高考数学(文)新人教B版总复习创新导学课件：11.4 热点专题 概率与统计中的热点问题

【例1】 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某 种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位： 件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中 共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地区商品的数量； (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检 测，求这 2 件商品来自相同地区的概率． 【 解 析 】 (1) 因 为 样 本 容 量 与 总 体 中 的 个 体 数 的 比 是 50＋1560＋100＝510，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是： 50×510＝1，150×510＝3，100×510＝2.
(1)若该校高三年级有640人，试估计这次学业水平考试 的数学成绩不低于60分的人数及相应的平均分(平均分保留 到百分位)；
(2)若从[40，50)与[90，100]这两个分数段内的学生中随 机选取2名学生，求这2名学生成绩之差的绝对值不大于10 的概率．
【解析】 (1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1， 解得a＝0.03.
记“甲的成绩比乙高”为事件 A，事件 A 包含基本事件： (82，75)，(82，80)，(82，75)，(82，80)，(79，75)，(95， 75)，(95，80)，(95，90)，(95，85)，(87，75)，(87，80)，(87， 85)， 事件 A 包含的基本事件数 m＝12，所以 P(A)＝mn ＝1225， 所以甲的成绩比乙高的概率为1225. (3)①－x 甲＝51(70×1＋80×3＋90×1＋9＋2＋2＋7＋5)＝85， －x 乙＝15(70×1＋80×2＋90×2＋5＋0＋5＋0＋5)＝85，
其中至少有一位表演笛子演奏这一事件包含的基本事件有 (a1，b1)，(a1，b2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2， c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共 9 个，所以所求概率 P2＝195＝35.
热点二 概率与统计的综合问题 概率与统计是高中数学中与实际生活联系最密切的部分， 在高考中一直作为命题的重点和热点，主要考查实际生活中 的随机抽样、用样本估计总体、样本的数字特征以及古典概 型的求解等知识，属于中低档难度考题．概率与统计结合主 要体现以下两个方面： (1)抽样方法与概率的综合一般以分层抽样与古典概型的结 合为主．
(2)统计图表与古典概型的综合所考查的知识点较多，一般设 置两问或三问．题目第一问或第二问往往涉及统计图表；最后 一问一般为古典概型概率的求解．
【例2】 (2017·贵州七校联考)从某校高三年级学生中抽取40 名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩(满分100分，成 绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…， [90，100]后得到如图的频率分布直方图．
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2. (2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3； C1，C2. 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为： {A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2)，{B1，B2}， {B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2， C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个． 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可 能的．
(1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n， 求事件“m、n均不小于25”的概率；
(2)从这 5 天中任选 2 天，若选取的是 4 月 1 日与 4 月 30 日 的两组数据，请根据这 5 天中的另 3 天的数据，求出 y 关于 x 的 线性回归方程^y＝b^x＋a^；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据 的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试 问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
附：K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d）
P(K2≥k0)
0.100 0.050 0.010 0.001
k0
2.706 3.841 6.635 10.828
根据古典概型的概率计算公式，所求概率 P＝48＝21. (2)根据 2×2 列联表， 得到 K2 的观测值为 K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d） ＝100×6（0×454×0×157－0×253×0 15）2＝2154≈1.786.
记事件 D：“抽取的这 2 件商品来自相同地区”， 则事件 D 包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3)， {C1，C2)，共 4 个． 所以 P(D)＝145，即这 2 件商品来自相同地区的概率为145.
【解题模板】 解决以实际背景为载体的古典概型的一 般步骤
变式训练 1．(2017·青岛模拟)某市甲、乙两社区联合举行“五一” 文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表 演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子 演奏的有2人，表演唱歌的有3人． (1)若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表 演项目相同的概率； (2)若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表 演笛子演奏的概率．
变式训练
3．“ALS冰桶挑战赛”是社交网络上发起的一项筹款 活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要 么选择为慈善机构捐款(不接受挑战)，并且不能重复参加 该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己 被冰水浇遍全身的视频，然后便可以邀请另外3人参与这 项活动．假设每人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且 互不影响．
则所取 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的取法为 7 种，
所以所求概率 P＝175.
【方法规律】 概率统计解答题的主要依托点是统计图 表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，因此在 复习该部分时，要在这些图表上下功夫，把这些统计图表 的含义弄清楚，在此基础上掌握样本特征数的计数方法和 各类概率的计算方法．
若从这 6 名学生中随机抽取 2 人，则总的取法有 15 种，如果 2 名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数 段内，那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10. 如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数 段内，那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10.
