高中物理新教材同步必修第三册 第10章 静电场的应用专题强化4 电场中的功能关系及图像问题

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解析 B、D两点的电场强度方向相反，故两点 的电场强度不可能相同，选项A错误； 根据对称性，A、C两点的电势相等，B、D两 点的电势相等，故A、B两点间的电势差UAB与 C、D两点间的电势差UCD相等，选项B正确； B、O、D三点相比较，O点的电势最高，故一质子由B点沿B→O→D路 径移至D点，电势能先增大后减小，选项C正确； A、O、C三点相比较，O点的电势最低，电子在O点的电势能最大，故 一电子由C点沿C→O→A路径移至A点，电势能先变大后变小，所以静 电力对其先做负功后做正功，选项D正确.
第十章 静电场中的能量
专题强化4 电场中的功能关系及图像问题
【学习目标】
1.会利用功能关系、能量守恒定律分析电场综合问题. 2.理解E－x、φ－x、Ep－x图像的意义，并会分析有关问题.
【内容索引】
探究重点 提升素养
专题 强化练
探究重点 提升素养
TANJIUZHONGDIAN TISHENGSUYANG
根据动能定理qUAB＝12 mvB2－12 mvA2，粒子带电性质未知，
无法判断UAB的正负，即无法判断两点电势高低，所以
B错误；
由题图可知，vB>vA，故静电力对粒子做正功，电势能减小，所以C、D 正确.
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2.(多选)(2020·云南民族大学附属中学期中)如图2所示，在等量正电荷形
成的电场中，画一正方形ABCD，对角线AC与两点电荷连线重合，两对
角线交点O恰为电荷连线的中点.下列说法正确的是
A.B、D两点的电场强度及电势均相同
√B.A、B两点间的电势差UAB与C、D两
点间的电势差UCD相等
√C.一质子由B点沿B→O→D路径移至D
点，电势能先增大后减小
图2
√D.一电子由C点沿C→O→A路径移至A点，静电力对其先做负功后做正功
图1
解析 因为B、C两点电势相等，故小球从B到C 运动的过程中静电力做的功为零. 由几何关系可得 BC 的竖直高度 hBC＝32R 根据动能定理有 mg·32R＝mv2C2－mv2B2
解得 vC＝ 7gR.
(2)若以C点为零电势点，试确定A点的电势. 答案 －m2gqR
解析 小球从A到C，重力和静电力均做正功， 所以由动能定理有 mg·3R＋W 电＝mv2C2， 又根据静电力做功与电势能的关系： W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC). 又因为 φC＝0，可得 φA＝－m2gqR.
解析 E－x图像中图线与x轴围成的面积表示电势差， 由题图可知，OC与图线围成的面积小于CB与图线 围成的面积，故电势差UCB＞UOC，A、B错误； 若把一个正点电荷从O点沿x轴正方向移到无穷远处，静电力一直在做功， 所以O点电势与无穷远处电势不相等，C错误； 电子从A点由静止释放后一直受到沿x轴方向的力作用，即力与运动方向 一直在同一条直线上，故电子的运动轨迹在一条直线上，D正确.
解析 φ－x图像的斜率表示场强，A点的斜率大于B 点，所以EA>EB，同理EC<ED，A、D两点在x方向上 的场强方向相反，A正确，B、C错误； 根据Ep＝φq可知，负电荷在电势低的地方电势能大， B点电势低，所以在B点时电势能大，D错误.
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5.某空间存在一条沿x轴方向的电场线，电场强度E随x变化的规律如图5
根据φ＝
Ep q
知，小球的电势能减小，但由于
小球的电性不确定，所以x1和x2的电势关系
不确定，故C错误；
根据能量守恒知，小球在x1处的电势能大于 x2处的电势能，所以小球在x1处的动能小于 x2处的动能，故D错误.
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专题强化练
ZHUAN TI QIANG HUA LIAN
基础强化练
1.一带电粒子仅在静电力的作用下从A点运动到B点，其速度－时间图像
2.φ－x图像
从φ－x图像上可直接看出电势随位置的变化，可间接求出场强E随x的变 化情况：φ－x图像切线斜率的绝对值k＝|ΔΔφx|＝|Ud |，表示E的大小，场强E 的方向为电势降低最快的方向.
