小学奥数 裂项求和(二)

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分数裂项求和(二)
在上一讲中我们学习了分母是相邻自然数乘积形式,分子为固定自然数的分数裂项求和,在这一讲中,我们即将学习分母不是相邻自然数,而是差固定的两个数字的乘积形式,分子为固定自然数的分数裂项求和。

下面我们一起来进入到今天的学习当中,加油!
例1 基础讲解(裂项)
分母不是连续的自然数,而是相差2的自然数乘积,按照上一讲中的方法我们来裂项:
= - =
这个算式是否正确呢?显然不正确,
因为。

那么该怎么解决呢,我们发现是的二分之一,
那么做出如下裂项变形:
=( - )×=
=( - )×=
=( - )×=
=( - )×=
那如果分母不是差2的自然数,而是差3,差4,甚至更多呢?
=( - )×=
=( - )×=
同学们,你们有什么发现吗?
是的,分母相差几,在最后就要乘以几分之一,
总结一下:就是对于分母可以写作两个因数乘积的分数,
即形式的,这里我们把较小的数a写在前面,即 a < b ,那么有 =( -)×。

练1 =( - )×=
=( - )×=
=( - )×=
练2 =( - )×=
(分子的2不变,写在括号外面)
=( - )×=
(分子的3不变,写在括号外面)
=( - )×=
例2 深度讲解
……
= (-)× + (-)× +(-)× + ……
+(-)× +(-)× [每一项都进行裂项变形] = [(-)+(-)+(-)+ …… + (-)+(-)]×
[每一项都×,所以利用乘法分配律,把×放在括号外面] = (-+- +- +……+- +-)×
[去括号,括号外面是加号,去括号不变号]
= (-)× [一加一减正好抵消,两两消去,只剩头尾]
= × [头减尾,再乘以]
= [约分后,既得最后答案]
……
= (-)× + (-)× +(-)× + ……
+(-)× +(-)×
[每一项都进行裂项变形, ×是因为,分子的2是每一项分子
上面都有2,分母的3是每一项分母中的两个数相差3得来的]
[此处乘法分配律和去括号在同一个步骤完成,节省些时间]
= (-)× [一加一减正好抵消,两两消去,只剩头尾] = × [头减尾,再乘以]
= [约分后,既得最后答案]
练3 113135157119931995119951997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯…
222 (35579799)
++++⨯⨯⨯
222 (35579799)
++++⨯⨯⨯
同学们,学到这里,你是否能非常快的口答出正确答案呢? 用(头减尾)× 几分之几的形式说一说,练一练。

练6
…… 练7 ……
练8 ……。

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