变式训练 2．(2017·广东七校联考)甲、乙两位学生参加数学竞赛 培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：
甲 82 82 79 95 87 乙 95 75 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据； (2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩 比乙高的概率；
(3)①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差； ②若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结 果，你认为选派哪位学生参加合适？ 【解析】 (1)作出茎叶图如下：
(1)若某参与者接受挑战后，对其他3人发出邀请，求这3 人中至少有2人接受挑战的概率；
(2)为了解“ALS冰桶挑战赛”被邀请者接受挑战是否与 性别有关，某调查机构采用随机抽样的方法进行了调查， 得到如下2×2列联表：
根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认 为“被邀请者是否接受挑战与性别有关”？
其中选出的两个表演项目相同这一事件包含的基本事件有
(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)，共 3 个，所以所求概率 P1＝39＝31.
(2)记甲社区表演队中表演跳舞的 1 人为 a1，表演笛子演奏的 2 人分别为 b1、b2，表演唱歌的 3 人分别为 c1、c2、c3，则从甲社 区表演队中选 2 人的所有基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)， (a1，c2)，(a1，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2， c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共 15 个．
s
2甲＝
1 5
[(79
－
85)2
＋
(82
－
85)2
＋
(82
－
85)2
＋
(87
－
85)2＋
(95
－
85)2]＝31.6，
s
2乙＝Fra Baidu bibliotek
1 5
[(75
－
85)2
＋
(80
－
85)2
＋
(85
－
85)2
＋
(90
－
85)2＋
(95
－
85)2]＝50，
②因为－x 甲＝－x 乙，s2甲＜s2乙，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛
所以 P(A)＝130，故事件 A 的概率为130.
所以 y 关于 x 的线性回归方程为^y＝52x－3. (3)当 x＝10 时，^y＝25×10－3＝22，|22－23|＜2； 同样，当 x＝8 时，^y＝25×8－3＝17，|17－16|＜2. 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．
【方法规律】 建立具有相关关系的两个变量之间的线 性回归方程，一般来说，选取的具有典型性的样本数据越 多，建立的线性回归方程越好，但在具体问题中不一定把 所收集到的样本数据都用上，用其中的一部分建立线性回 归方程，用剩余的数据检验建立的线性回归方程的拟合程 度，也是一个很好的统计方法．
(2)记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对 (x，y)表示基本事件：
(82，95)，(82，75)，(82，80)，(82，90)，(82，85)， (82，95)，(82，75)，(82，80)，(82，90)，(82，85)， (79，95)，(79，75)，(79，80)，(79，90)，(79，85)， (95，95)，(95，75)，(95，80)，(95，90)，(95，85)， (87，95)，(87，75)，(87，80)，(87，90)，(87，85)， 基本事件总数n＝25.
比较合适．
热点三 概率与统计案例的综合问题
在近几年高考中统计案例与概率结合的解答题所占比 例较往年有所增加，重点考查回归直线方程的求解和应 用、独立性检验等知识，注重考查考生对相关数据的统 计、分析与应用能力．
【例3】 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少 之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行 研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡 后的发芽数，得到如下表格：
根据频率分布直方图，成绩不低于 60 分的频率为 1－ 10×(0.005＋0.01)＝0.85.
由于高三年级共有学生 640 人，可估计该校高三年级数学成 绩不低于 60 分的人数为 640×0.85＝544.
可估计不低于 60 分的学生数学成绩的平均分为 640×（0.2×65＋0.3×57454＋0.25×85＋0.1×95）≈77.94. (2)成绩在[40，50)分数段内的人数为 40×0.05＝2，成绩在[90， 100]分数段内的人数为 40×0.1＝4，
【解析】 (1)m，n 的所有取值情况有：(23，25)，(23，30)， (23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)， (30，16)，(26，16)，即基本事件总数为 10.设“m，n 均不小于 25”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为(25，30)，(25，26)， (30，26)．
【解析】 (1)记甲社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演 项目分别为A1、B1、C1，乙社区跳舞、笛子演奏、唱歌三 个表演项目分别为A2、B2、C2，
则从甲、乙社区各选一个表演项目的所有基本事件有 (A1，A2)(A1，B2)，(A1，C2)，(B1，A2)，(B1，B2)，(B1，C2)， (C1，A2)，(C1，B2)，(C1，C2)，共9个．
§11.4 热点专题——概率与统计中的热点问题
热点一 以实际背景为载体的古典概型 以实际生活题材为背景，以应用题的形式考查古典概型 的求法是每年高考的热点之一．主要涉及随机事件、等可 能事件、互斥事件和对立事件的概率．解决简单的古典概 型问题可用直接法，对于较复杂的古典概型，通常利用互 斥事件或对立事件的概率求解．