利用空间向量研究距离问题课件——2025届高三数学一轮复习

3
直线EF与A'B之间的距离等于E到直线A'B的距离,
1
1
′=(-1,0,1),=(0,1, ),′·= ,
3
3
|′|= 2,||= 1 +
1 10
= ,
9 3
1
3
′·
5
cos<′,>=
=
= ,
10
10
|′||| 2×
3
<′,>∈[0,π],
(2)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,已知E为CC'上一点,且2CE=EC',
在平面CDD'C'内作EF∥A'B,交C'D'于点F,则直线EF与A'B之间的距离
为
38
6
.
【解析】以A为坐标原点,AB,AD,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直
1
角坐标系,如图,则A'(0,0,1),B(1,0,0),E(1,1, ),
中点,则MR∥OD,因为MR⊄平面OCD,OD⊂平面OCD,所以MR∥平面OCD,
因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,则CN∥RD且CN=RD,
所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥C以RN∥平面OCD,
因为MR∩RN=R,MR,RN⊂平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,
5
6
3
= ,
5
考点二点面距及其应用
[例2]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,
∠APD=90°,且PA=PD,AD=PB.
(1)求证:AD⊥PB;
【解析】(1)取AD的中点O,连接OP,OB,BD,(图略)
因为底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,
所以AD=AB=BD.
·

·
·e= ·e,故其模为

·
3.点到平面的距离公式
如图,点P为平面α外一点,点A为平面α内的定点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于
点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量

· |·|
的长度,则PQ=|· |=|
|=
.
||
长度.
(3)利用勾股定理求解.
方法二:在直线上设出垂线段的垂足的坐标,利用共线和垂直求出垂足坐标,再求
向量的模.
方法三:(1)求直线的方向向量;
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量与直线的方向向量夹角的余弦值,
进而求出正弦值;
(3)求出所求点与直线上某一点所构成的向量的模,再乘以夹角的正弦值即为所
因为O为AD的中点,所以BO⊥AD.
在△PAD中,PA=PD,O为AD的中点,
所以PO⊥AD.
因为BO∩PO=O,所以AD⊥平面POB.
因为PB⊂平面POB,所以AD⊥PB.
[例2]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,
∠APD=90°,且PA=PD,AD=PB.
【命题说明】
考向
高考题常以体积为载体,考查空间中点线距、点面距.求空间几何体
考法
的体积是高考热点,主要在解答题中体现.
预测
2025年高考本节内容仍会与立体几何知识结合考查,试题难度中档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.两点距
即求空间中两个点连线的线段长,转化为向量的模求解.
2.点到直线的距离
所以C1B⊥平面ABC.
又因为CM⊂平面ABC,
所以C1B⊥CM.
1
1
1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1 中,AB⊥平面BCC1B1,BC= AB= AA1=2,BC1=2
2
2
为线段AB上的动点.
(2)若E为A1C1的中点,求点A1到平面BCE的距离.
3,M
【解析】(2)由(1)知,AB⊥C1B,BC⊥C1B,AB⊥BC,
求点面距的步骤
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
(3)求向量:求出相关向量的坐标(,α内两不共线向量,
平面α的法向量n).
|·|
(4)求距离d=
.
||
提醒:求线面距、面面距可转化为点面距求解.
对点训练
1
1
1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1 中,AB⊥平面BCC1B1,BC= AB= AA1=2,BC1=2
所以=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1),
3
1
2
312
则= (1,0,0)+ (0,1,0)+ (0,0,1)= ( , , ),
5
2
3
523
因为=(1,0,0),
所以在上的投影向量的长度为
所以点P到AB的距离
||2
−
·

3 2 5
( ) = .
第八章
立体几何初步、空间向量与立体几何
第七节
利用空间向量研究距离问题
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的
距离问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的
作用.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
2
2
为线段AB上的动点.
(1)证明:BC1⊥CM;
3,M
【解析】(1)因为AB⊥平面BB1C1C,C1B⊂平面BB1C1C,所以AB⊥C1B,
在△BCC1中,BC=2,BC1=2 3,CC1=AA1=4,
所以BC2+B12 =C12 ,所以CB⊥C1B.
因为AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,
则=(-2,1,0),则|AP|= 5,又因为
的距离为 ( 5)2 −( 2)2 = 3.
·

|−2×1+1×0+0×(−1)|
=
=
2
2,所以点P(-1,2,1)到l
4.(不能正确使用公式)若两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两
平面的一个法向量为n=(-1,0,1),则两平面间的距离是
· = 0
令y= 3,则n=(0, 3,-3).
又因为1 =(4,-2 3,-4),
|0×4+(−2 3)× 3+(−4)×(−3)|
故点A1到平面BCE的距离d=
=
2 3
3.
2.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面
ABCD,OA=2,M,N,R分别是OA,BC,AD的中点.求:
因为MN⊂平面MNR,所以MN∥平面OCD,
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),=(2,0,0),=(0,-2,2),
· = 2 = 0
则
,取y=1,可得n=(0,1,1),=(0,1,0),
||
||
4.异面直线间的距离
(1)定义:两条异面直线间的公垂线段的长即为异面直线间的距离.
(2)求解公式:如图,设两条异面直线a,b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a,b上
任 取 A,B 两 点 , 则 向 量 在 n 上 的 正 射 影 长 就 是 两 条 异 面 直 线 a,b 的 距 离 . 则
=(-2, 3,-1),
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
=0
则
,所以
,