例4 (2020·厦门六中期中)如图3所示为某电场中x轴上电势φ随x变化的图
像，一个带电粒子仅受静电力作用在x＝0处由静止释放，沿x轴正方向运
√A.Q1移入之前，C点的电势为
W q
√B.Q1从C点移到B点的过程中，所受静电力做的功为0
C.Q2从无穷远处移到C点的过程中，所受静电力做的
功为2W
√D.Q2在移到C点后的电势能为－4W
图3
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解析 根据静电力做功可知－W＝q(0－φC1)，解得φC1 ＝Wq ，选项A正确； B、C两点到A点的距离相等，这两点电势相等，Q1从 C点移到B点的过程中，静电力做功为0，选项B正确；
4.Ep－x图像 例6 在光滑绝缘的水平桌面上有一带电的小球，只在静电力的作用下
沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图5所示.下列说法 正确的是
A.小球一定带负电荷
√B.x1处的电场强度一定小于x2处的电场强度
C.x1处的电势一定比x2处的电势高
D.小球在x1处的动能一定比在x2处的动能大
A.在x2和x4处电势能相等
√B.由x1运动到x3的过程中电势能增大 √C.由x1运动到x4的过程中静电力先增大后减小
D.由x1运动到x4的过程中静电力先减小后增大
图4
解析 由题图可知，x1到x4电场强度先变大再变小，则点电荷受到的静 电力先增大后减小，C正确，D错误； 由x1到x3及由x2到x4过程中，静电力均做负功，电势能均增大，A错误， B正确.
图5
解析 根据题意知小球在运动过程中电势能逐 渐减小，所以静电力做正功，由于不知道电场 方向，故不知道静电力和电场线的方向的关系， 故小球的带电性质不确定，故A错误；
Ep－x图像在某点的切线的斜率大小等于在该点受到的电场力大小，x1处 的斜率小于x2处的，所以x1处受到的静电力小于x2处受到的静电力，由F ＝qE可知x1处电场强度小于x2处电场强度，故B正确；
如图1所示.下列说法中不正确的是
A.A点的场强一定大于B点的场强
√B.A点的电势一定比B点的电势高
C.粒子在A点的电势能一定大于在B点的电势能
D.静电力一定对粒子做正功
图1
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解析 由题图可知，带电粒子做加速度减小的加速运动，
根据a＝
qE m
，aA＞aB，可得EA＞EB，所以A正确；
所示，图线关于坐标原点中心对称，A、B是x轴上关于坐标原点O对称的
两点，C点是OB的中点.则下列说法正确的是
A.电势差UOC＝UCB B.电势差UOC＞UCB C.取无穷远处电势为零，则O点处电势也为零
√D.电子从A点由静止释放9 10 11
例2 如图1所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交 于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位 于圆周的最低点.现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球 (可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑.已知重力加速度为g，A点距过C 点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2 gR .求： (1)小球滑到C点时的速度大小； 答案 7gR
二、电场中的图像问题 1.v－t图像
例3 (2021·湖南衡阳八中高二期末)如图2甲是某电场中的一条电场线，
a、b是这条线上的两点，一负电荷只受静电力作用，沿电场线从a运动到
b.则在这个过程中，电荷的速度—时间图像如图乙所示，请比较a、b两
点电势的高低和场强的大小
A.φa>φb，Ea<Eb
√B.φa<φb，Ea<Eb
√D.小球的电势能增加了3mgh
解析 带电小球受到向上的静电力和向下的重力，据牛顿第二定律 F合＝F电－mg＝2mg，得F电＝3mg，在下落过程中静电力做功W电＝ －3mgh，重力做功WG＝mgh，总功W＝W电＋WG＝－2mgh，根据做 功与势能变化关系可判断：小球重力势能减少了mgh，电势能增加 了3mgh，根据动能定理，小球的动能减少了2mgh，故选D.
