河北省五校联盟12—13高三数学上学期调研考试 文

河北省五校联盟2012—2013学年度第一学期调研考试
高三年级数学试卷（文科）
说明：
1． 考试时间120分钟，满分150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢
笔或圆珠笔答在试卷上.。

3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．已知全集为实数R ，集合A ={}
2|10x x -≤，B ={}|1x x <，则)(B C A R I =( ) A. {}|11x x -≤≤ B. {}|11x x -≤< C. φ D. {}|1x x = 2．已知复数11i
z i
+=-（i 为虚数单位）则z = ( ) A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
3．过曲线234
+=-=x y P x x y 处的切线平行于直线上点，点P 的坐标为 ( ) A ．()1,0
B ．()0,1-
C ．()0,1
D ．()1,0-
4．已知()
,13545,5
445sin οο
ο
<<=
+αα则sin α=( ) A.
25
B. 25-
C. 1027
D. 1027-
5．等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，且91a ，32a ，3a 成等比数列. 若1a =3，则4s = ( )
A. 7
B. 8
C. 12
D. 16
6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体 的体积是( )
A.383cm
B.
3
43cm
C.323cm
D.313
cm 7．执行如图所示的程序框图，若输出的是5=n ，则输入整数p 的最小值是 ( )
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16 8．下列结论错误的是( )
A ．命题：“若20232
==+-x x x ，则”的逆否命题为:“若2≠x ，
则0232
≠+-x x ”
B. 命题:“存在x 为实数，02
>-x x ”的否定是“任意x 是实数，
02≤-x x ”
C. “2
2
bc ac >”是“b a >”的充分不必要条件
D.若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题
9．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若βαβα//,,则⊥
⊥m m ；
②若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ③若βαγβγα//,,则⊥⊥；
④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂
其中真命题是( )
A ．①和②
B ．①和③
C ．①和④
D ．③和④
10.已知双曲线22
13
y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12
PA PF ⋅u u u r u u u u r 最小值为( ) A ．2- B.81
16
-
C.1
D.0 11．已知点P 为ABC ∆所在平面上的一点，且13
AP AB t AC =+u u u r u u u r u u u r
，其中t 为实数，若点P 落
在ABC ∆的内部，则t 的取值范围是( )
A ．104t <<
B ．103t <<
C ．102t <<
D ．2
03
t <<
12．已知()f x 是偶函数，且()f x 在[)+∞,0上是增函数，如果(1)(2)f ax f x +≤-在
1
[,1]2
x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．[2,1]-
B ．[5,0]-
C ．[5,1]-
D ．[2,0]-
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．圆()()7222
2
=-+-y x 关于直线2=+y x 对称的圆的方程为 ；
14．设实数,x y 满足不等式组30
023x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪-≤≤⎩
，则2x y +的最小值为 ；
15．已知函数2log (0)
()2
(0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实
根，则实数a 的取值范围是 ；
16．已知三棱锥ABC S -的所有棱长均为2，D 是SA 的中点，E 是BC 的中点，则SDE ∆绕直线SE 转一周所得到的旋转体的表面积为 ．
三. 解答题（本大题共6小题，共70分；解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分） 锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且
3
tan tan (1tan tan )A B A B -=
+. (1)若222
c a b ab =+-，求角A 、B 、C 大小；
(2)已知向量(sin ,cos )m A A =u r ，(cos ,sin )n B B =r ，求|32|m n -u r r
的取值范围.
18．（本小题满分12分）有A 、B 、C 、D 、E 五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A 、B 二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据如下： (1)现要从A 、B 中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适?请说明理由；
(2)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A 、B 二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．
19．（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，CD CB =，BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．
(1)求证：平面EFC ⊥平面BCD ； (2)若平面ABD ⊥平面BCD ，且1===BC BD AD ， 求三棱锥ADC B -的体积．
20.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为)1,0(-B ，且其右焦点到直线022=+-y x 的距离为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在斜率为)0(≠k k ，且过定点)2
3,0(Q 的直线l ，使l 与椭圆交于两个不同的点
M 、N ，且BN BM =？若存在，求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由．
21．(本小题满分12分)定义在R 上的函数32
1()23
f x ax bx cx =+++同时满足以下条件：
①)(x f 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数； ②'()f x 是偶函数；
③)(x f 在0=x 处的切线与直线2y x =+垂直.
