻； （2）4男3女排成一排，3女不能相邻； （3）4男3女排成一排，女不能排在两端； （4）4男3女，男女相间排成一排. 3.（1） (x－2y)6的展开式中，x4y2的系数为________.
3. （1）60 ；
（2）1.
谢谢观看！
当m n时，Ann nn 1n 2 3 2 1. ②Anm n n!m!,其中Ann n!, 0! 1.
(3)组合数公式
Cnm
Anm Amm
nn 1n 2
m!
n m 1 n nm!!m!,规定Cn0 1
组合数性质：Cnm
C nm n
,
Cm n1
C m1 n
Cnm.
3.二项式定理
练习
（1）1
1 x2
பைடு நூலகம்
1
x 6展开式中
x2的系数为（
C
）
A.15
B.20
C.30
D.35
解
1 x6展开式的通项Tr1 C6r xr，所以
1
1 x2
1
x6
的展开式中
x2 的系数为 1 C62 1 C64 30.
(2A).3在项
x
1 3x
2B4的.4展项开式中，x
的幂指数是整数的项共有（
C.5项
D.6项
C
）
解
x
1 3x
24
的展开式的通项为
Tr 1
C2r4
x
24r
1
r
3 x
C x r
12 5 r 6
24
故当 r 0,6,12,18,24 时，幂指数为整数，共5项.
(3) 若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋ a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为___5___.
令x 0,得a0 1, 所以a1 a2 a3 a8 0.
方法小结 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而 可解得所要求的二项式中的有关元素. (2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数 为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项. (3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定 项数，然后代入通项公式求出此项的系数. (4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入. (5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质.
题型二 排列与组合的综合应用
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. 捆绑法 (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ 解 第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，
与6个演唱节目一起排，有A77＝5 040种排法； 第二步再松绑，给4个节目排序，有A44＝24 种 排法.
但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
定序问题用除法
解
若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有
A12 12
种排法；
但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出顺序有
A12 12
A10 10
A122
13（2 种）.
方法小结 解答排列、组合综合问题的思路及注意点 ①解排列组合的综合问题，首先要认真审题，分清是排列还是组合 问题，再注意结合分类与分步两个原理，要按元素的性质确立分类 的标准，按事情的发生过程确定分步的顺序. ②解排列组合综合问题应遵循三大原则：先特殊后一般，先分组后 排序，先分类后分步.
（2）若 2x 3 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 ，则
a0 a2 a4 2 a1 a3 2 的值为________.
六、 课后答案
1. 12.
2. （1） A55 A33 720 ； （2）A44 A53 1440 ； （3）A42 A55 1440 ； （4）A44 A33 144 .
2.排列与组合
(1)定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，若按照一定的顺序 排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列； 若合成一组，则叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.即排 列与顺序有关，组合与顺序无关.
(2)排列数公式
①Anm nn 1n 2 n m 1,规定An0 1
解法二 以车工为主线 A, B中有0人当车工，有C44C74 35(种); A, B中有1人当车工，有C21C43C64 120(种); A, B中有2人当车工，有C22C42C54 30(种); 所以共有35＋120＋30＝185(种).
钳工 5
2
车工 4
方法小结
利用两个计数原理解题，搞清两个原理的含义及区别，解题时， 通过数学逻辑推理，知道是利用哪个原理去解题，关键是分类还是分 步，进而通过正确的数学运算求解.
(1)二项式定理 a b n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 二项式系数 Cnr n 0,1,2, ,n
二项式通项 Tr1 Cnranrbr
Cnra b nr r
Cnnbn ,
(2)二项式系数性质
①Cnm
C nm n
;
②Cnr1
C r1 n
Cnr ;
③Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n.
车工 4
怎样完成事件
选择操作对象
（人物或目标位置）
分类或分步
(2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老 师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车 工修理一台机床，则有多少种选派方法？
解法一 以钳工为主线
设A，B代表2位老师傅.
A, B中有0人当钳工，有C54C64 75(种);