动，且以一定的速度通过x＝x2处，则下列说法正确的是
A.x1和x2处的电场强度均为零
B.x1和x2之间的场强方向不变
C.粒子从x＝0到x＝x2过程中，
电势能先增大后减小
√D.粒子从x＝0到x＝x2过程中，加速度先减小后增大
图3
解析 φ－x图像的切线斜率越大，则场强越大，A项 错误； 由切线斜率的正负可知，x1和x2之间的场强方向先沿 x轴负方向后沿x轴正方向，B项错误； 粒子在x＝0处由静止沿x轴正方向运动，表明粒子运动方向与静电力方向 同向，静电力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，C项错误； 由图线的切线斜率可知，从x＝0到x＝x2过程中电场强度先减小后增大， 因此粒子的加速度先减小后增大，D项正确.
D.φa＞φb
图6
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解析 电势能Ep随位移x变化的图像 中切线斜率的绝对值表示静电力的 大 小 ， F ＝ qE ， 由 题 图 可 知 切 线 斜 率逐渐变小，所以电场强度逐渐变 小，即Ea>Eb，A、B错误. 从a到b电势能逐渐减小说明静电力做正功，即静电力从a指向b，而电子 所受静电力与电场方向相反，即电场从b指向a，从高电势指向低电势， 所以φb>φa，C正确，D错误.
3.E－x图像 (1)E－x图像中，E的数值反映电场强度的大小，E的正负反映E的方向， E为正表示电场方向为正方向. (2)E－x图线与x轴所围的面积表示“两点之间的电势差U”，电势差的 正负由沿场强方向电势降低判断.
例5 (多选)静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系图像如图4所示，
x轴正方向为电场强度正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷
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3.(多选)(2019·江苏卷)如图3所示，ABC为等边三角形，电荷量为＋q的点电
荷固定在A点.先将一电荷量也为＋q的点电荷Q1从无穷远处(电势为0)移到C
点，此过程中，静电力做功为－W.再将Q1从C点沿CB移到B点并固定.最后
将一电荷量为－2q的点电荷Q2从无穷远处移到C点.下列说法正确的有
一、电场中的功能关系
1.合外力做功等于物体动能的变化量，即W合＝ΔEk，这里的W合指合外力 做的功. 2.静电力做功等于带电体电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp. 3.只有静电力做功时，带电体电势能与机械能的总量不变，即Ep1＋E机1 ＝Ep2＋E机2.
例1 质量为m的带电小球射入匀强电场后，以方向竖直向上、大小为2g 的加速度向下运动，重力加速度为g，在小球下落h的过程中 A.小球的重力势能减少了2mgh B.小球的动能增加了2mgh C.静电力做负功2mgh
根据对称和电势叠加可知，A、B两点固定电荷量均为＋q的电荷后，C点 电势为φC2＝2φC1＝2 Wq ，带电荷量为－2q的点电荷Q2在C点的电势能为EpC ＝(－2q)×φC2＝－4W，选项D正确； Q2从无穷远处移到C点的过程中，静电力做的功为0－EpC＝4W，选项C错误.
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6.如图6甲，直线ab是电场中的一条电场线，从a点无初速度释放一电子，
电子仅在静电力作用下，沿直线从a点运动到b点，其电势能Ep随位移x
变化的规律如图乙所示.设a、b两点的电场强度分别为Ea和Eb，电势分别
为φa和φb.则
A.Ea＝Eb
B.Ea＜Eb
√C.φa＜φb
C.φa<φb，Ea>Eb
图2
D.φa>φb，Ea>Eb
解析 负电荷从a运动到b，由速度—时间图像得到负电荷做加速运动， 故静电力方向向右，因负电荷受到的静电力方向与场强方向相反，故场 强方向向左，沿场强方向，电势降低，故φa<φb；因为图线的斜率增大， 故加速度增大，因此由a到b静电力增大，所以电场强度增大，即Ea<Eb， B正确.
4.空间某一静电场的电势φ在x轴上分布如图4所示，A、
B、C、D是x轴上的四点，电场强度在x方向上的分量
大小分别是EA、EB、EC、ED，则
√A.EA>EB
B.EC>ED
C.A、D两点在x方向上的场强方向相同
图4
D.同一负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能
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