(1)求函数)(x f y =的解析式；
(2)设31()()3x g x x f x e ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，求函数()g x 在[],1m m +上的最小值. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，
PBC 为割线，弦AP CD //，AD 、BC 相交
于E 点，F 为CE 上一点，且EF DE =2·EC (1)求证：EDF P ∠=∠； (2)求证：CE ·EB =EF ·EP ．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半
轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2222
（t 是参数）. (1)将曲线C 的极坐标方程和直线l 参数方程转化为普通方程；
(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14||=AB ，试求实数m 值.
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数322)(++-=x x x f (1) 解不等式6)(>x f ；
(2)若关于x 的不等式12)(-≤a x f 的解集不是空集，求a 得取值范围．
河北省五校联盟2012—2013学年度第一学期调研考试
高三年级数学试卷答案（文科）
1.Ｄ
2.Ｃ
3.Ａ
4.Ｃ
5.Ｃ
6.Ｂ
7.Ｂ
8.Ｄ
9.Ｃ 10.A 11.Ｄ 12.Ｄ 13.72
2
=+y x 14.2
3-
15.1>a 16.
π3
6
32+ 17.解：(1)由已知得:
.3
3
)tan(,33tan tan 1tan tan =-=+-B A B A B A 故
又,2
,0π
<
<B A 从而,22
π
π
<
-<-
B A 即.6π
=
-B A …………2分
由ab b a c -+=2
22,得212cos 222=-+=
ab c b a C ,可得.3
π=C 又因为π=++C B A ,6
π
=-B A ,
可得: 125π=
A ,4π=
B ,.3
π
=C …………6分
(2)
)
6
2sin(1213)sin(1213)sin cos cos (sin 1213123π
+
-=+-=+-=+⋅-=-B B A B A B A
…………8分
由0,0,6
2
2A B B π
π
π
<=+<
<<
0(2)62
C B ππ
π<=-+<
得6
3
B π
π
<<
从而
5226
6B π
π
π<+
<
故1
sin(2)(,1)62
B π+∈ 即32m n -u r r
(1,7)∈…………12分
18解：（Ⅰ）派B 参加比较合适.理由如下：
B x ＝（70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3）/8＝85， A x ＝（70×1+80×4+90×3+5+3+5+3+5）/8＝85，…2分
S 2
B ＝［（78-85）2
+（79-85）2
+（80-85）2
+（83-85）2
+（85-85）2
+（90-85）2
+（92-85）
2
+（95-85）2
］/8=35.5
S 2
A ＝［（75-85）2
+（80-85）2
+（80-85）2
+（83-85）2
+（85-85）2
+（90-85）2
+（92-85）
2
+（95-85）2
］/8=41……4分
∵A x ＝B x ，S 2
B ＞S 2
A ，∴
B 的成绩较稳定，派B 参加比较合适. ……6分
（Ⅱ）任派两个（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），
（C ，E ），（D ，E ）共10种情况；A 、B 两人都不参加（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）有3种．…10分
至少有一个参加的对立事件是两个都不参加，所以P=1-103=10
7．…12分 19解：(1)∵ E F ，分别是AB BD ，的中点, ∴ EF ∥AD .
又 AD BD ⊥，∴ EF BD ⊥. ∵CB CD =，∴CF BD ⊥.
∵CF EF F =I ，∴BD ⊥面EFC .
∵ BD ⊂面BDC ，∴平面EFC ⊥平面BCD .…6分
(2) ∵ 面ABD ⊥面BCD ，且BD AD ⊥, ∴ AD ⊥面BCD .
由1==BC BD 和CD CB =，得BCD ∆是正三角形. 所以4
3
23121S BCD =⨯⨯=
∆. 所以12
314331=⨯⨯=
-ACD B V . ………12分 20．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为2
22
21,(0)y x a b a b +=>>,由已知得1b =.