=
3
· = −2 + 3 − = 0
· = 3 − = 0
不妨取y=1,则n=(0,1, 3),
|·| 3
所以点A到平面PBC的距离d=
= .
||
2
方法二:因为PA=PD,∠APD=90°,
求.
提醒:平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解.
对点训练
如图,ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若P在正方体内部且满足
3
1
2
= + + ,则P到直线AB的距离为(
5
2
3
3
A.
4
4
B.
5
5
C.
6
3
D.
5
)
【解析】选C.建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,1),
2.(选择性必修一P34例6·
变形式)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A1A到平面
B1D1DB的距离为(
A. 2
)
B.2
C.
2
2
3 2
D.
2
【解析】选A.由正方体性质可知,A1A∥平面B1D1DB,A1A到平面B1D1DB的距离就
是点A1到平面B1D1DB的距离,连接A1C1,交B1D1于O1(图略),A1O1的长即为所求,由
2
2
.
【解析】依题意,平行平面α,β间的距离即为点O到平面β的距离,而=(2,1,1),所
|·| |−1×2+0×1+1×1| 1
2
以平行平面α,β间的距离d=
=
= = .
2
2
2
||
2 2
(−1) +0 +1
核心考点·分类突破
考点一点线距及其应用
[例1](1)空间中有三点P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),则点P到直线MN的距离
设A是直线l上的定点,P是直线l外一点,若u是直线l的单位方向向量,是在l上
的投影向量,设=a,则点P到直线l的距离PQ= ||2 − ||2 = 2 − ( · )2 .
微点拨 已知向量a,直线l的单位方向向量为e,则向量a在e方向上的投影向量为
cos<a,e>·e,即
以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
则B(0,0,0),C(2,0,0),C1(0,2 3,0),A1(-2,2 3,4),E(-1,2 3,2),
=(2,0,0), =(-1,2 3,2),
设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),
2 = 0

·

=
0
则
,即
,
− + 2 3 + 2 = 0
(2)(一题多法)求点A到平面PBC的距离.
【解析】(2)方法一:由题意及(1)易知OP=1,BO= 3,PB=2,
所以OP2+BO2=PB2,所以OP⊥OB,所以OP,OA,OB两两垂直,如图建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(0, 3,0),C(-2, 3,0),P(0,0,1),所以��=(-1,0,1),=(0, 3,-1),
所以sin<′,>= 1 −
5 2 95
( ) = ,
10
10
所以直线EF与A'B之间的距离等于E到直线A'B的距离
为||sin <,′>=
10
95 38
× = .
3
10
6
解题技法
向量法求点到直线的距离的方法
方法一:(1)求直线的方向向量.
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的
为(
A.2 2
)
B.2 3
C.3
D.2 5
【解析】选A.因为=(1,1,1),
所以的一个单位方向向量为u=
3
(1,1,1).
3
因为=(1,-1,3),
故||= 12 + (−1)2 + 32 = 11,
·u=
3
×(1-1+3)=
3
3,
所以点P到直线MN的距离为 2 − ( · )2 = 11 − 3=2 2.
1
题意可得A1O1= A1C1=
2
2.
3.(选择性必修一P35练习2·
变形式)直线l的方向向量为m=(1,0,-1),且l过点A(1,1,1),
则点P(-1,2,1)到l的距离为(
)
A. 2
C. 6
B. 3
D.2 2
【解析】选B.直线l的方向向量为m=(1,0,-1),且l过点A(1,1,1),又点P(-1,2,1),
√ )
(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线长度的最小值.(
(3)直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等.(
(4)直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α.(
√ )
√ )
× )
提示:由距离的最小性可知(1)(2)正确;(3)中直线l上任意点到平面α的距离相等,
正确;(4)中直线l可能与平面α相交.
|·|
d=|· |=
.
||
||
即两异面直线间的距离,等于两异面直线上分别任取两点的
向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向
向量模的比值.
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
题号
1
2,3
4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)点到平面的距离是该点与平面上点距离的最小值.(
1
所以PO= AD=1,由题意及(1)知PB=2,
2
又AD⊥PB,BC∥AD,所以BC⊥PB,
1
记A到平面PBC的距离为h,S△PBC= ×2×2=2,
2
2 1 1
则由VA-PBC=VP-ABC得 h= × ×2×2sin
3 3 2
所以h=
120°×1,
3
3
,即A到平面PBC的距离为 .
2
2
解题技法
(1)直线MN与平面OCD的距离;
【解析】(1)因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,所以OA⊥AD,
OA⊥AB,AB⊥AD,以点A为坐标原点,AB,AD,AO所在直线分别为x,y,z轴建立如图
所示的空间直角坐标系,
则C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0),因为M,R分别为OA,AD的