设右焦点为(,0)c ，由题意得223, 2.2c c +=∴= ……………………………2分
2223a b c ∴=+=.
∴椭圆的方程为221
3x y +=. ………………………………………………………4分
（Ⅱ）直线l 的方程
3
2y kx =+， 代入椭圆方程,得 2215(13)90.
4k x kx +++=
由0)31(158122>+-=∆k k 得1252
>k ……………………………………6分
设点1122(,),(,),M x y N x y 则1229.13k
x x k -+=+
设M 、N 的中点为P ，则点P 的坐标为2293(,)
2626k k k -++. ………………8分 ||||,BM BN =Q ∴点B 在线段MN 的中垂线上.
2
2
31261.926BP k k k k
k ++∴=-=-+ 化简,得
223k =. ……………………………10分
52.312k >∴=Q
所以,存在直线l 满足题意，直线l 的方程为
302x y -+=
或302x y +-= ……………………………12分
21解：（1）2
'()2f x ax bx c =++.
由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-='=='.1)0(,02,0)1(f b f 即⎪⎩⎪⎨⎧-===++.1,0,02c b c b a 解得⎪⎩
⎪
⎨⎧-===.1,0,
1c b a
所以函数)(x f y =的解析式为3
1()23
f x x x =-+. . …………….…….……4分 （2）()31()()23x x
g x x f x e x e ⎛⎫
=-=-
⎪⎝⎭
， ()()'()+21x x x g x e x e x e =-=-. 令0)(='x g 得1x =，所以函数)(x g 在(),1-∞递减，在()1+∞递增. ……6分 当1m ≥时，)(x g 在[],1m m +单调递增，)(min m g y =m
e m )2(-=.
当11m m <<+时，即01m <<时，
)(x g 在[],1m 单调递减，在[]1,1m +单调递增， e g y -==)1(min . ……9分
当+11m ≤时，即0m ≤时，
)(x g 在[],1m m +单调递减，.)1()1(1min +-=+=m e m m g y
综上，()g x 在[],1m m +上的最小值⎪⎩
⎪⎨⎧≤-<<-≥-=+.0,)1(,10,,
1,)2(1min
m e m m e m e m y m m . ………12分 22．证明：（1）EC EF DE ⋅=2
Θ，ED EF CE DE ::=∴。

DEF ∠Θ是公共角，DEF ∴∆相似于CED ∆，
EDF C ∴∠=∠,//,CD AP C P ∴∠=∠Q .P EDF ∴∠=∠ …
…5分.
(2),P EDF DEF PEA ∠=∠∠=∠Q ,DEF ∴∆相似
PEA ∆,::,DE PE EF EA ∴=即EF ·DE EP =·EA .
Q 弦,AD BC 相交于点E ,DE ∴·CE EA =·EB
.CE ·EF EB =·EP . ……………………10分 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为:
0422=-+x y x
直线l 的直角坐标方程为：m x y -= ………………4分
（Ⅱ）（法一）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，
∴圆心到直线l 的距离,2
2
)214(222=-=d ………………6分 ∴
1|2|2
2
2
|
02|=-⇒=
--m m ………………8分
∴1=m 或3=m ………………10分
（法二）把⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2222（t 是参数）代入方程0422=-+x y x , 得04)2(22
2=-+-+m m t m t , ………………6分
m m t t m t t 4),2(222121-=--=+∴. ∴
.
14)4(4)]2(2[4)(||||2
2
2
122121=----=-+=-=m m m t t t t t t AB ………………8分
∴1=m 或3=m ………………10分
24．解：（1）⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>
-<351x x x 或 ………………5分 （2）因为⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+<<---≤--=++-=1,1313,53,31322)(x x x x x x x x x f ，
所以4322)(≥++-=x x x f ，
所以若12)(-≤a x f 的解集不是空集，则4)(12min =≥-x f a ，
解得：2
325-≤≥a a 或. 即a 的取值范围是：2
3
25-≤≥a a 或 ．………………10分。